基点の取り替え(ホモトピー群)

2 を先に示す。$\lambda(v):=\tfrac12(1+v)$ とし、
$$ F(s,v):=\begin{cases}f\bigl(c+(s-c)/\lambda(v)\bigr)&(r(s)\le\lambda(v))\\[2pt]\gamma\bigl(v+2(1-r(s))\bigr)&(r(s)\ge\lambda(v))\end{cases} $$
とおく。第 1 式では $r(c+(s-c)/\lambda(v))=r(s)/\lambda(v)\le1$ なので $f$ の定義域に入る。第 2 式の範囲では $0\le2(1-r(s))\le2(1-\lambda(v))=1-v$ なので、$\gamma$ の引数は $[v,1]$ に入る。$r(s)=\lambda(v)$ では第 1 式は $f$ の境界値 $x_1$、第 2 式は $\gamma(1)=x_1$ で一致する。二つの範囲は $I^n\times I$ の閉集合なので、$F$ は連続である。$s\in\partial I^n$ では $r(s)=1\ge\lambda(v)$ なので $F(s,v)=\gamma(v)$ である。$v=0$ では $\lambda=\tfrac12$ で $F_0=T_\gamma f$ であり、$v=1$ では $\lambda=1$ で $F_1=f$ である。
1 を示す。
$$ G(s,v):=\begin{cases}F\bigl(c+2(s-c),\,v\bigr)&(r(s)\le\tfrac12)\\[2pt]\gamma\bigl(v(2-2r(s))\bigr)&(r(s)\ge\tfrac12)\end{cases} $$
とおく。$r(s)=\tfrac12$ では $c+2(s-c)\in\partial I^n$ なので第 1 式は $\gamma(v)$ で、第 2 式と一致する。よって $G$ は連続であり、$s\in\partial I^n$ では $G(s,v)=\gamma(0)=x_0$ である。したがって $G$ は境界を止めたホモトピーで、$[G_0]=[G_1]$ である。$G_1=T_\gamma F_1$ であり、$G_0=T_{c_{x_0}}F_0$（定値道 $c_{x_0}$ の殻を付けたもの）である。最後に、2 を定値道 $c_{x_0}$ と $F_0$ に当てると、境界の値がつねに $x_0$ のホモトピーで $T_{c_{x_0}}F_0$ から $F_0$ へ移れるので、$[T_{c_{x_0}}F_0]=[F_0]$ である。以上から $[F_0]=[T_\gamma F_1]$ である。$\square$

1：$H$ を $f$ から $f'$ への境界を止めたホモトピー、$\Gamma\colon I\times I\to X$ を $\gamma$ から $\gamma'$ への端点を止めたホモトピーとする。$(s,u)\mapsto T_{\Gamma(\cdot,u)}H(\cdot,u)(s)$ は def-cbh-main の式に $(s,u)$ を代入したもので連続であり、境界では $\Gamma(0,u)=x_0$ をとる。よって $T_\gamma f$ と $T_{\gamma'}f'$ は境界を止めてホモトピックである。
2：$f,g\colon(I^n,\partial I^n)\to(X,x_1)$ に lem-cbh-trace の 2 を当てて $F,G$ を得る。各 $v$ で $F_v,G_v$ は境界の上で $\gamma(v)$ なので、第 1 座標に沿った貼り合わせ $K(\cdot,v):=F_v+G_v$ が定まる。継ぎ目 $s_1=\tfrac12$ では両側とも境界の値 $\gamma(v)$ をとるので $K$ は連続であり、$s\in\partial I^n$ では $K(s,v)=\gamma(v)$ である。$K_1=f+g$、$K_0=T_\gamma f+T_\gamma g$ なので、lem-cbh-trace の 1 から $\beta_\gamma[f]+\beta_\gamma[g]=[K_0]=\beta_\gamma[f+g]$ である。
3：$f\colon(I^n,\partial I^n)\to(X,x_2)$ とする。lem-cbh-trace の 2 を $\eta$ と $f$ に当てて $F$（$F_0=T_\eta f$、$F_1=f$）を、$\gamma$ と $T_\eta f$ に当てて $G$（$G_0=T_\gamma T_\eta f$、$G_1=T_\eta f$）を得る。$v\le\tfrac12$ で $G(s,2v)$、$v\ge\tfrac12$ で $F(s,2v-1)$ とおいた $K$ は、$G_1=F_0$ により連続で、境界の値は $(\gamma\cdot\eta)(v)$ である。補題の 1 から $[T_\gamma T_\eta f]=[K_0]=\beta_{\gamma\cdot\eta}[K_1]=\beta_{\gamma\cdot\eta}[f]$ である。また $F(s,v):=f(s)$ は定値道 $c_{x_2}$ をたどるホモトピーなので、補題の 1 から $[f]=\beta_{c_{x_2}}[f]$ である。
4：$\gamma\cdot\bar\gamma$ は $c_{x_0}$ と、$\bar\gamma\cdot\gamma$ は $c_{x_1}$ と端点を止めてホモトピックである（基本群 の定理「基本亜群の公理と基本群の群構造」）。1 と 3 から $\beta_\gamma\beta_{\bar\gamma}=\beta_{\gamma\cdot\bar\gamma}=\beta_{c_{x_0}}=\mathrm{id}$、同様に $\beta_{\bar\gamma}\beta_\gamma=\mathrm{id}$ である。弧状連結なら任意の二点が道で結べるので、後半が従う。
5：定義の式から $\varphi\circ T_\gamma f=T_{\varphi\circ\gamma}(\varphi\circ f)$ が写像として成り立つ。$\square$

要点：$n=1$ では殻の式が $\gamma$、$f$、$\bar\gamma$ をこの順につないだ道になる。

要点：1 は補題の 1 そのもの。2 はホモトピー逆写像から左逆を作り、もう一方の合成が基点の取り替えの合成になることから全射を得る。

商写像 $q\colon I^n\to I^n/\partial I^n=S^n$ により、連続写像 $S^n\to X$ は $\partial I^n$ の上で定値な連続写像 $I^n\to X$ と一対一に対応する。$I$ はコンパクト Hausdorff なので $q\times\mathrm{id}_I$ も商写像であり、ホモトピー $S^n\times I\to X$ は、各 $v$ で $\partial I^n\times\{v\}$ の上で定値な連続写像 $I^n\times I\to X$ と一対一に対応する。その定値の値を $v$ の関数と見たものが、基点の軌跡である。
全射：$h\colon S^n\to X$ をとり、$x_1:=h(q(\partial I^n))$ とする。$h\circ q$ は $\pi_n(X,x_1)$ の元を代表する。弧状連結性から $x_0$ から $x_1$ への道 $\gamma$ をとり、lem-cbh-trace の 2 を $\gamma$ と $h\circ q$ に当てると、各 $v$ で境界の上で定値な $F$ が得られ、$T_\gamma(h\circ q)$ から $h\circ q$ への自由ホモトピーになる。よって $\Phi(\beta_\gamma[h\circ q])=[h]$ である。
同じ軌道の元は同じ類に移る：$x_0$ のループ $\gamma$ と $f\colon(I^n,\partial I^n)\to(X,x_0)$ に lem-cbh-trace の 2 を当てると、$T_\gamma f$ から $f$ への自由ホモトピーが得られるので、$\Phi(\beta_\gamma[f])=\Phi([f])$ である。
同じ類に移る元は同じ軌道にある：$f,f'\colon(I^n,\partial I^n)\to(X,x_0)$ が $S^n$ からの写像として自由ホモトピックなら、上の対応により、各 $v$ で境界の上で定値 $\delta(v)$ をとる $K\colon I^n\times I\to X$ で $K_0=f$、$K_1=f'$ となるものがある。$\delta(0)=\delta(1)=x_0$ なので $\delta$ は $x_0$ のループであり、lem-cbh-trace の 1 から $[f]=\beta_\delta[f']$ である。$\square$

要点：軌道が 1 点ずつになる。道の取り替えはループの作用の分だけ違う。

要点：殻の式に $p$ を合成する。

要点：被覆変換は対蹠写像で、その写像度は $(-1)^{n+1}$ である。