Cayley–Hamiltonの定理

和については定義から明らかである。$f=\sum_ia_ix^i$、$g=\sum_jb_jx^j$ とすると $fg=\sum_k\bigl(\sum_{i+j=k}a_ib_j\bigr)x^k$ である。一方、$R$ の元（スカラー）は行列の積と可換で $A^iA^j=A^{i+j}$ なので
$$ f(A)g(A)=\sum_{i,j}a_ib_jA^{i+j}=\sum_k\Bigl(\sum_{i+j=k}a_ib_j\Bigr)A^k=(fg)(A) $$
である。$fg=gf$ なので $f(A)g(A)=(fg)(A)=(gf)(A)=g(A)f(A)$ である。$\square$

$n=1$ なら $A=(a)$、$p_A(x)=x-a$ で $p_A(A)=(a)-(a)=O$ である。以下 $n\ge2$ とする。
可換環 $R[x]$ を成分とする $n$ 次正方行列 $xI_n-A$ の余因子行列を $\operatorname{adj}(xI_n-A)$ とする（行列式 の記事の定義「小行列式と余因子」）。余因子行列の公式（行列式 の記事の定理「余因子行列と逆行列の公式」の 1）は体の性質を使わずに証明されるので可換環 $R[x]$ の上でも成り立ち（同記事の注意「可換環上の行列式」）、
$$ (xI_n-A)\operatorname{adj}(xI_n-A)=\det(xI_n-A)\,I_n=p_A(x)\,I_n \qquad\text{(1)} $$
である。$\operatorname{adj}(xI_n-A)$ の各成分は、各成分が $x$ の高々 1 次式である $n-1$ 次正方行列の行列式（に符号を付けたもの）なので、Leibniz の公式により $x$ について高々 $n-1$ 次の多項式である。そこで各成分を $x$ の冪ごとに分けると
$$ \operatorname{adj}(xI_n-A)=B_{n-1}x^{n-1}+\cdots+B_1x+B_0\qquad(B_k\in M_n(R)) $$
と書ける。ここで $B_k$ は各成分の $x^k$ の係数を並べた行列である。便宜上 $B_{-1}:=O$、$B_n:=O$ とおく。
(1) の左辺は $\sum_{k=0}^{n-1}B_kx^{k+1}-\sum_{k=0}^{n-1}AB_kx^k$、右辺は $\sum_{k=0}^nc_kI_nx^k$ である。成分が多項式の行列が等しいことは、各成分の各次数の係数が等しいことであり、これは $x^k$ の係数の行列どうしが等しいことと同じである。よって $k=0,1,\dots,n$ について
$$ B_{k-1}-AB_k=c_kI_n \qquad\text{(2)} $$
である（$k=0$ では $-AB_0=c_0I_n$、$k=n$ では $B_{n-1}=I_n$）。(2) に左から $A^k$ を掛けて $k=0$ から $n$ まで足すと、右辺の和は $\sum_{k=0}^nc_kA^k=p_A(A)$ であり、左辺の和は
$$ \sum_{k=0}^n\bigl(A^kB_{k-1}-A^{k+1}B_k\bigr)=A^0B_{-1}-A^{n+1}B_n=O $$
である（隣り合う項 $-A^{k+1}B_k$ と $A^{k+1}B_k$ が打ち消し合う）。よって $p_A(A)=O$ である。$\square$

$c_0=p_A(0)=\det(-A)=(-1)^n\det A$ である（def-ch-charpoly の後の段落）。thm-cayley-hamilton により $A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A=-c_0I_n$ なので、$C:=A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_1I_n$ とおくと $AC=CA=-c_0I_n$ である（$C$ は $A$ の多項式なので $A$ と可換である。prop-ch-evaluation）。$c_0$ が単元なら $B:=-c_0^{-1}C$ は $AB=BA=I_n$ を満たす。$A$ と可換な $X$ は $A$ の冪とも可換なので $C$ と可換であり、したがって $A^{-1}=B$ とも可換である。$\square$

$p_A$ の最高次係数は $1$（単元）なので、多項式環 の記事の定理「除法の原理」により $f=qp_A+r$、$\deg r< n$ となる $q,r\in R[x]$ がある。prop-ch-evaluation と thm-cayley-hamilton により $f(A)=q(A)p_A(A)+r(A)=q(A)O+r(A)=r(A)$ である。$f=x^m$ とすれば後半を得る。$\square$

$m_A$ を最小多項式の 1 つとする。$f=qm_A$ なら $f(A)=q(A)m_A(A)=O$ である（prop-ch-evaluation）。逆に $f(A)=O$ とし、除法の原理により $f=qm_A+r$、$\deg r<\deg m_A$ と書くと、$r(A)=f(A)-q(A)m_A(A)=O$ である。$r\ne0$ なら $r$ をその最高次係数で割ったものは $A$ を零化し最高次係数が $1$ で次数が $\deg m_A$ より小さく、最小性に反する。よって $r=0$、$m_A\mid f$ である。
$m_A,m_A'$ がともに最小多項式なら互いに割り切り、次数が等しく最高次係数がともに $1$ なので $m_A=m_A'$ である。$p_A(A)=O$（thm-cayley-hamilton）なので $m_A\mid p_A$ であり、$\deg m_A\le\deg p_A=n$ である。$\square$

$x^k$ は $A$ を零化するので $m_A\mid x^k$ である（prop-ch-minimal-divides）。体上の多項式の一意分解（多項式環 の記事の定理「体上の一意分解」）により、$x^k$ を割り切る最高次係数 $1$ の多項式は $x^j$（$0\le j\le k$）の形なので $m_A=x^j$ であり、$j=\deg m_A\le n$ である。よって $A^n=A^{n-j}A^j=A^{n-j}m_A(A)=O$ である。$\square$

1 を示す。$\lambda$ が固有値で $Av=\lambda v$、$v\ne0$ とする。$A^kv=\lambda^kv$ なので任意の $f\in K[x]$ について $f(A)v=f(\lambda)v$ であり、$0=m_A(A)v=m_A(\lambda)v$ と $v\ne0$ から $m_A(\lambda)=0$ である。逆に $m_A(\lambda)=0$ なら、$m_A\mid p_A$（prop-ch-minimal-divides）より $p_A(\lambda)=0$ であり、固有値 の記事の命題「固有空間と特性方程式」の 2 により $\lambda$ は固有値である。
2 を示す。$A$ が対角化可能で $P^{-1}AP=D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ とし、$\lambda_1,\dots,\lambda_n$ のうち相異なるものを $\mu_1,\dots,\mu_r$、$q=(x-\mu_1)\cdots(x-\mu_r)$ とする。$q(D)=\operatorname{diag}(q(\lambda_1),\dots,q(\lambda_n))=O$ であり、$A^k=PD^kP^{-1}$ から $q(A)=Pq(D)P^{-1}=O$ である。よって $m_A\mid q$（prop-ch-minimal-divides）であり、体上の多項式の一意分解（多項式環 の記事の定理「体上の一意分解」）により、$q$ を割り切る最高次係数 $1$ の多項式は $x-\mu_1,\dots,x-\mu_r$ のいくつかの積である。したがって $m_A$ は相異なる 1 次式の積である。
逆に $m_A=(x-\mu_1)\cdots(x-\mu_r)$（$\mu_j$ は相異なる）とし、$j=1,\dots,r$ について
$$ e_j(x):=\prod_{i\ne j}\frac{x-\mu_i}{\mu_j-\mu_i}\in K[x] $$
とおく（$r=1$ なら $e_1=1$）。$e_j(\mu_k)$ は $j=k$ なら $1$、$j\ne k$ なら $0$ なので、$g:=e_1+\cdots+e_r-1$ は次数 $r-1$ 以下で $\mu_1,\dots,\mu_r$ をすべて根にもつ。$g\ne0$ とすると、除法の原理により $g=(x-\mu_1)g_1$ と書け、$0=g(\mu_2)=(\mu_2-\mu_1)g_1(\mu_2)$ から $g_1(\mu_2)=0$ である。これを繰り返すと $(x-\mu_1)\cdots(x-\mu_r)$ が $g$ を割り切り、$\deg g\le r-1$ に反する。よって $g=0$ であり、prop-ch-evaluation により $I=e_1(A)+\cdots+e_r(A)$ である。また $c_j:=\prod_{i\ne j}(\mu_j-\mu_i)^{-1}$ とおくと $(x-\mu_j)e_j(x)=c_jm_A(x)$ なので、$(A-\mu_jI)e_j(A)=c_jm_A(A)=O$ である。したがって各 $v\in K^n$ は
$$ v=e_1(A)v+\cdots+e_r(A)v,\qquad e_j(A)v\in\ker(A-\mu_jI) $$
と書け、$K^n$ は $\ker(A-\mu_1I),\dots,\ker(A-\mu_rI)$ の和である。それぞれの基底を合わせた族は $K^n$ を張るので、その中から $K^n$ の基底がとれる。その各元は $0$ でなく、ある $\mu_j$ について $A$ の固有値 $\mu_j$ に属する固有ベクトルである。固有ベクトルからなる基底があるので $A$ は対角化可能である（固有値 の記事の定義「対角化可能な線形変換」）。$\square$