一般次元のPoincaré予想

$\varphi:=\beta\circ\alpha^{-1}\vert_{S^{n-1}}$ は $S^{n-1}$ の同相写像である。$G\colon D^n\to D^n$ を $G(0):=0$、$y\ne0$ で $G(y):=\lvert y\rvert\,\varphi^{-1}(y/\lvert y\rvert)$ と定める。$\lvert G(y)\rvert=\lvert y\rvert$ なので $G$ は原点でも連続で、$y\mapsto\lvert y\rvert\,\varphi(y/\lvert y\rvert)$ が同じ理由で連続な逆写像なので、$G$ は同相写像である（円周の同相写像を錐に延ばす、Alexander の方法）。
$S^n\subset\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}$ の閉じた下半球・上半球への同相写像 $\iota_\pm(y):=\bigl(y,\pm\sqrt{1-\lvert y\rvert^2}\bigr)$（$y\in D^n$）をとり、$g\colon X\to S^n$ を
$$ g:=\iota_-\circ\alpha\ \ (A\text{ の上}),\qquad g:=\iota_+\circ G\circ\beta\ \ (B\text{ の上}) $$
と定める。$x\in A\cap B$ なら $u:=\alpha(x)\in S^{n-1}$、$\beta(x)=\varphi(u)$ で、$G(\varphi(u))=u$ なので、$\iota_+(G(\beta(x)))=(u,0)=\iota_-(\alpha(x))$ となり、2 つの定義は一致する。$A$、$B$ は閉集合なので、貼り合わせの補題により $g$ は連続である。$\iota_-\circ\alpha$ は $A$ から閉じた下半球 $S_-$ への、$\iota_+\circ G\circ\beta$ は $B$ から閉じた上半球 $S_+$ への全単射で、どちらも $A\cap B$ をちょうど赤道 $S_-\cap S_+$ の上へ同じ写像で写すので、$g$ は全単射である。$g^{-1}$ は閉集合 $S_\pm$ の上でそれぞれ同相写像の逆写像なので連続で、貼り合わせの補題により $g^{-1}$ も連続である。よって $g$ は同相写像である。$\square$

$U:=X\setminus F(D_{1/2})$、$V:=F(B_\rho)$、$A_0:=F(\{\frac12< \lvert x\rvert\le1\})$ とおく。$F(D_{1/2})$ はコンパクトなので $U$ は開集合で、$U\cup V=X$、$U\cap V=F(\{\frac12< \lvert x\rvert< \rho\})$ は $S^{n-1}\times(\frac12,\rho)$ と同相である。$0\le s\le1$ について、$\frac12< \lvert x\rvert< 1$ の点で $H_s(F(x)):=F\bigl((1-s+s/\lvert x\rvert)x\bigr)$、$U$ のほかの点で $H_s:=\mathrm{id}$ とおくと、$H$ は連続で（$\lvert x\rvert=1$ で恒等写像につながる）、$H_1(U)=X_f$、$H_1(A_0)=f(S^{n-1})$ であり、$X_f$ の点は動かない。よって $X_f$ は $U$ の、$f(S^{n-1})$ は $A_0$ の強変形レトラクトである。
1．$U$ が連結であることを示す。$U=U_1\sqcup U_2$（空でない開集合）とすると、連結な $U\cap V$ はたとえば $U_1$ に含まれ、$U_2\cap V=\emptyset$ なので $X=(U_1\cup V)\sqcup U_2$ となって $X$ の連結性に反する。多様体は局所弧状連結なので $U$ は弧状連結で、$U\cap V$（$n-1\ge2$ なので弧状連結かつ単連結）と $V$（開球体と同相）も弧状連結である。Van Kampenの定理 の定理「Van Kampenの定理」により $\pi_1(X)\cong\pi_1(U)\ast_{\pi_1(U\cap V)}\pi_1(V)$ で、$\pi_1(U\cap V)$ と $\pi_1(V)$ は自明なので $\pi_1(X)\cong\pi_1(U)$ である。$X_f$ は $U$ の変形レトラクトなので連結で、$\pi_1(X_f)\cong\pi_1(U)\cong\pi_1(X)$ である。
2．包含 $(X_f,f(S^{n-1}))\to(U,A_0)$ は、$X_f\to U$ と $f(S^{n-1})\to A_0$ がホモトピー同値なので、2 つの対の長完全列と 5 項補題により相対ホモロジーの同型を引き起こす。$Z:=F(D_{1/2})$ は閉集合で、$f(D^n)$ の内部 $F(B_1)$ に含まれ、$X\setminus Z=U$、$f(D^n)\setminus Z=A_0$ なので、切除定理(特異ホモロジー) の定理「切除定理」により $H_k(U,A_0)\cong H_k(X,f(D^n))$ である。$f(D^n)$ は可縮なので、相対ホモロジーと長完全列 の命題「被約ホモロジーの対の長完全列」から $H_k(X,f(D^n))\cong\tilde H_k(X)$ である。
3．$x_0:=f(0)$ とする。$X\setminus V$ は閉集合で開集合 $U$ に含まれるので、切除により $H_k(X,U)\cong H_k(V,U\cap V)\cong H_k(B_\rho,B_\rho\setminus D_{1/2})$ であり、同様に $H_k(X,X\setminus\{x_0\})\cong H_k(B_\rho,B_\rho\setminus\{0\})$ である。$B_\rho\setminus D_{1/2}\to B_\rho\setminus\{0\}$ はホモトピー同値なので、包含が引き起こす $H_k(X,U)\to H_k(X,X\setminus\{x_0\})$ は同型で、これは $k=n$ で $\mathbb{Z}$、ほかで $0$ である（切除定理(特異ホモロジー) の定理「Euclid 空間の局所ホモロジーと次元の不変性」）。$H_n(X)\cong\mathbb{Z}\ne0$ なので、向き付け可能多様体 の定理「最高次のホモロジーと向き」により $X$ は向き付け可能で、基本類の $H_n(X,X\setminus\{x_0\})$ への像は生成元である。よって $H_n(X)\to H_n(X,U)$ は同型である。被約ホモロジーの対 $(X,U)$ の長完全列
$$ H_{k+1}(X)\to H_{k+1}(X,U)\to\tilde H_k(U)\to\tilde H_k(X)\to H_k(X,U) $$
を見る。$k\le n-2$ では $H_{k+1}(X,U)=0$、$\tilde H_k(X)=0$ なので $\tilde H_k(U)=0$ である。$k=n-1$ では左の写像 $H_n(X)\to H_n(X,U)$ が全射で $\tilde H_{n-1}(X)=0$ なので $\tilde H_{n-1}(U)=0$ である。$k=n$ では $H_{n+1}(X,U)=0$ で $H_n(X)\to H_n(X,U)$ が単射なので $H_n(U)=0$ であり、$k>n$ では両隣が $0$ である。$X_f$ は $U$ とホモトピー同値なので $\tilde H_*(X_f)=0$ である。$\square$

$W$ の内部の滑らかな円板 $f$ をとり、$W':=W_f$ とおく。$\partial W'=f(S^{n-1})\sqcup\partial W$ で、lem-gpc-remove-disk の 1 により $W'$ は単連結、2 により $H_*(W',f(S^{n-1}))\cong\tilde H_*(W)=0$ である。$f(S^{n-1})\cong S^{n-1}$ は $n-1\ge2$ なので単連結である。$W'$ はコンパクト集合 $W$ の閉集合なのでコンパクトで、$(W';f(S^{n-1}),\partial W)$ は h同境定理 の定理「h同境定理」の仮定をすべてみたす。したがって微分同相写像 $F\colon f(S^{n-1})\times[0,1]\to W'$ で $F(y,0)=y$、$F(f(S^{n-1})\times\{1\})=\partial W$ となるものがある。
$h\colon W\to D^n$ を
$$ h(f(x)):=\tfrac12x\ \ (x\in D^n),\qquad h\bigl(F(f(v),t)\bigr):=\tfrac{1+t}{2}\,v\ \ (v\in S^{n-1},\ 0\le t\le1) $$
と定める。$W=f(D^n)\cup W'$ で、2 つの閉集合の共通部分は $f(S^{n-1})$ であり、そこでは $F(f(v),0)=f(v)$ なので 2 つの式はともに $\frac12v$ を与える。貼り合わせの補題により $h$ は連続である。$h$ は $f(D^n)$ を $D_{1/2}$ の上へ、$W'$ を円環 $\{\frac12\le\lvert x\rvert\le1\}$ の上へ全単射に写し（$(v,t)\mapsto\frac{1+t}2v$ は $S^{n-1}\times[0,1]$ からこの円環への全単射）、両者の重なりは $\lvert x\rvert=\frac12$ だけなので、$h$ は全単射である。$W$ はコンパクトで $D^n$ は Hausdorff なので $h$ は同相写像であり、$h(\partial W)=h(F(f(S^{n-1})\times\{1\}))=S^{n-1}$ である。$\square$

$M$ の滑らかな円板 $f\colon D^n\to M$ をとり、$W:=M_f$ とおく。$W$ はコンパクト集合 $M$ の閉集合なのでコンパクトであり、lem-gpc-remove-disk の 1 と 3 により連結、単連結で $\tilde H_*(W)=0$ である。$\partial W=f(S^{n-1})$ は $n-1\ge2$ なので単連結である。また $M=W\cup f(D^n)$ で、2 つの閉集合の共通部分は $f(S^{n-1})=\partial W$ である。したがって、同相写像 $\alpha\colon W\to D^n$ で $\alpha(\partial W)=S^{n-1}$ となるものがあれば、$\beta:=f^{-1}\colon f(D^n)\to D^n$ と合わせて lem-gpc-two-disks により $M$ は $S^n$ と同相である。以下、$\alpha$ を作る。
$n\ge6$ の場合．$W$ は prop-gpc-disk の仮定をみたすので、$\alpha$ がある。
$n=5$ の場合．$W$ は 5 次元なので prop-gpc-disk は直接には使えない。1 つ次元を上げる。
段 1（6 次元の円板）．$P:=W\times[0,1]$ は角付き多様体で、角の解消 の定理「積の角の解消」により、位相空間としてはそのままで 6 次元の滑らかな境界付き多様体の構造をもち、境界は
$$ Q:=\partial P=(W\times\{0\})\cup(\partial W\times[0,1])\cup(W\times\{1\}) $$
である。$P$ はコンパクトで、射影 $P\to W$ はホモトピー同値なので $P$ は単連結で $\tilde H_*(P)=0$ である。$Q$ も単連結である（下の「詳細」）。prop-gpc-disk を $n=6$ で $P$ に使うと、同相写像 $P\to D^6$ で $Q$ を $S^5$ の上へ写すものがあり、その制限 $\psi\colon Q\to S^5$ は同相写像である。
段 2（両側カラー）．$\Sigma:=\partial W\times\{0\}\subset Q$ は $S^4$ と同相である。境界に沿った貼り合わせと連結和 の補題「円板をくり抜いた多様体」の $\partial W$ のカラー $c\colon\partial W\times[0,1)\to W$ を使い、
$$ b\bigl((y,0),s\bigr):=\begin{cases}\bigl(c(y,-s),0\bigr)&-1< s\le0,\\ (y,s)\in\partial W\times[0,1)&0\le s< 1\end{cases} $$
とおくと、$b$ は $\Sigma\times(-1,1)$ から $Q$ の開集合の上への同相写像で、$\Sigma$ の両側カラーである（下の「詳細」）。よって $\psi(\Sigma)$ は $S^5$ の中の両側カラーをもつ 4 次元球面である。
段 3（成分の特定）．$Q\setminus\Sigma$ は、$(W\setminus\partial W)\times\{0\}$ と $(\partial W\times(0,1])\cup(W\times\{1\})$ の非交和である。前者の $Q$ での補集合 $(\partial W\times[0,1])\cup(W\times\{1\})$ と、後者の $Q$ での補集合 $W\times\{0\}$ はどちらも閉集合なので、2 つはともに開集合である。前者は連結である（包含 $\operatorname{Int}W\to W$ はホモトピー同値で（カラー近傍定理 の系「内部とのホモトピー同値」）、$W$ は連結だから）。後者は $W\times\{1\}$ と各 $\{y\}\times(0,1]$ という連結集合の和で、それぞれが $W\times\{1\}$ と交わるので連結である。よってこれらが $Q\setminus\Sigma$ の 2 つの連結成分であり、前者の閉包は $W\times\{0\}$ である（境界の点 $(c(y,0),0)$ は $(c(y,s),0)$、$s\to0$ の極限）。thm-gpc-brown を $\psi(\Sigma)\subset S^5$ に使うと、$\psi(W\times\{0\})$ は $\psi(\Sigma)$ を $S^4$ に写す同相写像で $D^5$ と同相である。$\psi$ と $W\to W\times\{0\}$ を合成すれば、求める $\alpha$ が得られる。$\square$