円周束

存在は パラコンパクト空間 の定理「1 の分割の存在」による。$L$ を自明にする開被覆 $\{U_a\}$ と枠 $e_a$ について、$U_a$ の上で $e_a$ を長さ $1$ とする内積 $\langle\ ,\ \rangle_a$ を作り、従属する 1 の分割 $(\rho_a)$ で $\sum_a\rho_a\langle\ ,\ \rangle_a$ とおけばよい（各点で有限和で、正定値な内積の正係数の和は正定値である）。2 つの計量 $h,h'$ について、ファイバーが $1$ 次元なので $h'(v,v)=f(x)\,h(v,v)$（$v\in L_x$）となる関数 $f\colon B\to(0,\infty)$ があり、局所枠 $e$ について $f=h'(e,e)/h(e,e)$ なので $f$ は連続である。$v\mapsto f(p(v))^{1/2}v$ は $\mathrm{U}(1)$ の作用と可換で、$h'$ の単位円周束を $h$ の単位円周束の上へ写し、逆写像 $v\mapsto f(p(v))^{-1/2}v$ も連続なので、円周束の同型である。

第 1 段：余輪体の条件．共通の単体に入る頂点の順序付きの 4 つ組 $(a_0,a_1,a_2,a_3)$ について、$a_m$ を除いた 3 つ組の $\kappa$ の値を $\kappa^{(m)}$ と書き、$D(a_0,a_1,a_2,a_3):=\sum_{m=0}^3(-1)^m\kappa^{(m)}$ とおく。隣り合う 2 つの成分を入れ替えると、$D$ は $-1$ 倍になる。実際、その 2 つのどちらも除かない項では、除いた後の 3 つ組で隣り合う 2 つが入れ替わるので $\kappa$ の値が $-1$ 倍になり、その 2 つのどちらかを除く 2 項は、入れ替えの後には互いの位置に移って、符号 $(-1)^m$ が逆になる。よって $D$ は成分の置換で置換の符号倍になる。2 つの成分が等しければ、その 2 つの互換で $D=-D$ となり、$D=0$ である。成分が相異なれば、それらは $K$ の $3$ 単体の頂点で、小さい順に並べ替えた値は単体的な余境界 $\delta\kappa$ のその $3$ 単体での値 $0$ である。したがってつねに $D=0$ であり、共通の単体に入る任意の頂点 $k,a,b,c$ について $\displaystyle \kappa_{abc}-\kappa_{kbc}+\kappa_{kac}-\kappa_{kab}=0\qquad(\ast)$ が成り立つ。

第 2 段：コサイクル条件．閉単体 $\tau$ の点 $x$ では、$\lambda_k(x)>0$ となる $k$ はすべて $\tau$ の頂点である。$\tau$ の頂点 $a,b,c$ について、$(\ast)$ に $\lambda_k(x)$ を掛けて $k$ について和をとると、$\sum_k\lambda_k=1$ から、$\tau$ の上で $\displaystyle h_{bc}-h_{ac}+h_{ab}=\kappa_{abc}\qquad(\ast\ast)$ である。$U_a\cap U_b\cap U_c$ の点 $x$ では、$a,b,c$ はどれも $x$ を内部に含む単体の頂点なので、その単体に $(\ast\ast)$ を使うと $h_{ab}+h_{bc}-h_{ac}=\kappa_{abc}\in\mathbb Z$、よって $g_{ab}g_{bc}=g_{ac}$ である。$h_{aa}=0$ から $g_{aa}=1$ でもある。$g_{ab}$ は連続で $\mathbb C^\times=\mathrm{GL}(1,\mathbb C)$ に値をとるので、ベクトル束 の命題「変換関数の連続性・コサイクル条件と束の再構成」の 2 により、1 の局所自明化をもつ複素直線束 $L$ がある（$K$ は Hausdorff なので $L$ も Hausdorff である）。$\varphi_a$ の第 2 成分を $z_a$ と書くと、$U_a\cap U_b$ の上で $z_a=g_{ab}z_b$ であり、$|g_{ab}|=1$ なので $|z_a|=|z_b|$ である。変換関数は $\mathbb C\cong\mathbb R^2$ の回転なので、$\varphi_a$ はどれも各ファイバーの複素構造の向きを $\mathbb C$ の標準の向きに写し、Euler類 の定義「ベクトル束の向き」の意味で $L$ の向きを与える。これで 1 が示された。

第 3 段：$1$ 骨格の上の切断．$a\ne b$ とし、$x\in K^1\cap U_a\cap U_b$ とする。$x$ を内部に含む単体は $1$ 骨格の単体で $a,b$ を頂点にもつので辺 $[a,b]$ であり、$k\ne a,b$ では $\lambda_k(x)=0$ である。よって $h_{ab}(x)=\lambda_a(x)\kappa_{aab}+\lambda_b(x)\kappa_{bab}=0$、$g_{ab}(x)=1$ である。したがって $K^1\cap U_a$ の上で $\sigma(x):=\varphi_a^{-1}(x,1)$ と定めると $a$ によらず、$\sigma$ は $K^1$ の上の連続な切断で、どこでも $|\sigma|=1$ である。

第 4 段：閉単体の上の自明化．次元が $1$ 以上の閉単体 $\tau$ をとり、その最小の頂点を $o$ とする。$\tau$ の頂点 $a,b$ について、整数 $n_{ab}:=\kappa_{oab}$ と $\tau$ の上の関数 $h'_{ab}:=h_{ab}-n_{ab}$ をおく。$(\ast)$ で $k=o$ とした式 $n_{bc}-n_{ac}+n_{ab}=\kappa_{abc}$ を $(\ast\ast)$ から引くと、$\tau$ の上で $h'_{bc}-h'_{ac}+h'_{ab}=0$ である（これを $(\dagger)$ とする）。$\tau$ の上の関数 $\Theta_a:=\sum_l\lambda_l\,h'_{la}$（$l$ は $\tau$ の頂点を動く）をおく。$(\dagger)$ を 3 つ組 $(l,a,b)$ に使うと $h'_{lb}-h'_{la}=h'_{ab}$ なので、$\sum_l\lambda_l=1$ から $\Theta_b-\Theta_a=h'_{ab}$ である。

$\tau\cap U_a$ の上で $\psi_\tau(\varphi_a^{-1}(x,z)):=(x,\ e^{2\pi i\Theta_a(x)}z)$ と定める。$x\in\tau\cap U_a\cap U_b$ なら $\varphi_a^{-1}(x,z)=\varphi_b^{-1}(x,g_{ba}(x)z)$ であり、$g_{ba}=e^{-2\pi ih_{ab}}$ から $e^{2\pi i\Theta_b}g_{ba}=e^{2\pi i(\Theta_a+h'_{ab}-h_{ab})}=e^{2\pi i\Theta_a}e^{-2\pi in_{ab}}=e^{2\pi i\Theta_a}$ なので、$\psi_\tau$ は $a$ によらない。$\psi_\tau\colon L|_\tau\to\tau\times\mathbb C$ は、各 $\tau\cap U_a$ の上で連続な逆写像 $(x,w)\mapsto\varphi_a^{-1}(x,e^{-2\pi i\Theta_a(x)}w)$ をもつ連続な全単射で、$\{\tau\cap U_a\}$ は $\tau$ の開被覆なので同相写像である。各ファイバーの上では回転なので、$\psi_\tau$ は向きを保つ自明化である。

$\tau$ の辺 $[a,b]$ の上では、$l\ne a,b$ で $\lambda_l=0$ であり、第 3 段と同じ計算で $h_{ba}=0$、また $h'_{aa}=h_{aa}-\kappa_{oaa}=0$ である。$n_{ba}=-n_{ab}$ なので $\Theta_a=\lambda_bh'_{ba}=-\lambda_bn_{ba}=\lambda_bn_{ab}$ となる。よって辺 $[a,b]$ の $b$ 以外の点で $\psi_\tau(\sigma(x))=(x,\ e^{2\pi i\lambda_b(x)n_{ab}})$ であり、両辺の連続性から $b$ でもこの式が成り立つ。

第 5 段：切断の延長．$\sigma$ を $K$ 全体の切断 $s$ に延ばす。次元 $k\ge2$ の単体について、$k$ の小さい方から順に定める。単体 $\tau$ の境界 $\partial\tau$ の上で $s$ が定まっているとき、$\psi_\tau(s(y))=(y,f(y))$ と書き、$\tau$ の重心を $\beta$ として $\displaystyle s\bigl(\beta+t(y-\beta)\bigr):=\psi_\tau^{-1}\bigl(\beta+t(y-\beta),\ t\,f(y)\bigr)\qquad(y\in\partial\tau,\ 0\le t\le1)$ とおく。写像 $\partial\tau\times[0,1]\to\tau$、$(y,t)\mapsto\beta+t(y-\beta)$ は、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので商写像であり、$\partial\tau\times\{0\}$ を $\beta$ に潰すほかは単射である（単体複体 の命題「単体は閉球体と同相」の証明の段 1）。右辺は $t=0$ で $y$ によらず $\psi_\tau^{-1}(\beta,0)$ なので、$s$ は $\tau$ の上で矛盾なく定まって連続であり、$t=1$ では元の値に一致する。有限個の閉単体の上の連続写像で、共通部分（共通の面）の上で値が一致するものを貼り合わせて、$s$ は $K$ 全体の連続な切断になり、$K^1$ の上では $\sigma$ に等しい。

第 6 段：$2$ 単体での値．$s$ は $K^1$ を $L_0$（$0$ でないベクトルの全体）に写すので対の写像 $s\colon(K,K^1)\to(L,L_0)$ を与え、$\xi:=s^*u\in H^2(K,K^1)$ が定まる（$u$ は $L$ の Thom 類）。包含 $j\colon(K,\emptyset)\to(K,K^1)$ について、Euler類 の定義「Euler 類と Euler 数」の直後の式（任意の切断 $s$ について $e(E)=s^*(u|_E)$）により $j^*\xi=s^*(u|_L)=e(L)$ である。$2$ 単体 $\tau=[v_0,v_1,v_2]$（$v_0< v_1< v_2$）について、$\sigma_\tau\colon\Delta^2\to K$ は $\partial\Delta^2$ を $K^1$ に写すので $(K,K^1)$ の相対輪体である。$\langle\xi,\sigma_\tau\rangle=\kappa_{v_0v_1v_2}$ を示す。

$u$ を $(L|_\tau,(L|_\tau)_0)$ に制限した類と $\psi_\tau^*\mathrm{pr}_2^*\nu$（$\nu:=u_{\mathbb C}$ は複素構造の向きの生成元）は、どちらもファイバー $L_y$ への制限が $u_{L_y}$ である（$\psi_\tau$ はファイバーごとに向きを保つ線型同型）。Euler類 の定理「Thom 類の存在と一意性」の一意性を束 $L|_\tau\to\tau$ に使うと両者は等しい。よって $F:=\mathrm{pr}_2\circ\psi_\tau\circ s\circ\sigma_\tau\colon(\Delta^2,\partial\Delta^2)\to(\mathbb C,\mathbb C_0)$ を相対輪体とみると、$\langle\xi,\sigma_\tau\rangle=\langle u,s\circ\sigma_\tau\rangle=\langle\nu,F\rangle$ である。

$\tau$ では $o=v_0$ なので、$n_{v_0v_1}=\kappa_{v_0v_0v_1}=0$、$n_{v_0v_2}=0$、$n_{v_1v_2}=\kappa_{v_0v_1v_2}=:m$ である。第 4 段の辺の上の式により、$F$ は辺 $[e_0,e_1]$ と $[e_0,e_2]$ の上で定数 $1$ であり、$\sigma_\tau((1-t)e_1+te_2)$ での $\lambda_{v_2}$ は $t$ なので $F((1-t)e_1+te_2)=e^{2\pi imt}$ である。したがって特異鎖として $\displaystyle \partial F=F|_{[e_1,e_2]}-F|_{[e_0,e_2]}+F|_{[e_0,e_1]}=\omega_m,\qquad\omega_m(t):=e^{2\pi imt}$ である（2 つの定数の $1$ 単体は同じものなので打ち消し合う）。$\omega_m=p_m\circ\omega$（$p_m(z)=z^m$、$\omega(t)=e^{2\pi it}$）は $S^1$ の輪体で、写像度 の命題「円周の冪写像の写像度」により $H_1(S^1)$ で $[\omega_m]=(p_m)_*[\omega]=m[\omega]$ であり、$[\omega]$ は $H_1(S^1)$ の生成元である（同命題の証明の段 2）。

$\mathbb C$ は可縮なので、対の長完全列の連結準同型 $\partial\colon H_2(\mathbb C,\mathbb C_0)\to H_1(\mathbb C_0)$ は同型であり、包含 $S^1\hookrightarrow\mathbb C_0$ はホモトピー同値（放射状の射影 $r(z)=z/|z|$ がホモトピー逆写像）なので $H_1(\mathbb C_0)$ は $[\omega]$ で生成される。生成元 $\mu_{\mathbb C}$ について $\partial\mu_{\mathbb C}=[\omega]$ を確かめる。$\zeta:=e^{2\pi i/3}$ とし、$\Delta^2$ の頂点 $e_0,e_1,e_2$ を $1,\zeta,\zeta^2$ に写すアフィン写像 $A$ をとる。$\zeta-1$ と $\zeta^2-1$ を並べた行列の行列式は $3\sqrt3/2>0$ で、$A$ は $\Delta^2$ の重心を $0$ に写すので、$A$ は $\mu_{\mathbb C}$ を代表する（$\mu_V$ は、向きを保ち $\Delta^n$ の重心を $0$ に写すアフィン単体の類である。MS74 p. 96）。$\partial A=A_{12}-A_{02}+A_{01}$（$A_{kl}$ は $A(e_k)$ から $A(e_l)$ への線分）である。道 $\gamma$ とその逆の道 $\bar\gamma$ について $\gamma+\bar\gamma$ は境界であり、端点を止めてホモトピックな道は境界の差しかない（Hat02 Theorem 2A.1 の証明の (i)・(ii)・(iv)、p. 166）。線分 $A_{01}$、$A_{12}$、$A_{20}:=\overline{A_{02}}$ を $r$ で $S^1$ に写した道は、それぞれ $1$ から $\zeta$、$\zeta$ から $\zeta^2$、$\zeta^2$ から $1$ への、偏角の幅 $2\pi/3$ の弧の中の道である（弦の内部の点の偏角は両端の偏角の間にある）。弧は可縮なので、これらは $\omega$ を $[0,1/3]$、$[1/3,2/3]$、$[2/3,1]$ に制限した道と端点を止めてホモトピックであり、写像度 の同命題の証明の段 1 により、その 3 つの和は $\omega$ と境界の差しかない。よって $r_*[\partial A]=[\omega]$ であり、$r$ は包含のホモトピー逆写像なので $\partial\mu_{\mathbb C}=[\partial A]=[\omega]$ である。

以上から $\partial[F]=[\omega_m]=m[\omega]=m\,\partial\mu_{\mathbb C}$ で、$[F]=m\,\mu_{\mathbb C}$ である。$\langle u_{\mathbb C},\mu_{\mathbb C}\rangle=1$ なので $\langle\xi,\sigma_\tau\rangle=\langle\nu,[F]\rangle=m=\kappa_{v_0v_1v_2}$ である。

第 7 段：結論．$K$ の辺はすべて $K^1$ に入るので、$(K,K^1)$ の単体的な $1$ 余鎖は $0$ であり、単体的な相対コホモロジー $H^2_\Delta(K,K^1)$ は相対 $2$ 余輪体の群そのものである。$K^1$ には $2$ 単体がないので、$2$ 単体の上の関数 $\kappa$ はそのまま相対余輪体である。冒頭の同型は $\xi$ を余輪体 $\tau\mapsto\langle\xi,\sigma_\tau\rangle$ に写し、第 6 段によりこれは $\kappa$ である。同型は $j$ と両立し、単体的な側の $j^*$ は余輪体 $\kappa$ をその類 $[\kappa]$ に写すので、$e(L)=j^*\xi$ は $[\kappa]=\alpha$ である。$\square$