コゼロ集合

$[0,1]$ に値をとる連続関数は $\mathbb{R}$ に値をとる連続関数である。逆に $g\colon X\to\mathbb{R}$ が連続なら、$f:=\min(1,|g|)$ は連続で $[0,1]$ に値をとり、$f(x)\neq0\iff g(x)\neq0$ である。$\square$

$A=\operatorname{coz}(f)$、$f\colon X\to[0,1]$ 連続とする。$(0,1]$ は $[0,1]$ の開集合なので $A=f^{-1}((0,1])$ は開集合である。$F_\sigma$ 集合であること、および零集合が閉 $G_\delta$ 集合であることは、零集合(位相) の記事の命題「閉性と$G_\delta$表示」の補集合をとったものである（$F_\sigma$ であることは後の prop-cozero-set-union-of-zero-sets からも従う）。$\square$

有限個の共通部分と合併については、零集合(位相) の記事の命題「積と絶対値の和による表示」の補集合をとればよい（$A=\operatorname{coz}(f)$、$B=\operatorname{coz}(g)$ なら $A\cap B=\operatorname{coz}(fg)$、$A\cup B=\operatorname{coz}(|f|+|g|)$。値が $[0,1]$ に収まらないときは prop-cozero-set-real-valued で言い換える）。
可算和：$A_n=\operatorname{coz}(f_n)$ とし、$f(x):=\sum_{n\ge1}2^{-n}f_n(x)$ とおく。各項は $0\le2^{-n}f_n(x)\le2^{-n}$ なので級数は各点で収束し、$0\le f(x)\le\sum_n2^{-n}=1$ である。$f$ は連続である。実際、部分和 $s_N=\sum_{n\le N}2^{-n}f_n$ は連続で、任意の $x$ について $|f(x)-s_N(x)|\le\sum_{n>N}2^{-n}=2^{-N}$ である。$x_0\in X$ と $\varepsilon>0$ に対し、$2^{-N}<\varepsilon/3$ となる $N$ をとり、$s_N$ の連続性により $x_0$ の近傍 $V$ で $x\in V\Rightarrow|s_N(x)-s_N(x_0)|<\varepsilon/3$ となるものをとると、$x\in V$ について $|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-s_N(x)|+|s_N(x)-s_N(x_0)|+|s_N(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon$ である。最後に、各項が非負なので $f(x)\neq0\iff$ ある $n$ について $f_n(x)\neq0$ であり、$\bigcup_nA_n=\operatorname{coz}(f)$ である。零集合については補集合をとればよい。$\square$

$U$ を開集合とし、$C=X\setminus U$ とおく。$C=\emptyset$ なら $U=X$ はコゼロ集合である。$C\neq\emptyset$ のとき、$\operatorname{dist}(x,C):=\inf\{d(x,c)\mid c\in C\}$ とおく。三角不等式 $d(x,c)\le d(x,y)+d(y,c)$ から $\operatorname{dist}(x,C)\le d(x,y)+\operatorname{dist}(y,C)$ であり、$x$ と $y$ を入れ替えて $|\operatorname{dist}(x,C)-\operatorname{dist}(y,C)|\le d(x,y)$ を得るので、$x\mapsto\operatorname{dist}(x,C)$ は連続である。$C$ は閉集合なので、$\operatorname{dist}(x,C)=0\iff x\in C$ である（$x\notin C$ なら $x$ を中心とするある開球が $C$ と交わらないので $\operatorname{dist}(x,C)>0$。$x\in C$ なら $d(x,x)=0$）。よって $f(x):=\min\{1,\operatorname{dist}(x,C)\}$ は $[0,1]$ に値をとる連続関数で $\operatorname{coz}(f)=X\setminus C=U$ である。閉集合については補集合をとればよい。$\square$

$A=\operatorname{coz}(f)$、$B=\operatorname{coz}(g)$ とする。$A\cup B=X$ より各点で $f(x)>0$ または $g(x)>0$ であり、$f+g>0$ である。$h:=f/(f+g)$ とおくと $h$ は連続で $0\le h\le1$ である。$h(x)>0\iff f(x)>0\iff x\in A$ であり、$h(x)<1\iff g(x)>0\iff x\in B$ である。$\square$

コゼロ集合は開集合なので（prop-cozero-set-open-fsigma）、「開基をなす」とは、任意の開集合 $U$ と $x\in U$ に対し $x\in A\subset U$ となるコゼロ集合 $A$ が存在することである。
$X$ が完全正則なら、$F=X\setminus U$ に対し $f(x)=1$、$f|_F=0$ なる $f$ をとると、$A=\operatorname{coz}(f)$ は $x$ を含み $U$ に含まれる。逆に、コゼロ集合が開基をなすとし、閉集合 $F$ と $x\notin F$ をとる。$U=X\setminus F$ は $x$ を含む開集合なので、$x\in\operatorname{coz}(g)\subset U$ となる連続関数 $g\colon X\to[0,1]$ がある。$g(x)>0$ であり、$F$ 上で $g=0$ である。$f:=\min(1,\ g/g(x))$ は連続で $[0,1]$ に値をとり、$f(x)=1$、$f|_F=0$ である。$\square$

$g_n$ は連続関数の差と最大値なので連続である。$g_n(x)=0$ であることは $1/n-f(x)\le0$、すなわち $f(x)\ge1/n$ であることと同値なので、$Z(g_n)=f^{-1}([1/n,1])$ である。この集合の点では $f(x)\ge1/n>0$ なので $Z(g_n)\subset A$ である。逆に $x\in A$ なら $f(x)>0$ であり、Archimedes 性により $1/n\le f(x)$ となる $n\ge1$ が存在するので、$x\in Z(g_n)$ である。よって $A=\bigcup_nZ(g_n)$ である。$\square$

完全正則性により、連続関数 $f\colon X\to[0,1]$ で $f(x)=1$、$X\setminus U$ 上で $f=0$ となるものが取れる。$C:=\{y\mid f(y)>1/2\}=\operatorname{coz}(\max(0,f-1/2))$、$Z:=\{y\mid f(y)\ge1/2\}=Z(\max(0,1/2-f))$ とおく。$\max(0,f-1/2)$ と $\max(0,1/2-f)$ は $[0,1]$ に値をとる連続関数なので、$C$ はコゼロ集合、$Z$ は零集合である。$f(x)=1>1/2$ より $x\in C$ であり、$C\subset Z$ は明らかで、$Z$ の点では $f\neq0$ なので $Z\subset U$ である。
$K$ がコンパクトのとき、各 $x\in K$ について上のように $x\in C_x\subset Z_x\subset U$ を取る。$\{C_x\}_{x\in K}$ は $K$ を覆う開集合の族なので、有限個 $C_{x_1},\dots,C_{x_m}$ で $K$ が覆える。$C:=\bigcup_{i}C_{x_i}$、$Z:=\bigcup_iZ_{x_i}$ とおくと、$C$ はコゼロ集合の有限和なのでコゼロ集合であり（prop-cozero-set-lattice）、$Z$ は零集合の有限和なので零集合である（同じ命題の零集合についての部分）。$K\subset C\subset Z\subset U$ が成り立つ。$K=\emptyset$ のときは $C=Z=\emptyset$ でよい。$\square$