双曲空間

要点：接空間は $\langle x,x\rangle$ の微分の核として求め、正定値性は Cauchy–Schwarz の不等式と $p_{n+1}^2>|\bar p|^2$ から示す。

段 1（行列を作る）。$v_1,\dots,v_n,\ p/a$ を列に並べた行列を $A$ とする。$\langle v_i,v_j\rangle=\delta_{ij}$、$\langle v_i,p\rangle=0$（lem-hs-riemannian）、$\langle p/a,p/a\rangle=-1$ である。$J=\operatorname{diag}(1,\dots,1,-1)$ とおくと $\langle x,y\rangle={}^txJy$ で、これらの関係は ${}^tAJA=J$ を意味する。よって $\langle Ax,Ay\rangle={}^tx\,{}^tAJA\,y=\langle x,y\rangle$ で、$\det A=\pm1$ から $A$ は可逆である。$Ae_i=v_i$、$Ao=a\cdot(p/a)=p$ である。
段 2（上側の葉を保つ）。$A$ は $\langle x,x\rangle$ を保つので、2 葉双曲面 $\{\langle x,x\rangle=-a^2\}$ をそれ自身に移す。2 葉双曲面は $x_{n+1}>0$ の部分 $H^n(a)$ と $x_{n+1}<0$ の部分の和で、$x_{n+1}=0$ の点はない（$\langle x,x\rangle=|\bar x|^2\ge0$ になるから）。$H^n(a)$ は連結なので $A(H^n(a))$ も連結で、$p=Ao$ を含むから、$A(H^n(a))\subset H^n(a)$ である。$A^{-1}$ も $\langle\ ,\ \rangle$ を保ち $p$ を $o$ に移すので、同じ理由で $A^{-1}(H^n(a))\subset H^n(a)$ で、$A(H^n(a))=H^n(a)$ である。よって $A\in O^+(n,1)$ である。
段 3（一意性）。1 次写像は基底 $e_1,\dots,e_n,o$ の行き先で決まる。$\square$

要点：逆写像を書き下し、$r$ 方向と球面方向の接ベクトルの $\langle\ ,\ \rangle$ を計算する。

段 1（測地線の方程式）。$\mathbb R^{n,1}$ の中の $H^n(a)$ の Levi-Civita 接続は、$\mathbb R^{n+1}$ での普通の微分の接成分である（Lee18 Proposition 5.12、p. 124）。したがって曲線 $\gamma$ が測地線であることは、普通の 2 階微分 $\gamma''(t)$ が $T_{\gamma(t)}H^n(a)$ と $\langle\ ,\ \rangle$ について直交することと同値である（同 Corollary 5.2、p. 117 とその後の注意）。$\gamma_v$ では、$\langle p,p\rangle=-a^2$、$\langle p,v\rangle=0$、$\langle v,v\rangle=1$ から $\langle\gamma_v,\gamma_v\rangle=-a^2\cosh^2\frac ta+a^2\sinh^2\frac ta=-a^2$ で、$\gamma_v$ は $H^n(a)$ の中にある。$\gamma_v''=\dfrac1{a^2}\gamma_v$ は lem-hs-riemannian により $T_{\gamma_v(t)}H^n(a)$ に直交するので、$\gamma_v$ は測地線である。初期値 $\gamma_v(0)=p$、$\gamma_v'(0)=v$ をもつ測地線はただ 1 つなので、単位速さの測地線はすべてこの形で、$\mathbb R$ 全体で定義される。
段 2（原点からの距離の下からの評価）。$r(x)=a\operatorname{arcosh}(x_{n+1}/a)$ とおく。$r$ は $H^n(a)$ の上の連続関数で、$r(o)=0$、$x\ne o$ では prop-hs-polar の座標 $r$ に一致する。$x\ne o$ とし、区分的に滑らかな曲線 $c\colon[0,1]\to H^n(a)$ が $c(0)=o$、$c(1)=x$ を満たすとする。$c(t)=o$ となる最後の時刻を $t_0$ とすると、$(t_0,1]$ では $c(t)=\Phi(r(t),\theta(t))$ と書け、prop-hs-polar から $|c'|^2=r'^2+a^2\sinh^2\frac ra\,|\theta'|^2\ge r'^2$ なので
$$ L(c)\ \ge\ \int_{t_0}^1|r'(t)|\,dt\ \ge\ r(x)-\lim_{t\to t_0+}r(t)=r(x) $$
である。等号が成り立つのは、$(t_0,1]$ で $\theta$ が一定、$r$ が単調非減少で、$[0,t_0]$ の部分の長さが $0$（つまり $c$ がそこで $o$ に止まっている）のときに限る。
段 3（原点からの距離）。$x=\Phi(r_0,\theta)$ のとき、$t\mapsto\Phi(t,\theta)$（$0\le t\le r_0$、$t=0$ では $o$）は $\gamma_v$（$p=o$、$v=(\theta,0)$）の一部で、長さは $r_0$ である。よって $d(o,x)=r(x)$、つまり $\cosh\dfrac{d(o,x)}a=\dfrac{x_{n+1}}a=-\dfrac{\langle o,x\rangle}{a^2}$ である。段 2 の等号条件から、$o$ と $x$ を結ぶ最短の曲線はこの線分だけである。
段 4（一般の 2 点）。thm-hs-homogeneous により $Ao=p$ となる $A\in O^+(n,1)$ がある。$A$ は距離と $\langle\ ,\ \rangle$ を保つので、$\cosh\dfrac{d(p,q)}a=\cosh\dfrac{d(o,A^{-1}q)}a=-\dfrac{\langle o,A^{-1}q\rangle}{a^2}=-\dfrac{\langle p,q\rangle}{a^2}$ で、最短の曲線がただ 1 つであることも $A$ で移して分かる。
段 5（測地線は最短）。$\langle\gamma_v(s),\gamma_v(t)\rangle=-a^2\cosh\frac sa\cosh\frac ta+a^2\sinh\frac sa\sinh\frac ta=-a^2\cosh\frac{s-t}a$ なので、2 から $d(\gamma_v(s),\gamma_v(t))=|s-t|$ である。測地線が $\mathbb R$ 全体で定義されるので、Hopf–Rinow の定理（Lee18 Theorem 6.19、p. 169）により $H^n(a)$ は距離空間として完備である。$\square$

方針：$H^n(a)$ を平坦な $\mathbb R^{n,1}$ の中の超曲面とみて、第 2 基本形式を計算し、Gauss 方程式に入れる。
段 1（第 2 基本形式）。$\bar\nabla$ を $\mathbb R^{n+1}$ の普通の微分（$\mathbb R^{n,1}$ の Levi-Civita 接続、曲率 $0$）とする。$x\in H^n(a)$ で $N=x/a$ は $\langle N,N\rangle=-1$ の法ベクトルで、ベクトル $Z$ の法成分は $-\langle Z,N\rangle N$ である。$X,Y$ を $H^n(a)$ の接ベクトル場とすると、$H^n(a)$ の上で $\langle Y,x\rangle=0$ なので、$X$ の向きに微分して $\langle\bar\nabla_XY,x\rangle+\langle Y,X\rangle=0$ である（位置ベクトル $x$ を $X$ の向きに微分すると $X$）。よって第 2 基本形式 $\mathrm{II}(X,Y)=(\bar\nabla_XY)^\perp$ は
$$ \mathrm{II}(X,Y)=-\langle\bar\nabla_XY,N\rangle N=\frac{g(X,Y)}aN=\frac{g(X,Y)}{a^2}\,x $$
である。
段 2（Gauss 方程式）。Riemann 多様体を擬 Riemann 多様体の中の部分多様体とみたときの Gauss 方程式（Lee18 Theorem 8.5、p. 230）は、外側の曲率が $0$ のとき
$$ \mathrm{Rm}(W,X,Y,Z)=\langle\mathrm{II}(W,Z),\mathrm{II}(X,Y)\rangle-\langle\mathrm{II}(W,Y),\mathrm{II}(X,Z)\rangle $$
となる。段 1 と $\langle x,x\rangle=-a^2$ から、右辺は $\dfrac{-a^2}{a^4}\bigl(g(W,Z)g(X,Y)-g(W,Y)g(X,Z)\bigr)$ で、主張の式が得られる。
段 3（断面曲率など）。正規直交な $v,w$ が張る平面の断面曲率は $\mathrm{Rm}(v,w,w,v)=-\dfrac1{a^2}(1\cdot1-0)=-\dfrac1{a^2}$ である。正規直交基底 $E_1,\dots,E_n$ について $\mathrm{Ric}(X,Y)=\sum_i\mathrm{Rm}(E_i,X,Y,E_i)=-\dfrac1{a^2}\bigl(n\,g(X,Y)-g(X,Y)\bigr)$ で、そのトレースがスカラー曲率 $-\dfrac{n(n-1)}{a^2}$ である。$\square$

要点：1 は $s=x_{n+1}-x_n$、$w=x_{n+1}+x_n$ とおくと計量が $|d\xi|^2-ds\,dw$ になることを使って代入し、2 は逆写像を微分して代入する。

要点：prf-hs-models の $s,w$ を使って $\langle x,\tilde x\rangle$ を $(\zeta,y)$ で書き、距離の公式に入れる。