自己準同型環
概要
自己準同型環（endomorphism ring）とは、環 $R$ 上の加群 $M$ から自分自身への $R$ 準同型の全体 $\operatorname{End}_R(M)$ に、写像の和と合成を入れた環のことであり、単元群は自己同型群になる。体上の $n$ 次元ベクトル空間では行列環 $M_n(k)$ に、直和 $M_1\oplus\cdots\oplus M_n$ では成分 $\operatorname{Hom}_R(M_j,M_i)$ をもつ行列の環になる。直和分解は冪等元に対応し、単純加群の自己準同型環は斜体（Schur の補題）、長さ有限の直既約加群の自己準同型環は局所環（Fitting の補題）である。どの環もアーベル群の自己準同型環の部分環として実現でき、楕円曲線の自己準同型環のように対象の算術的な不変量としても使われる。
自己準同型環とは、一つの代数的な対象から自分自身への準同型を全部集め、和と合成で環にしたものである。アーベル群 $M$ なら $\operatorname{End}(M)$、環 $R$ 上の加群 $M$ なら $\operatorname{End}_R(M)$ と書く。体上の $n$ 次元ベクトル空間の自己準同型環は $n$ 次の行列環であり、自己準同型環は「行列環を座標なしで考えたもの」とみることができる。逆に、どの環もあるアーベル群の自己準同型環の部分環として実現でき、環という概念は「何かに作用する写像の集まり」の抽象化になっている。
自己準同型環は対象の形を写し取る。対象の直和分解は自己準同型環の冪等元に対応し、単純加群の自己準同型環は斜体になり（Schur の補題）、長さが有限の直既約加群の自己準同型環は局所環になる（Fitting の補題）。この記事では自己準同型環を定義し、直和の自己準同型環を行列で表す命題、Fitting の補題とその系を証明する。
定義
以下、環は単位元 $1$ をもつ結合的な環とし、加群は左加群とする。$R$ を環とする。
左 $R$ 加群 $M$ から $M$ への $R$ 準同型（$R$ 線形写像）全体を $\operatorname{End}_R(M)$ と書く。$f,g\in\operatorname{End}_R(M)$ に対して
$$
(f+g)(x):=f(x)+g(x),\qquad fg:=f\circ g
$$
と定めると、$\operatorname{End}_R(M)$ は零写像 $0$ を零元、恒等写像 $\mathrm{id}_M$ を単位元とする環になる。これを $M$ の自己準同型環（endomorphism ring）という。$R=\mathbb{Z}$、つまり $M$ がアーベル群のときは $\operatorname{End}(M)$ とも書く。
環の公理は写像の計算からすぐ確かめられる。合成は結合的であり、分配法則 $f\circ(g+h)=f\circ g+f\circ h$ は $f$ が加法を保つことから、$(g+h)\circ f=g\circ f+h\circ f$ は和の定義から従う。$R$ 線形写像の和と合成はまた $R$ 線形である。
積を $fg=f\circ g$（$g$ を先に施す）と定めたので、$M$ は $f\cdot x:=f(x)$ によって左 $\operatorname{End}_R(M)$ 加群になり、この作用は $R$ の作用と可換である。積の順序を逆に $f*g:=g\circ f$ と定める流儀もあり、そのときは得られる環が $\operatorname{End}_R(M)^{\mathrm{op}}$（反対環）になる。文献を読むときはどちらの規約かに注意が要る。
$\operatorname{End}_R(M)$ の単元（可逆元）はちょうど $M$ の自己同型であり、単元群 $\operatorname{End}_R(M)^\times$ は自己同型群 $\operatorname{Aut}_R(M)$ に一致する。
前加法圏 $\mathcal{C}$（各 $\operatorname{Hom}$ 集合がアーベル群で、合成が双線形である圏）の対象 $X$ に対し、$\operatorname{End}_{\mathcal{C}}(X):=\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,X)$ は、射の和と合成 $fg:=f\circ g$ により環になる。これを $X$ の自己準同型環という。
左 $R$ 加群の圏は前加法圏であり、def-endomorphism-ring-category は def-endomorphism-ring を含む。逆に、環 $A$ は対象が一つだけの前加法圏とみなせて、そのただ一つの対象の自己準同型環が $A$ である。アーベル圏の対象の自己準同型環は、Mitchellの埋め込み定理の証明で入射的余生成子の自己準同型環として現れる。
直感
$k$ を体とし、$V=k^n$ とすると、$\operatorname{End}_k(V)$ は $n$ 次の行列環 $M_n(k)$ と同型である（行列環 の記事の注意「自己準同型環としての行列環」）。基底を選ばずに線形変換そのものを扱うのが自己準同型環であり、基底を選んで成分で書いたものが行列環である。
自己準同型環は対象の「対称性の代数」でもある。$M$ の自己同型群が $M$ の対称性の群であるのと同じく、$\operatorname{End}_R(M)$ は可逆でない写像（射影、冪零な写像など）まで含めた「$M$ の上の線形な操作の全体」である。たとえば $M=N\oplus L$ と分かれていれば、$N$ への射影 $e$ は $e^2=e$ を満たす $\operatorname{End}_R(M)$ の元であり、分解の情報は環の元として読める。自己準同型環を調べることで、対象の分解の様子（直既約かどうか、単純かどうか）がわかる。
例
$n\ge1$ について、$\operatorname{End}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、$\operatorname{End}(\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ であり、単純加群 の記事の例「反例：Schur の補題の逆と代数閉でない係数体」により $\operatorname{End}(\mathbb{Q})\cong\mathbb{Q}$ である。前の二つは次の prop-endomorphism-ring-cyclic の $R=\mathbb{Z}$ の場合である。
$R$ を可換環、$I$ を $R$ のイデアルとする。$\bar a\in R/I$ に $\bar a$ 倍写像 $\mu_{\bar a}(x)=\bar ax$ を対応させる写像は、環の同型
$$
R/I\;\cong\;\operatorname{End}_R(R/I)
$$
を与える。
$R$ は可換なので $\mu_{\bar a}(rx)=\bar arx=r\mu_{\bar a}(x)$ であり、$\mu_{\bar a}$ は $R$ 準同型である。$\mu_{\bar a+\bar b}=\mu_{\bar a}+\mu_{\bar b}$、$\mu_{\bar a\bar b}=\mu_{\bar a}\circ\mu_{\bar b}$、$\mu_{\bar 1}=\mathrm{id}$ なので、$\bar a\mapsto\mu_{\bar a}$ は環準同型である。$\mu_{\bar a}(\bar1)=\bar a$ なので単射である。任意の $f\in\operatorname{End}_R(R/I)$ について $\bar a:=f(\bar1)$ とおくと、$x=\bar r$ に対し $f(\bar r)=f(r\cdot\bar1)=rf(\bar1)=\bar r\bar a$ であり、$f=\mu_{\bar a}$ である。よって全射である。$\square$
$R$ が可換でないとき、左 $R$ 加群 $R$ 自身の自己準同型環は $R$ ではなく反対環 $R^{\mathrm{op}}$ と同型になる（単純環 の記事の補題「自己準同型環の計算」の 1）。$x\mapsto xa$ の形の右からの積が $R$ 線形写像のすべてであり、合成の順序が積の順序と逆になるからである。
体上の楕円曲線 $E$ の自己準同型（原点を保つ射 $E\to E$）の全体 $\operatorname{End}(E)$ は、点の和で和を、合成で積を定めて環になり、$\mathbb{Z}$、虚 2 次体の整環、四元数環の整環のいずれかと同型である（Sil09 Corollary III.9.4、楕円曲線 の記事の注意「自己準同型環」。この記事では証明しない）。たとえば $\mathbb{C}$ 上の $y^2=x^3-x$ では $(x,y)\mapsto(-x,iy)$ が $4$ 乗して恒等写像になる自己準同型であり、$\operatorname{End}(E)\cong\mathbb{Z}[i]$ となる（楕円曲線 の記事の例「曲線 $y^2=x^3-x$ と虚数乗法」）。超特異楕円曲線では四元数環の整環が現れる（四元数環 の記事）。Drinfeld加群の自己準同型環も同じ考え方で、算術的な不変量として調べられる。
環 $R$ の元 $a$ に左からの積 $\lambda_a(x)=ax$ を対応させる写像 $\lambda\colon R\to\operatorname{End}(R,+)$ は、単射な環準同型である。実際 $\lambda_a$ は加法を保ち、$\lambda_{a+b}=\lambda_a+\lambda_b$、$\lambda_{ab}(x)=abx=\lambda_a(\lambda_b(x))$、$\lambda_1=\mathrm{id}$ であり、$\lambda_a(1)=a$ なので単射である。したがって、どの環も、あるアーベル群の自己準同型環の部分環と同型である。群がある集合の置換群の部分群として実現できること（対称群 の記事の定理「Cayleyの定理」）の環版である。
性質
直和の自己準同型環と行列
左 $R$ 加群 $M_1,\dots,M_n$ の直和 $M=M_1\oplus\cdots\oplus M_n$ について、$H_{ij}:=\operatorname{Hom}_R(M_j,M_i)$ とおく。$(i,j)$ 成分が $H_{ij}$ の元である $n\times n$ の表 $(h_{ij})$ の全体を $\mathcal{M}$ とし、成分ごとの和と、積
$$
(h_{ij})(h'_{ij}):=\Bigl(\sum_{k=1}^n h_{ik}\circ h'_{kj}\Bigr)_{ij}
$$
を入れると、$\mathcal{M}$ は環であり、$f\mapsto(\pi_i\circ f\circ\iota_j)_{ij}$ は環の同型 $\operatorname{End}_R(M)\cong\mathcal{M}$ を与える。ここで $\iota_j\colon M_j\to M$ は第 $j$ 成分への埋め込み、$\pi_i\colon M\to M_i$ は第 $i$ 成分への射影である。
直和の定義から
$$
\pi_i\circ\iota_j=\begin{cases}\mathrm{id}_{M_i}&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{cases},\qquad \sum_{k=1}^n\iota_k\circ\pi_k=\mathrm{id}_M
$$
である。$\Phi(f):=(\pi_if\iota_j)_{ij}$、$\Psi((h_{ij})):=\sum_{i,j}\iota_ih_{ij}\pi_j$ と定める。$\Phi(\Psi(h))_{ij}=\sum_{k,l}\pi_i\iota_kh_{kl}\pi_l\iota_j=h_{ij}$、$\Psi(\Phi(f))=\sum_{i,j}\iota_i\pi_if\iota_j\pi_j=\bigl(\sum_i\iota_i\pi_i\bigr)f\bigl(\sum_j\iota_j\pi_j\bigr)=f$ なので、$\Phi$ と $\Psi$ は互いに逆の全単射であり、$\Phi$ は明らかに加法を保つ。積については
$$
\Phi(fg)_{ij}=\pi_if\Bigl(\sum_k\iota_k\pi_k\Bigr)g\iota_j=\sum_k(\pi_if\iota_k)(\pi_kg\iota_j)=\sum_k\Phi(f)_{ik}\Phi(g)_{kj}
$$
であり、$\Phi(\mathrm{id}_M)$ は対角成分が恒等写像、ほかが $0$ の表である。$\mathcal{M}$ の和と積は $\Phi$ を通じて $\operatorname{End}_R(M)$ の和と積に対応するので、$\mathcal{M}$ は環の公理を満たし、$\Phi$ は環の同型である。$\square$
すべての $M_i$ が同じ加群 $L$ のときは $H_{ij}=\operatorname{End}_R(L)$ となり、$\operatorname{End}_R(L^n)\cong M_n(\operatorname{End}_R(L))$ を得る（単純環 の記事の補題「自己準同型環の計算」の 2）。特に $\operatorname{End}(\mathbb{Z}^n)\cong M_n(\mathbb{Z})$ である。
$M=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ を考える。$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z})=0$（位数 $2$ の元の像は $\mathbb{Z}$ の位数 $2$ 以下の元で $0$ しかない）、$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（$1$ の像で決まる）なので、prop-endomorphism-ring-direct-sum により
$$
\operatorname{End}(M)\cong\left\{\begin{pmatrix}a&0\\ c&d\end{pmatrix}\ \middle|\ a\in\mathbb{Z},\ c,d\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right\}
$$
である。$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ の元を $1$ の像 $c\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ で表すと、$a'$ 倍してから $c$ を施す写像は $\bar{a'}c$ に対応するので、積は
$$
\begin{pmatrix}a&0\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a'&0\\ c'&d'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}aa'&0\\ \bar{a'}c+dc'&dd'\end{pmatrix}
$$
となる。$e=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$、$u=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$ について $ue=u$、$eu=0$ である。$\operatorname{End}(\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ と $\operatorname{End}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ はどちらも可換だが、直和の自己準同型環は可換でない。
冪等元と直和分解
$e\in\operatorname{End}_R(M)$ が $e^2=e$ を満たすとき、$M=e(M)\oplus(1-e)(M)$ と分かれる。逆に $M=N\oplus L$ なら $N$ への射影は冪等元である。したがって、$0$ でない加群 $M$ が直既約（$0$ と $M$ 以外の直和因子をもたない）であることは、$\operatorname{End}_R(M)$ の冪等元が $0$ と $\mathrm{id}_M$ だけであることと同値である（直和因子 の記事の系「直既約性と自己準同型環の冪等元」）。
単純加群については、さらに強いことが言える。単純な左 $R$ 加群 $S$ の自己準同型環 $\operatorname{End}_R(S)$ は斜体であり、$k$ が代数閉体で $S$ が $k$ 代数 $A$ 上の単純加群で $k$ 上有限次元なら $\operatorname{End}_A(S)\cong k$ である（単純加群 の記事の定理「Schur の補題」と命題「代数閉体上の Schur の補題」）。
Fitting の補題
長さが有限の加群では、一つの自己準同型が加群を「同型に働く部分」と「冪零に働く部分」に分ける。加群 $M$ が長さ有限であるとは、組成列をもつこと、すなわち部分加群の昇鎖と降鎖がどちらも有限で止まる（Noether加群かつ Artin 加群）ことをいう。
$M$ を長さ有限の左 $R$ 加群、$u\in\operatorname{End}_R(M)$ とする。十分大きな $n$ に対して
$$
M=u^n(M)\oplus\ker u^n
$$
が成り立つ。二つの直和因子はどちらも $u$ で自分自身に写り、$u$ は $u^n(M)$ の上で自己同型、$\ker u^n$ の上で冪零（$n$ 乗が $0$）である。
$u(M)\supset u^2(M)\supset\cdots$ は部分加群の降鎖、$\ker u\subset\ker u^2\subset\cdots$ は昇鎖である。$M$ は長さ有限なので、ある $n$ があって、$k\ge n$ のすべてで $u^k(M)=u^n(M)$、$\ker u^k=\ker u^n$ となる。
共通部分が $0$：$x\in u^n(M)\cap\ker u^n$ とし、$x=u^n(y)$ と書く。$u^{2n}(y)=u^n(x)=0$ なので $y\in\ker u^{2n}=\ker u^n$ であり、$x=u^n(y)=0$ である。
和が $M$：$x\in M$ とする。$u^n(x)\in u^n(M)=u^{2n}(M)$ なので $u^n(x)=u^{2n}(y)$ となる $y$ がある。$x=(x-u^n(y))+u^n(y)$ と書くと、$u^n(x-u^n(y))=u^n(x)-u^{2n}(y)=0$ なので第 1 項は $\ker u^n$ に、第 2 項は $u^n(M)$ に入る。
$u$ の制限：$u(u^n(M))=u^{n+1}(M)=u^n(M)$ なので $u$ は $u^n(M)$ を自分自身の上へ写す。$u^n(M)$ の元 $x$ で $u(x)=0$ なら $x\in\ker u\cap u^n(M)\subset\ker u^n\cap u^n(M)=0$ なので、$u$ は $u^n(M)$ の上で単射であり、自己同型である。$x\in\ker u^n$ なら $u^n(u(x))=u(u^n(x))=0$ なので $u(\ker u^n)\subset\ker u^n$ であり、この上で $u^n=0$ である。$\square$
非可換環 $A$ が局所環であるとは、$A\neq0$ で、$A$ の単元でない元の全体が $A$ の両側イデアルをなすことをいう。可換環に対しては、極大イデアルがただ一つであることと同値になる（局所環）。
$M$ を長さ有限の直既約な左 $R$ 加群とする。
- $\operatorname{End}_R(M)$ の元は、自己同型であるか冪零であるかのどちらかである。
- $\operatorname{End}_R(M)$ は局所環である。単元でない元の全体は冪零元の全体であり、両側イデアルをなす。
1：$u\in\operatorname{End}_R(M)$ に thm-endomorphism-ring-fitting を当てると $M=u^n(M)\oplus\ker u^n$ であり、$M$ は直既約なので、$u^n(M)=M$ または $\ker u^n=M$ である。前者なら $u$ は $M$ 全体の上で自己同型、後者なら $u^n=0$ である。
2：$M\neq0$ なので $\mathrm{id}_M\neq0$ であり、$\operatorname{End}_R(M)\neq0$ である。1 により、単元でない元とは冪零元のことである。冪零な $u\neq0$ について $u^k=0$、$u^{k-1}\neq0$ となる $k\ge1$ をとると（$u=0$ なら以下は明らか）、$u^{k-1}(x)\neq0$ となる $x$ について $u(u^{k-1}(x))=0$ なので $u$ は単射でない。また $u$ が全射なら $u^k$ も全射で $M=u^k(M)=0$ となり矛盾するので、$u$ は全射でない。
任意の $v$ について、$vu$ は単射でない（$u$ が単射でないから）ので自己同型でなく、$uv$ は全射でない（像が $u(M)$ に含まれるから）ので自己同型でない。よって単元でない元の全体は、左右から任意の元を掛ける操作で閉じている。
和で閉じていることを示す。$u,v$ が単元でなく $w:=u+v$ が単元だと仮定する。$a:=uw^{-1}$、$b:=vw^{-1}$ とおくと $a+b=1$ である。いま示したことから $a,b$ は単元でなく、1 によりどちらも冪零である。$a^m=0$ とすると
$$
(1-a)(1+a+a^2+\cdots+a^{m-1})=1-a^m=1
$$
であり、左右を入れ替えても同じなので、$b=1-a$ は単元である。これは矛盾である。よって単元でない元の和は単元でない。以上で単元でない元の全体が両側イデアルであることが示された。$\square$
cor-endomorphism-ring-local は、長さ有限の加群の直既約分解の一意性（Krull–Schmidt の定理）の証明の要である（Lan02 Chapter X, §7, Proposition 7.3, Proposition 7.4, Theorem 7.5、直和因子 の記事の注意「Krull–Schmidt の定理」）。
素数 $p$ と $n\ge1$ について、$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ は長さ $n$ の直既約な $\mathbb{Z}$ 加群である。$\operatorname{End}(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ の元 $\bar a$ は、$p\nmid a$ なら単元、$p\mid a$ なら $\bar a^n=0$ で冪零であり、単元でない元の全体 $p\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ はイデアルである。一方 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ は直既約でなく、$\operatorname{End}(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の $\bar3$ は冪等元（$\bar3^2=\bar9=\bar3$）で、単元でも冪零でもない。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $M$ が Artin 加群（Noether 加群であることは残す） | $M=\mathbb{Z}$、$u$ は $2$ 倍写像 | Fitting 分解 $M=u^n(M)\oplus\ker u^n$、自己準同型環が局所環であること |
| $M$ が Noether 加群（Artin 加群であることは残す） | $M=\mathbb{Z}(p^\infty)$、$u$ は $p$ 倍写像 | Fitting 分解 $M=u^n(M)\oplus\ker u^n$ |
| $M$ が直既約 | $M=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ | 自己準同型環が局所環であること |
| $M$ が単純 | $M=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ | 自己準同型環が斜体であること（Schur の補題の結論） |
1 行目：$\mathbb{Z}$ は Noether 加群で直既約だが、降鎖 $2\mathbb{Z}\supsetneq4\mathbb{Z}\supsetneq\cdots$ が止まらないので Artin 加群でない。$u^n(\mathbb{Z})=2^n\mathbb{Z}$、$\ker u^n=0$ なので $u^n(\mathbb{Z})\oplus\ker u^n=2^n\mathbb{Z}\neq\mathbb{Z}$ である。$\operatorname{End}(\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の単元は $\pm1$ だけである。$2$ は単元でも冪零でもなく、$3$ と $-2$ はどちらも単元でないのに和 $1$ は単元である。よって単元でない元の全体は和で閉じず、$\mathbb{Z}$ は局所環でない。
2 行目：$\mathbb{Z}(p^\infty)$ は真部分群がすべて有限巡回群 $C_k$（位数 $p^k$）で降鎖は止まるので Artin 加群だが、昇鎖 $C_1\subsetneq C_2\subsetneq\cdots$ が止まらないので Noether 加群でない（Prüfer群 の記事の命題「部分群の決定」）。$p$ 倍写像は全射なので $u^n(M)=M$、一方 $\ker u^n=C_n\neq0$ であり、和は直和にならない。なお自己準同型環 $\mathbb{Z}_p$ 自体は局所環であり、cor-endomorphism-ring-local の結論はこの例では成り立っている。
3 行目：prop-endomorphism-ring-direct-sum により $\operatorname{End}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong M_2(\mathbb{F}_2)$ であり、$E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ と $E_{22}$ はどちらも単元でないが、和は単位行列である。
4 行目：$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ は部分群 $2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ をもつので単純でない（直既約ではある）。$\operatorname{End}(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ の $\bar2$ は $0$ でないが可逆でないので、斜体でない。cor-endomorphism-ring-local の通り、局所環ではある。
補足
二重中心化環。 $M$ は $\operatorname{End}_R(M)$ 加群でもあるので、さらにその自己準同型環 $\operatorname{End}_{\operatorname{End}_R(M)}(M)$（二重中心化環）を考えられ、$a\in R$ に $a$ 倍写像を対応させる環準同型 $R\to\operatorname{End}_{\operatorname{End}_R(M)}(M)$ がある。$R$ が $0$ と $R$ 以外の両側イデアルをもたない環で、$M=L$ が $0$ でない左イデアルなら、この準同型は同型である（Rieffel の定理、Lan02 Chapter XVII, §5, Theorem 5.4。この記事では証明しない）。これは体上有限次元の単純多元環について、Wedderburn の構造定理（単純環 の記事の定理「単純環の構造定理（Wedderburn の定理）」）の別証明を与える。
加法圏の分解。 def-endomorphism-ring-category の意味で、加法圏の対象 $X$ の直和分解 $X\cong Y\oplus Z$ からも、$Y$ への射影として $\operatorname{End}(X)$ の冪等元が得られる。加群の場合と違い、一般の加法圏では冪等元 $e$ が必ず直和分解から来るとは限らず、$e$ の像にあたる対象が存在することを別に要求する。
関連項目
参考文献
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