パラ位相群

$G$ がパラ位相群なら、上で見たとおり 1 が成り立ち、$\mu$ が $(e,e)$ で連続であることから $e$ の近傍 $V_1,V_2$ で $V_1V_2\subset U$ となるものがあるので、$V:=V_1\cap V_2$ が 2 を満たす。逆に 1、2 が成り立てば $G$ は半位相群で、2 は $\mu$ が $(e,e)$ で連続であることを意味する。半位相群 の定理「連続性は単位元で調べればよい」の 1 により $\mu$ は連続である。$\square$

1：$x,y\in G$ について $xy=\iota\bigl(\mu(\iota(y),\iota(x))\bigr)$ である。写像 $(x,y)\mapsto(\iota(y),\iota(x))$ は、各成分が同相写像 $\iota\colon(G,\tau^{-1})\to(G,\tau)$ と射影の合成なので、$(G,\tau^{-1})^2\to(G,\tau)^2$ として連続である。$\mu\colon(G,\tau)^2\to(G,\tau)$ と $\iota\colon(G,\tau)\to(G,\tau^{-1})$ は連続なので、合成 $\mu\colon(G,\tau^{-1})^2\to(G,\tau^{-1})$ は連続である。
2：$\tau$ と $\tau^{-1}$ はそれぞれ有限個の共通部分で閉じており、$G=G^{-1}$ を含む。よって $\tau\cup\tau^{-1}$ の有限個の元の共通部分は $U\cap V^{-1}$（$U,V\in\tau$）の形であり、これらは $\tau^\sharp$ の開基をなす。とくに、位相空間 $Y$ からの写像 $f\colon Y\to G$ が $(G,\tau^\sharp)$ への写像として連続であることは、$(G,\tau)$ への写像としても $(G,\tau^{-1})$ への写像としても連続であることと同値である（開基の元の逆像が $f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V^{-1})$ になるため）。
積：恒等写像 $(G,\tau^\sharp)^2\to(G,\tau)^2$ は連続なので（$\tau\subset\tau^\sharp$）、$\mu\colon(G,\tau^\sharp)^2\to(G,\tau)$ は連続である。1 により同様に $\mu\colon(G,\tau^\sharp)^2\to(G,\tau^{-1})$ も連続である。よって $\mu\colon(G,\tau^\sharp)^2\to(G,\tau^\sharp)$ は連続である。逆元：$\iota^{-1}(U\cap V^{-1})=U^{-1}\cap V$ は $\tau^\sharp$ の開集合なので、$\iota$ は $\tau^\sharp$ について連続である。
3：$(G,\rho)$ が準位相群なら $\iota$ は $\rho$ について連続なので、$U\in\tau\subset\rho$ について $U^{-1}=\iota^{-1}(U)\in\rho$ である。よって $\tau^{-1}\subset\rho$、したがって $\tau^\sharp\subset\rho$ である。位相群は準位相群なので、2 と合わせて後半が従う。
4：$\iota$ が $\tau$ について連続であることは、$U\in\tau$ について $U^{-1}\in\tau$、すなわち $\tau^{-1}\subset\tau$ と同値である。$\tau^{-1}\subset\tau$ なら、両辺の逆をとって $\tau\subset\tau^{-1}$ なので $\tau^{-1}=\tau$ である。$\tau^{-1}=\tau$ なら $\tau^\sharp=\tau$ であり、$\tau^\sharp=\tau$ なら 2 により $(G,\tau)$ は位相群である。$\square$

$G$ は半位相群なので、半位相群 の定理「連続性は単位元で調べればよい」の 2 により、$\iota$ が $e$ で連続であることを示せばよい。$\iota$ が $e$ で連続でないと仮定すると、$e$ の開近傍 $W$ で、$e$ のどの近傍 $N$ も $x_N^{-1}\notin W$ となる元 $x_N\in N$ を含むものがある。$\mathcal N(e)$ を逆向きの包含 $N\le N':\Leftrightarrow N\supset N'$ で有向集合とし、各 $N$ についてこのような $x_N$ を 1 つ選ぶ。ネット $(x_N)_{N\in\mathcal N(e)}$ は $e$ に収束する（$N\ge N_0$ なら $x_N\in N\subset N_0$）。
$F:=G\setminus W$ は閉集合で、ネット $(x_N^{-1})$ は $F$ に値をとる。$G$ はコンパクトなので、ネット の定理「コンパクト性のネットによる特徴づけ」により、部分ネット $(x_{\varphi(k)}^{-1})_{k\in K}$ で、ある $y\in G$ に収束するものがある（同定理により $(x_N^{-1})$ は集積点 $y$ をもち、集積点には $y$ に収束する部分ネットがとれる。これも ネット の記事で証明されている）。$F$ は閉集合なので $y\in F$ である（ネット の命題「閉包のネットによる特徴づけ」）。収束するネットの部分ネットは同じ点に収束するので、$(x_{\varphi(k)})_{k\in K}$ は $e$ に収束する（$e$ の近傍 $N_0$ について、$\varphi(k)\ge N_0$ となるのは共終性により十分先の $k$ すべてである）。
直積位相では成分ごとの収束が収束を意味するので、ネット $(x_{\varphi(k)},x_{\varphi(k)}^{-1})_{k\in K}$ は $G\times G$ で $(e,y)$ に収束する。$\mu$ は連続なので（ネット の命題「連続性のネットによる特徴づけ」）、
$$ e=x_{\varphi(k)}\,x_{\varphi(k)}^{-1}\longrightarrow\mu(e,y)=y $$
である。左辺は定数ネット $e$ であり、$e$ にも収束する。$G$ は Hausdorff なのでネットの極限は一意であり（ネット の命題「極限の一意性とHausdorff性」）、$y=e$ である。しかし $y\in F$、$e\in W$ なので矛盾する。よって $\iota$ は $e$ で連続である。$\square$