Chern指標

前提知識: Chern類, 分裂原理, Newtonの恒等式, 特異コホモロジー

何を捉える量か

Chern類 は束の直和を積に変える：$c(E\oplus F)=c(E)\,c(F)$。一方、束の不変量として扱いやすいのは、直和を和に、テンソル積を積に変えるもの、すなわち束の「足し算と掛け算」を数の足し算と掛け算に移すものである。直線束 $L$ なら $c_1(L\otimes M)=c_1(L)+c_1(M)$ なので、指数関数 $e^{c_1(L)}$ をとれば積が積に移る。Chern 指標 はこれを一般の束に広げたもので、Chern 根 $x_1,\dots,x_r$ を形式的に使えば $\operatorname{ch}(E)=e^{x_1}+\cdots+e^{x_r}$ である。この記事では次のことを示す。

記号と規約は Chern類 の記事にそろえる。$X$ はパラコンパクト Hausdorff 空間、ベクトル束は有限で一定の階数の複素ベクトル束、$H^*(X;\mathbb{Z})$ は特異コホモロジーにカップ積を入れた環で、積の記号は省く。$c_i(E)\in H^{2i}(X;\mathbb{Z})$ は $E$ の第 $i$ Chern 類、$c(E)=\sum_ic_i(E)$ は全 Chern 類である。係数を $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ で取り替える環準同型を $\alpha\mapsto\alpha_{\mathbb{Q}}$ と書く。無限和を扱うため、偶数次の有理コホモロジーの直積
$$ H^{**}(X;\mathbb{Q}):=\prod_{k\ge0}H^{2k}(X;\mathbb{Q}) $$
を、次数ごとのカップ積を集めた積で可換環とみる（偶数次なので積は可換である）。$X$ が有限次元の CW 複体なら、これは偶数次の部分 $\bigoplus_kH^{2k}(X;\mathbb{Q})$ に一致する。
Chern類 の記事から次の事実を使う。

• 自然性と Whitney の和公式：$c(f^*E)=f^*c(E)$、$c(E\oplus F)=c(E)\,c(F)$。自明束の全 Chern 類は $1$（同記事の例「自明束と自明な直和因子」）。
• 直線束 $L,M$ について $c(L)=1+c_1(L)$、$c_1(L\otimes M)=c_1(L)+c_1(M)$、$c_1(L^\vee)=-c_1(L)$（同記事の命題「直線束のテンソル積」と系「直線束の全Chern類と双対」）。
• 分裂原理：有限個の束 $E_1,\dots,E_m$ に対し、パラコンパクト Hausdorff 空間 $Y$ と連続写像 $p\colon Y\to X$ で、$p^*\colon H^*(X;\mathbb{Z})\to H^*(Y;\mathbb{Z})$ が単射であり、各 $p^*E_j$ が直線束の直和に同型になるものがある。1 つの束については Chern類 の定理「Chern類の分裂原理」である。$Y$ として旗束がとれ（分裂原理 の注意「複素ベクトル束の場合」）、旗束はパラコンパクト Hausdorff である（同記事の定理「分裂原理」の 3）。$E_1$ を分裂させた $Y_1$ の上で $p_1^*E_2$ を分裂させる、という操作をくり返せば有限個の束を同時に分裂させられる（直線束の直和の引き戻しは直線束の直和で、単射の合成は単射である）。有限個の束を同時に分裂させる形は Hir66 Lemma 4.4.1（p. 63）にもある。分裂原理はこの記事では証明しない。

定義

Newtonの恒等式 の定理「Newton の恒等式」により、$r$ 変数の冪和 $P_k=x_1^k+\cdots+x_r^k$ と基本対称式 $e_i=e_i(x_1,\dots,x_r)$（$i>r$ では $e_i=0$）は、任意の可換環の上で
$$ P_k=\sum_{i=1}^{k-1}(-1)^{i-1}e_iP_{k-i}+(-1)^{k-1}k\,e_k\qquad(k\ge1) $$
を満たす。そこで整数係数の多項式 $\mathsf{N}_k\in\mathbb{Z}[e_1,\dots,e_k]$ を、$\mathsf{N}_1:=e_1$ と同じ漸化式 $\mathsf{N}_k:=\sum_{i=1}^{k-1}(-1)^{i-1}e_i\mathsf{N}_{k-i}+(-1)^{k-1}k\,e_k$ で定めると、$k$ についての帰納法により、変数の個数 $r$ によらず
$$ \mathsf{N}_k\bigl(e_1(x),\dots,e_k(x)\bigr)=x_1^k+\cdots+x_r^k $$
が成り立つ（以下、この等式を冪和の公式と呼ぶ）。$\mathsf{N}_2=e_1^2-2e_2$、$\mathsf{N}_3=e_1^3-3e_1e_2+3e_3$ である。

低い次数では、$c_i=c_i(E)$ と書いて
$$ \operatorname{ch}(E)=r+c_1+\tfrac12\bigl(c_1^2-2c_2\bigr)+\tfrac16\bigl(c_1^3-3c_1c_2+3c_3\bigr)+\cdots $$
である（右辺の $c_i$ は有理係数に移したもの）。$\operatorname{ch}_0(E)=r$ と $\operatorname{ch}_1(E)=c_1(E)_{\mathbb{Q}}$ は整係数の類の像だが、$k\ge2$ では一般にそうでない（ex-ch-counter）。$k!\operatorname{ch}_k(E)$ はつねに整係数の類 $s_k(E)$ の像である。
この定義は Chern 類の多項式なので、引き戻しと可換である：連続写像 $f\colon X'\to X$ について $\operatorname{ch}(f^*E)=f^*\operatorname{ch}(E)$。とくに同型な束の Chern 指標は等しい。Hir66 §10.1（pp. 91–92）は、Chern 根による形式的な分解 $\sum_ic_ix^i=\prod_j(1+\gamma_jx)$ を使って同じ量を $\operatorname{ch}(E)=\sum_je^{\gamma_j}$ と定義している。

直線束と冪和

次の補題が、一般の束の計算を直線束に帰着させる。

主定理：和と積

直和を積に変える全 Chern 類とは対照的に、Chern 指標は直和を和に変える。この違いは $\mathbb{CP}^1$ 上の $E=F=\mathcal{O}(1)$ で見える：超平面類を $h$ とすると $c(E\oplus F)=(1+h)^2=1+2h$ は $c(E)+c(F)=2+2h$ と異なるが、$\operatorname{ch}(E\oplus F)=2+2h=\operatorname{ch}(E)+\operatorname{ch}(F)$ である（$h^2=0$）。

位相的K群から有理コホモロジーへ

$X$ をコンパクト Hausdorff 空間とする。$X$ 上の複素ベクトル束の同型類の集合は、直和を和、テンソル積を積として可換な半環になる。その加法モノイドの Grothendieck群 を $K(X)$ と書き、テンソル積から誘導される積で可換環とみる（位相的K理論）。ここでは階数一定の束から $K(X)$ を作るため、$X$ は連結とする。

例

Todd 類と Riemann–Roch の定理

Riemann–Roch の定理では、Chern 指標と組になってもう一つの特性類が現れる。形式的冪級数
$$ Q(x):=\frac{x}{1-e^{-x}}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+\cdots\in\mathbb{Q}[\![x]\!] $$
をとる。$r$ 変数の積 $Q(x_1)\cdots Q(x_r)$ の $k$ 次の部分は有理係数の対称多項式なので、対称多項式 の定理「対称多項式の基本定理」により（$r\ge k$ なら）基本対称式 $e_1,\dots,e_k$ の有理係数の多項式 $\mathsf{T}_k$ でただ一通りに書ける（重みの斉次性から $e_{k+1},\dots$ は現れない）。$Q(0)=1$ なので、変数を増やして余分な変数に $0$ を代入すると元の積に戻り、$\mathsf{T}_k$ は $r$ によらない。

低次の式は次のように確かめられる。$Q(x_1)\cdots Q(x_r)$ の 2 次の部分は $\frac1{12}\sum_ax_a^2+\frac14\sum_{a< b}x_ax_b=\frac1{12}(e_1^2-2e_2)+\frac14e_2=\frac1{12}(e_1^2+e_2)$ である。3 次の部分は、$Q$ の 3 次の係数が $0$ なので $\frac1{24}\sum_{a\ne b}x_a^2x_b+\frac18e_3=\frac1{24}(e_1e_2-3e_3)+\frac18e_3=\frac1{24}e_1e_2$ である。

以下は右辺の計算で、左辺は別に知られた値と比べる。

• $V$ が種数 $g$ の曲線（$n=1$）、$W$ が次数 $d$ の直線束 $L$ のとき、$\langle c_1(L),[V]\rangle=d$、$\langle c_1(TV),[V]\rangle=2-2g$（最高次の Chern 類は実化の Euler 類であり、その値は Euler 標数である。Euler類 の定理「接束の Euler 数と Euler 標数」）なので、右辺は $\langle(1+c_1(L))(1+\frac12c_1(TV)),[V]\rangle=d+1-g$ となり、曲線の Riemann–Rochの定理 の形になる。
• $V=\mathbb{CP}^1$、$W=\mathcal{O}(k)$ では $\langle(1+kh)(1+h),[\mathbb{CP}^1]\rangle=k+1$ である。$k\ge0$ では、代数的な層係数コホモロジーについて $\dim H^0=k+1$、$H^1=0$ であり（Har77 III, Theorem 5.1、p. 225）、その Euler 標数と一致する。
• $V$ が曲面（$n=2$）で $W=\mathcal{O}_V$ なら、右辺は $\operatorname{td}$ の 2 次の項 $\frac1{12}\langle c_1^2+c_2,[V]\rangle$ であり、$\chi(\mathcal{O}_V)=\frac1{12}(c_1^2+c_2)[V]$ は Noetherの公式 である（Hir66 20.7、pp. 153–154）。
• $V=\mathbb{CP}^n$、$W=\mathcal{O}$ では、ex-ch-projective と同じく $\operatorname{td}(T\mathbb{CP}^n)=Q(h)^{n+1}$ である。$n=1$ では $h$ の係数は $2\cdot\frac12=1$、$n=2$ では $h^2$ の係数は $3\cdot\frac1{12}+3\cdot\frac14=1$ であり、どちらも $\chi(\mathcal{O})=1$ に合う。

反例：Chern指標で束は決まるか

直線束については、Chern 指標で束が決まる場合がある。

この命題と、Chern 指標の整数性の条件を 1 つずつ外す。

関連項目

• 前提: Chern類, 分裂原理, Newtonの恒等式, 対称多項式
• 比較: 特性類, Pontryagin類, 第1Chern類
• 直後に読む: 位相的K理論, Riemann–Rochの定理, Noetherの公式
• 発展: Grothendieck–Riemann–Rochの定理, Atiyah–Singerの指数定理, Hirzebruchの符号数定理