余接複体
概要
余接複体（cotangent complex）とは、環準同型 $A\to B$ に対し、$B$ の自由な単体的解像 $P\to B$ から $\Omega_{P/A}\otimes_PB$ を作って正規化した複体 $L_{B/A}$ であり、生成元・関係式・関係式の間の関係を全次数で記録する。標準多項式解像と自由セル解像のどちらを使っても鎖ホモトピー同値で、導来圏の対象として解像の選び方によらない。次数零のホモロジーはKähler微分 $\Omega_{B/A}$ であり、係数 $M$ へのHomのコホモロジーは次数零で導分 $\operatorname{Der}_A(B,M)$、次数一で平方零拡大の類 $\operatorname{Exal}_A(B,M)$ を与える。多項式表示の二項複体はこれらの低次数を計算するが、高次数には全自由分解が必要になる。
余接複体（cotangent complex）とは、環準同型の微分と関係式の情報を一つの複体にまとめたものである。次数零のホモロジーは通常の微分加群となり、係数を入れた次数零のコホモロジーは導分を、次数一は平方零拡大を表す。微分加群だけでは失われる関係式の一次情報を保持する。
微分だけでは分からないこと
環準同型 $A\to B$ の Kähler微分 $\Omega_{B/A}$ は、$B$ 加群 $M$ に値を取る $A$ 導分を表現する。つまり
$$
\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M)
\simeq\operatorname{Der}_A(B,M)
$$
である。関数の一次変化を知るためには便利だが、方程式を持ち上げたときの誤差については情報が不足する。
例えば $A=\mathbb Z$、$B=\mathbb Z/4\mathbb Z$ とする。$B$ は基礎環の像だけで生成されるので、$A$ 導分はすべて零であり、$\Omega_{B/A}=0$ となる。しかし $\mathbb Z/16\mathbb Z\to B$ は分裂しない平方零拡大である。核 $(4)/(16)$ の積は零だが、$B$ の $4\cdot1=0$ を $\mathbb Z/16\mathbb Z$ へ保って持ち上げることはできない。微分が零という事実は、持上げ問題に障害がないことを意味しない。
余接複体は、生成元の微分と、それらに課した関係式の微分を別々の次数へ置く。さらに関係式間の関係も続く次数へ置く。関係式をただ消して商加群を作るのでなく、「どの関係式で消したのか」という情報を複体の境界写像として残す。この仕組みが、導分と拡大の障害を同じ複体から取り出せる理由である。
この記事では全余接複体の構成の考え方を述べた後、表示から得られる二項複体を具体的に扱う。次数零が微分を表すこと、二項複体の表示独立性、標準自由分解の低次数計算に加え、全次数の自由分解比較と平坦基底変更を証明する。高次数の一般計算を二項複体だけへ還元することはしない。
次数と係数を先に決める
ホモロジー次数を用い、微分加群の項を次数 $0$、関係式の項を次数 $1$ とする。複体の境界は次数を一つ下げる。余鎖次数を用いる文献なら、同じ二項複体は次数 $-1,0$ に置かれる。どちらも同じ情報を表しているが、シフトとコホモロジーの符号を混ぜないことが重要である。
非負鎖複体 $C$ と、次数零に置いた加群 $M$ に対し、$\operatorname{Hom}_B(C,M)$ はコホモロジーを計算する余鎖複体になる。例えば次数 $1$ の成分は $\operatorname{Hom}_B(C_1,M)$ である。$H_1(C)$ と $H^1\operatorname{Hom}_B(C,M)$ は異なる対象である。前者は複体の一次関係のホモロジー、後者は係数 $M$ に値を取る障害のコホモロジーであり、一般に双対として簡単に交換できるとは限らない。
係数付きホモロジーでは導来テンソル積 $L_{B/A}\otimes_B^{\mathbf L}M$、係数付きコホモロジーでは $\mathbf R\operatorname{Hom}_B(L_{B/A},M)$ を用いる。各項が自由で非負鎖次数のモデルなら、これらは通常のテンソル複体と Hom 複体で計算できる。一方、二項表示の余法加群が射影でない場合は、通常の Hom を全高次数の導来 Hom の代わりにすることはできない。
多項式表示から作る二項複体
任意の可換環準同型 $A\to B$ に対し、多項式環からの全射
$$
P=A[X_i\mid i\in I_0]\longrightarrow B
$$
を選び、核を $J$ とする。添字集合は無限でもよい。各多項式は有限個の変数を使うため、以下の展開は有限和で行える。余法加群 $T=J/J^2$ と、自由 $B$ 加群 $F=\Omega_{P/A}\otimes_PB$ を置く。
関係式 $j$ を微分すると $dj\otimes1\in F$ が得られる。$j,j'\in J$ なら $d(jj')=j\,dj'+j'\,dj$ は $B$ 係数へ送ると零なので、写像
$$
\delta:T\longrightarrow F,\qquad j\bmod J^2\longmapsto dj\otimes1
$$
が well-defined になる。この二項複体
$$
K(P)=[T\xrightarrow{\delta}F]
$$
を素朴余接複体と呼ぶ。$T$ は鎖次数 $1$、$F$ は次数 $0$ にある。$\delta$ の単射性は定義に含まれない。
具体的に $B=A[x_1,\ldots,x_n]/(f_1,\ldots,f_r)$ なら、$F$ の基底は $dx_1,\ldots,dx_n$ で、$f_a$ の余法類の像は $\sum_i(\partial f_a/\partial x_i)dx_i$ となる。これは Jacobi 行列に見えるが、$T$ 自体が $B^r$ と一致するとは限らない。生成した関係式の間にも関係があり得るからである。方程式の個数だけを余法加群の階数と数えるには追加条件が必要になる。
次数零は通常の微分である
任意の多項式表示について $H_0(K(P))=\operatorname{coker}\delta\simeq\Omega_{B/A}$ である。
$B$ 加群 $M$ を任意に取る。$F$ から $M$ への $B$ 線形写像は $P$ から $M$ への $A$ 導分 $D$ に対応する。ただし $P$ の $M$ への作用は $P\to B$ を通して与えている。この対応の下で写像が $\delta(T)$ を殺すことは、$D(J)=0$ と同値である。
$D(J)=0$ なら $\overline D:B\to M$ を $\overline D(\overline p)=D(p)$ と定められる。代表を $p+j$ に変えても $D(j)=0$ だから値は変わらない。加法則、基礎環上の零、Leibniz 則は $D$ から引き継がれるので、$\overline D$ は $A$ 導分である。逆に $B$ 上の導分と $P\to B$ の合成は $J$ を殺す導分となる。従って
$$
\operatorname{Hom}_B(F/\delta T,M)\simeq\operatorname{Der}_A(B,M)
$$
が任意の $M$ に対して自然に成立する。右辺は $\Omega_{B/A}$ が表す関手である。普遍導分を互いに送る二つの写像を作れば、合成は普遍性により恒等となるので $F/\delta T\simeq\Omega_{B/A}$ を得る。$\square$
この証明では $J$ の有限生成も $\delta$ の単射も使わなかった。微分加群は、方程式の微分を零とした結果である。他方、$H_1(K(P))=\ker\delta$ は、一次の関係式のうち微分だけでは見えない部分を残す。通常の微分が零でも $T$ が零とは限らないため、二項複体にすると初めて見える情報がある。
変数を増やしても二項複体は変わらない
同じ $A$ 代数 $B$ の二つの多項式全射から得られる二項複体は、鎖ホモトピー同値である。増大と適合する比較写像が誘導する同値は、導来圏では選択に依存しない。
最初に $P\to B$ に変数 $Y_j$ を追加した $Q=P[Y_j]\to B$ を考える。各 $Y_j$ の像 $b_j$ の持上げ $p_j\in P$ を選び、$Z_j=Y_j-p_j$ と変数を変更する。これは可逆な三角座標変更で、$Q=P[Z_j]$、核は $L=JQ+(Z_j)$ となる。
$L$ の元を $Z$ の次数で展開する。定数項は $J$、一次項の係数は $P$、二次以上の項は $L^2$ に入る。一次係数を $J$ の元だけ変えても $JZ\subset L^2$ に入る。逆に定数項が $L^2$ に入れば $Z=0$ と評価して $J^2$ に入り、一次係数も $J$ に入る。このことから
$$
L/L^2\simeq J/J^2\oplus\bigoplus_j BZ_j
$$
を得る。同じ座標で微分加群は $F\oplus\bigoplus_j B\,dZ_j$ となり、余法写像は $\delta\oplus\operatorname{id}$ である。従って $K(Q)$ は $K(P)$ と
$$
[\bigoplus_j BZ_j\xrightarrow{\operatorname{id}}\bigoplus_j B\,dZ_j]
$$
の直和となる。後者は次数零から一次へ恒等写像を逆向きに使えば収縮する。自然包含による $K(P)\to K(Q)$ はホモトピー同値となる。
二つの表示 $P=A[X_i]\to B$、$P'=A[Y_j]\to B$ があるとき、共通の表示 $Q=A[X_i,Y_j]\to B$ を取り、両側に今の変数追加を適用すれば同値が得られる。
選択の独立性も確かめる。増大に適合する二写像 $u,v:P\to P'$ の変数値の差は $J'$ に入る。$H:F\to J'/J'^2$ を
$$
H(dX_i)=u(X_i)-v(X_i)\bmod J'^2
$$
で定める。次数零では誘導写像の差が $\delta'H$ である。次数一次では、関係式 $j\in J$ に対し変数を一つずつ $v(X_i)$ から $u(X_i)$ へ変える。二つ以上の差を含む項は $J'^2$ に入るので、商では
$$
u(j)-v(j)=\sum_i\overline{\frac{\partial j}{\partial X_i}}
\bigl(u(X_i)-v(X_i)\bmod J'^2\bigr)=H\delta(j)
$$
となる。各式は有限変数なのでこの望遠鏡型展開は有限である。従って $H$ は二比較の鎖ホモトピーを与える。逆向きの比較も選べ、合成は恒等と増大が一致するため同じ議論で恒等とホモトピックとなる。三表示の合成にも同じ議論が適用される。$\square$
重要なのは、二つの $J/J^2$ がそのまま同型であるという主張ではないことである。冗長な変数を加えると、余法加群も微分加群も増える。しかし増えた二項は境界が恒等なので、ホモロジーに新しい情報を残さない。表示に依存する生成元や式を使いながら、表示に依存しない対象を得る仕組みがここで具体的に見える。
全余接複体を作る考え方
全余接複体 $L_{B/A}$ は、$B$ を単体的自由多項式 $A$ 代数で分解し、各段で微分を取り、$B$ 係数へ移して正規化した複体として構成する。単体的とは、複数の face と degeneracy が単体恒等式を満たすことをいう。face の交代和が境界となり、その平方が零になる。
最初の段で生成元を自由に置き、次の段でそれらが $B$ で満たす関係を記録し、その次で関係間の関係を記録する。単に加群の自由分解を取るのではなく、積をもつ代数の自由分解を取ってから微分するのがこの構成の特徴である。この順序を変えて、まず $\Omega_{B/A}$ だけの自由分解を取ると、既に失われた拡大情報を取り戻すことはできない。
以下では任意の可換単位環準同型 $A\to B$ に対し、全自由分解の比較を証明する。Noether性、有限表示、係数の平坦性は仮定しない。使用する分解は標準分解または明示する自由セル分解である。単に各次数が多項式環というだけの単体対象へ比較定理を無限定に拡張しない。
増大を保つ代数写像 $f:P\to Q$ は各次数で
$$
E(f)(dp\otimes b)=d(f(p))\otimes b
$$
を誘導する。普遍導分のLeibniz則が代表独立性を保証し、連鎖律より $E(gf)=E(g)E(f)$ となる。従って顔・退化を保つ単体代数写像は単体 $B$ 加群の写像を誘導する。
標準多項式解像を作る
任意の $A$ 代数 $C$ に対して、その台集合の全元を添字にした多項式環
$$
G(C)=A[X_c:c\in C]
$$
を取る。変数の集合が無限でも、多項式一つは有限個の変数しか含まない。評価写像 $\varepsilon_C:G(C)\to C$ は $X_c\mapsto c$ である。さらに $\Delta_C:G(C)\to G^2(C)$ を $X_c\mapsto X_{X_c}$ で定める。生成元の像を計算すると
$$
\varepsilon_G\Delta=1,\qquad G\varepsilon\Delta=1,\qquad
\Delta_G\Delta=G\Delta\Delta
$$
が成立する。
$P_n=G^{n+1}(B)$ と置く。$n\ge1$ の顔写像と退化写像は
$$
d_i=G^i\varepsilon G^{n-i},\qquad
s_i=G^i\Delta G^{n-i}
$$
で定め、次数零の増大は $\varepsilon_B:P_0\to B$ とする。上の三等式と、異なる位置の操作の可換性から単体恒等式が得られる。たとえば $i< j$ では $d_i d_j=d_{j-1}d_i$、$d_i s_j$ は $i=j,j+1$ なら恒等となる。この標準解像は環写像に自然である。
$P\to B$ の増大 Moore 複体は完全である。
$N_nP=\bigcap_{i=1}^n\ker d_i$、微分を $d_0$ とする。$d_0^2=d_0d_1$ から、この部分上で $d_0^2=0$ である。台集合の写像 $t_n:P_n\to P_{n+1}$ を $z\mapsto X_z$ で定めると
$$
d_0t_n=1,\qquad d_{i+1}t_n=t_{n-1}d_i
$$
となる。この $t_n$ は加法的ではないので、鎖複体の収縮と呼んではいけない。
Moore サイクル $z$ に対し $w=t_n(z)-t_n(0)$ と置く。全ての $i\ge1$ について $d_iw=0$、かつ $d_0w=z$ である。次数零でも $\varepsilon z=0$ なら同じ計算が成立する。従って全サイクルは境界であり、増大核も境界となる。$\varepsilon$ の全射性は各 $b\in B$ の変数 $X_b$ が持ち上げを与えることによる。
この証明は環の加法群について行う。多項式環そのものを自由加群解像と取り違えない。$A$ が零環なら $B$ も零環となり、以下の加群と群は全て零である。この端点では形式的な変数の独立性を使う必要はない。
微分と正規化
$A[T]$ の微分加群は $dT$ を基底とする自由加群である。多項式の通常の形式微分は Leibniz 則を満たし、任意の導分は各変数の値により一意に定まる。環写像の微分は $dt\mapsto d(f(t))$ で定まり、合成に両立する。
各次数で
$$
E_n=\Omega_{P_n/A}\otimes_{P_n}B
$$
を取ると、顔と退化の微分により単体 $B$ 加群となる。$E_n$ は自由加群である。一般の単体加群 $E$ について
$$
N_nE=\bigcap_{i=1}^n\ker d_i,\qquad
q_n=(1-s_0d_1)(1-s_1d_2)\cdots(1-s_{n-1}d_n)
$$
と置く。積は右から作用する。右端から順に $d_n,d_{n-1},\ldots,d_1$ を殺す。既に消えた高い顔は単体恒等式により戻らないため、$q_n$ の像は $N_nE$ であり、$N_nE$ 上では恒等である。
$E_n$ が自由なら $N_nE$ は射影である。正規化は任意係数とのテンソルと交換する。
$q_n^2=q_n$ なので $N_nE$ は $E_n$ の直和因子である。自由加群の直和因子は、全射に対する持ち上げを包含と射影の合成で作れるから射影である。直和分裂は任意の $M$ とのテンソルで保たれる。同じ顔消去の計算を $E\otimes M$ に適用すると $N_n(E\otimes M)=N_n(E)\otimes M$ となる。
これで $L=N(E)$ は全余接複体の非負射影鎖モデルになる。有限生成とは主張していない。標準解像では $B$ の全元を変数に使うため、有限型代数の場合でも項の階数は一般に大きい。
退化部分を除いてよい理由
非正規化複体の微分は $\partial=\sum_i(-1)^id_i$ である。退化部分 $D_n=\sum_i\operatorname{im}s_i$ は部分複体となる。$\partial s_i$ の二つの恒等項は逆符号で消え、他の項は退化写像を通るからである。上の $q_n$ は $D_n$ を殺す。実際、$s_i y$ に高い顔の補正を施しても $s_i$ の像に留まり、補正 $1-s_id_{i+1}$ で零になる。従って $E_n=N_nE\oplus D_n$、商複体は $N(E)$ に一致する。
上の多項式微分モデルでは非正規化と正規化の両複体は鎖ホモトピー同値である。
$D^p_n=\sum_{i\le\min(p,n-1)}\operatorname{im}s_i$ と置く。顔・退化恒等式から $D^p$ は部分複体となる。商 $D^p/D^{p-1}$ 上で $(-1)^ps_p$ は収縮である。$x=s_py$ に対し $\partial s_px+s_p\partial x$ を計算すると、高い顔は対になって消え、低い顔は $D^{p-1}$ に入り、$j=p$ の項だけ $(-1)^px$ として残る。
次数 $n$ の退化サイクルは $D^{n-1}$ に属する。上の収縮で境界を引いて $D^{n-2}$ へ下げ、有限回繰り返すと零になる。従って $D$ は完全である。これは無限フィルトレーションの収束を仮定する議論ではない。
各 $D_n$ は自由 $E_n$ の直和因子で射影であり、$D_0=0$ である。下端を持つ完全射影複体は収縮できる。最初の全射 $D_2\to D_1$ を分裂し、核を射影直和因子として、次の全射も順に分裂する。こうして $D_n=Z_n\oplus Z_{n-1}$、微分は後半から前次数の前半への恒等、収縮は前半から次次数の後半への恒等となる。よって $dh+hd=1$。テンソルおよび Hom に同じ $h$ を適用しても収縮恒等式は保たれる。任意係数で全次数群が一致する。
単なる擬同型（全次数のホモロジー同型を誘導する鎖写像）に Hom を適用すれば常に擬同型になる、という命題は使っていない。ここで全係数を許す理由は、射影項の明示分裂から鎖ホモトピー同値を作ったことである。
自由セル解像と境界の持ち上げ
標準解像のほかに、自由セルを次元順に付加して作る解像を使える。以下、次に述べる形の自由セルの付加を次元順に繰り返して得られ、増大 Moore 複体が完全な単体 $A$ 代数 $P\to B$ を許容される自由セル解像（許容される自由セル分解）と呼び、その各セルを許容セルと呼ぶ。標準解像も後で見るとおり自由セル表示を持つので、標準解像と許容される自由セル解像をあわせて許容される解像と呼ぶ。次数 $r$ のセル $v$ の顔 $b_0,\ldots,b_r$ を指定する。これらは二つの顔を取る順序が一致する条件を満たす必要がある。次数 $k\ge r$ に、単調全射 $\alpha:[k]\to[r]$ ごとに変数 $v_\alpha$ を置く。退化は全射の合成で定める。顔を取って全射が保たれれば対応する変数へ、全射でなくなれば唯一欠けた頂点の指定境界の退化像へ送る。
二つの顔の合成は、残る頂点集合によって分類できる。全頂点が残れば同じ変数、一つ欠ければ同じ境界、二つ欠ければ指定境界の整合条件により一致する。従ってこの付加は単体代数を作る。各次数は以前の環上の多項式拡大であるが、顔の像が単なる変数である必要はない。
最初に $B$ の全元を次数零セルにして増大を全射にする。次数零の全増大核を、顔 $(z,0)$ の一次セルで殺す。次に全 $n$ 次 Moore サイクルを顔 $(z,0,\ldots,0)$ の $(n+1)$ 次セルで殺す。各段はそれより低い次数を変えず、各次数は有限の次元段階で安定する。この構成で増大完全な自由セル解像が得られる。
増大 Moore 複体が完全な単体代数 $Q\to B$ では、整合する $n+1$ 個の顔 $b_0,\ldots,b_n$ は一つの $x\in Q_n$ の顔になる。
$x=0$ から始め、$i=n,n-1,\ldots,1$ の順に
$$
x\longmapsto x+s_{i-1}(b_i-d_ix)
$$
と補正する。$d_is_{i-1}=1$ なので現在の顔が合う。既に合った $j>i$ の顔に対する補正は、境界の整合条件と単体恒等式により零となる。
最後の差 $c=b_0-d_0x$ は Moore サイクルである。$n=1$ では増大核に入る。完全性により $c=d_0z$、全正の顔が零である $z\in Q_n$ を選べる。$x+z$ は全顔を指定通りに持つ。次数零では増大全射で直接持ち上げる。
この充填を自由セルの上の生成元ごとに行うと、任意の自由セル解像から増大完全な対象への比較写像を作れる。全退化変数の像は上の生成元の退化像で強制し、全射の顔の規則により整合する。無限個のセルでも一つの多項式は有限台なので同じ手順が働く。
標準解像も許容される自由セル表示を持つ
標準 $P_n$ の生成元ラベルを $T_n$ とする。退化はラベルの単射 $\sigma_i:T_{n-1}\to T_n$ を誘導し、正の顔が左逆を与える。二つの退化像の交叉を計算する。$\sigma_i a=\sigma_jb$、$i< j$ なら、正の顔を適用して
$$
a=\sigma_{j-1}c,\qquad b=\sigma_i c
$$
となる共通のラベル $c$ を得る。隣接した $j=i+1$ でも、もう一つの正の顔を使えば同じ式になる。
退化を外して次元を下げれば、有限回で非退化ラベルに達する。退化の交換関係でその合成を一つの単調全射に直せる。この表示が一意であることも交叉の計算から従う。全射の隣接重複位置の集合は、ラベルがどの $\sigma_i$ の像に入るかという内在的集合に等しい。余分な重複位置があれば交叉式で既存の退化を一つずつ外し、最後の非退化ラベルが退化像に入る矛盾を得る。重複位置は全射を一意に決め、左逆により最後の非退化ラベルも一意に回収できる。
従って各非退化生成元をセルとし、その全退化を置けば、標準解像の多項式基底と顔・退化をそのまま回収する。これにより標準解像と自由セル解像の間には、両方向の比較写像がある。単に各次数が多項式であるという性質だけから、このセル表示を任意の単体代数に与えたわけではない。
分解の比較と導来対象の独立性
標準解像または上の自由セル解像から作った $L=N(\Omega_{P/A}\otimes_P B)$ は、鎖ホモトピー同値で結ばれる。比較の鎖ホモトピー類は選択によらず、合成に両立する。従って導来圏の対象として分解に依存しない。
同じ増大を保つ二比較 $f,g:P\to Q$ を取る。次数 $n$ で単調写像 $\tau:[n]\to[1]$ の各々に $P_n$ のコピーを置き、その余積を円柱とする。多項式生成元は対 $(v,\tau)$ で添字付けられる。顔は位置削除、退化は位置重複と元の顔・退化を同時に施す。
定数零と定数一のコピーには $f,g$ の値を指定する。退化生成元の像も低次数から強制される。二つの退化表示の交叉は、共通の二重退化から得られるため整合する。端点と退化の交叉では、退化後の頂点列が定数なら元の列も定数である。残る自由生成元には上の境界充填を使う。次元順にこの構成を行い、円柱から $Q$ への写像を得る。
円柱から余接加群へ微分を施す。零を $i+1$ 個、一を残りに置いた頂点列と $s_i$ を用いて、次数を一つ上げる $B$ 線型作用素 $h_i$ を得る。端は $d_0h_0=g$、$d_{n+1}h_n=f$、中間は $d_ih_i=d_ih_{i-1}$ となる。交互和 $T_n=\sum_i(-1)^ih_i$ を取ると
$$
\partial T+T\partial=g-f.
$$
顔が切断の左にある項は $T\partial$ と相殺し、右にある項も同様である。隣接する中間顔は上の等式で相殺し、両端だけが残る。この計算は整数の符号のみを使い全標数で成立する。
正規化射影 $q$ と包含 $\iota$ は鎖写像なので、$K=qT\iota$ は $dK+Kd=g-f$ を満たす。自由セル解像の円柱でも、二つの位置を削除する共通二重退化の計算が同じ充填を許す。両方向比較の合成と恒等は同じ増大を保つため、このホモトピーで結ばれる。よって余接複体は鎖ホモトピー同値である。$K\otimes1$ と $K$ への前合成は、任意係数の鎖・コチェインホモトピーを与え、全次数群と誘導写像は一致する。
本定理の「解像」は標準または自由セルという具体的な構造を含む。任意の次数別多項式単体対象が自動的に比較の持ち上げを許す、という命題は証明していない。各比較同士は同じ増大を保つので鎖ホモトピックである。二比較の合成も直接の比較と同じ増大を保つため鎖ホモトピックとなる。このためホモトピー圏での同型は選択と中間分解によらない。擬同型（全次数のホモロジーに同型を誘導する鎖写像）を反転する導来圏でも同型となる。これはホモロジー群が個別に同型であることだけから導いた結論ではない。
平坦な基礎環変更
任意の単位的可換環写像 $A\to B$、平坦な環写像 $A\to A'$ を取り $B'=B\otimes_AA'$ とする。標準または許容される自由セル分解 $P\to B$ に対し $P'=P\otimes_AA'$ は許容される自由セル分解となる。微分正規化モデルについて
$$N(\Omega_{P/A}\otimes_PB)\otimes_BB'\simeq N(\Omega_{P'/A'}\otimes_{P'}B')$$
という鎖同型がある。右辺は基底変更された分解によるモデルであり、独立に選んだ標準分解のモデルとは前の分解比較により鎖ホモトピー同値となる。従って導来対象について $L_{B/A}\otimes_B^{\mathbf L}B'\simeq L_{B'/A'}$。Noether性、有限表示、完全剰余体は不要である。
許容セルと増大完全性。
各自由セル段の多項式環はテンソル後、同じ変数集合を持つ$A'$多項式環となる。次数rのセルの境界式は係数だけ$A'$へ送り、単体恒等式はそのまま残る。単調全射による退化変数集合も変わらない。従って自由セル付加の構造を保持する。標準分解自体の基底変更は $A'$ 上の標準分解そのものと等しいとは限らないが、前に示した許容セル表示を持つので比較可能である。零環$A'$では全加群が零となりこの結論は自明に扱う。
完全性を加法群の非正規化複体で確認する。前の顔消去射影$q$は単体 $A$ 加群 $P$にも適用でき、$C(P)=N(P)\oplus D(P)$。退化サイクルのフィルター商収縮と有限降下の計算は任意の単体加群に働くため$D(P)$は正確であり、増大Moore完全性から増大$C(P)$も正確である。この段で$D(P)$の射影性は必要ない。平坦な $A'$ とのテンソルは、サイクル・境界の短完全列を保つので増大$C(P)$の完全性を保つ。$C(P')$はそのテンソル複体であり、再び正規化分裂と退化の正確性から増大$N(P')$も完全となる。すなわち$P'$は分解である。平坦性を使うのはこの完全性の保存であって、標準分解の台集合上の非加法的縮約を線型テンソルするのではない。
微分加群の基底変更。
任意のA代数Cと $C'=C\otimes_AA'$ について
$$\Omega_{C/A}\otimes_CC'\longrightarrow\Omega_{C'/A'},\qquad dc\otimes(c_1\otimes a')\longmapsto(c_1\otimes a')\,d(c\otimes1)$$
は同型である。逆写像を得るため、C'から左辺への$A'$導分を $c\otimes a'\mapsto dc\otimes(1\otimes a')$ で定める。テンソルの釣合い $ac\otimes a'=c\otimes aa'$ に対して $d(ac)=a\,dc$（da=0）なので値は一致する。加法と$A'$上の零は定義から、Leibniz則は純テンソルの積 $cc_1\otimes a'a_1'$ の微分を展開して成立する。従って普遍性で逆写像を与え、両合成はdcと $d(c\otimes a')=a'd(c\otimes1)$ の生成元で恒等となる。この同型はCの写像に自然であり、顔・退化の微分と交換する。ここには平坦性を要しない。
$C=P_n$へ適用し、その係数を$B'$へ移すと
$$E(P)_n\otimes_BB'\simeq\Omega_{P_n'/A'}\otimes_{P_n'}B'=E(P')_n.$$
これは項ごとの抽象同型だけではなく、顔・退化と可換な単体$B'$加群同型である。
正規化と鎖同型。
単体加群$E$の射影$q$は有限個の顔・退化の積であり、$E=N(E)\oplus D(E)$を与える。任意のテンソル後にも直和分裂は保たれ、$q\otimes1$はテンソル後の同じ顔消去射影になる。従って
$$N(E)\otimes_BB'=N(E\otimes_BB')$$
が自然同型となる。微分 $d_0$と同型は交換するので、微分加群の基底変更から主張の鎖同型を得る。有限個の核の交叉と任意テンソルを無条件に交換したのではなく、冪等射影の明示分裂を使った。
$B'$ は $B$ 上平坦である。任意B加群Mについて $M\otimes_BB'\simeq M\otimes_AA'$ であり、$A'$のA平坦性が単射保存を与えるからである。Lの項は射影で非負鎖次数のモデルなので、上の普通テンソルは導来テンソルのモデルにもなる。前の比較写像とホモトピーも$B'$テンソル後に保存される。従って元のPの選択を変えても同じ導来同型を与える。目標の別の許容される分解へは前の比較で鎖ホモトピー同値を作る。主張は「任意の標準モデル同士が項別に等しい」ではない。
非平坦変更に同じ結論を無条件に延長できない。$A=\mathbb Z$、$B=\mathbb F_p$、$A'=\mathbb F_p$（$p$ は素数）とすると $B'=\mathbb F_p$。整数の単射 $\mathbb Z\xrightarrow{p}\mathbb Z$ を $\mathbb F_p$ とテンソルすると零写像となるため、この基礎環変更は平坦でない。元の良い低次切断は $[(p)/(p^2)\to0]$ なので $H_1(L_{B/A})=\mathbb F_p$。$B'=B$のため$B$ 上のテンソルでこの$H_1$ は変わらない。一方、目標は恒等写像 $B'\to B'$の余接複体であり、次数零の変数なし定数セル分解を使えば全複体は零。従って比較は同値でない。微分加群の基底変更同型はこの場合にも成立するが、分解の増大完全性が失われる。この反例は低次良い切断だけで$H_1$を計算しており、全Lを二項で置換していない。
一般の非平坦基底変更を導来テンソル環で扱う理論は、ここで証明した平坦変更とは別に考える必要がある。二項の良い低次切断から $H_1$ を計算することと、全余接複体を二項で置き換えることも区別する。
標準分解の低次数を計算する
任意の $A$ 代数 $R$ に対して $G(R)=A[X_r:r\in R]$ と置く。評価 $X_r\mapsto r$ と、生成元をもう一段自由化する写像 $X_r\mapsto X_{X_r}$ を使う。評価と自由化の恒等式は生成元で確かめられる。標準単体分解の $n$ 段は $G^{n+1}(B)$ である。生成元をすべての元で添字付けるので大きな表示になるが、任意の $B$ に同じ方法を適用できる。
最初の三段を
$$
P_0=A[X_b:b\in B],\quad P_1=A[Y_f:f\in P_0],\quad
P_2=A[Z_g:g\in P_1]
$$
と書く。$\pi:P_0\to B$ を評価とすると、$P_1$ の二つの face は $d_0(Y_f)=f$、$d_1(Y_f)=X_{\pi f}$ である。$P_2$ の face は $d_0(Z_g)=g$、$d_1(Z_g)=Y_{d_0g}$、$d_2(Z_g)=Y_{d_1g}$ となる。台集合上の縮約はあるが、その縮約を環準同型と誤認しないことも大切である。
標準分解の一次関係は余法加群である
$F_n=\Omega_{P_n/A}\otimes_{P_n}B$ の交代 face 複体について、$\operatorname{coker}(F_2\to F_1)$ は $J/J^2$ に同型である。ここで $J=\ker(P_0\to B)$ とする。
$F_1$ の基底 $dY_f\otimes1$ を $[f]$ と書く。$P_1$ の普遍微分を $B$ 係数にした写像を $D$ と書くと、$F_2$ からの関係はすべての $g\in P_1$ に対する
$$
R_g=Dg-[d_0g]+[d_1g]
$$
である。商を $U$ と書く。写像 $q([f])=f-X_{\pi f}\bmod J^2$ を定める。$d_0g-d_1g\bmod J^2$ は共通の増大を係数とする $A$ 導分なので、$q(Dg)=d_0g-d_1g\bmod J^2$ となる。$d_0g,d_1g$ の増大は同じであり、$q(R_g)=0$ となる。従って $q:U\to J/J^2$ が得られる。
逆写像を構成する。$h(j)=[j]-[0]$ と置く。$g=Y_{X_b}$ の関係から $[X_b]=0$、次に $g=Y_f-Y_{X_b}$、$b=\pi f$ から $[f]=h(f-X_b)$ となる。$g=Y_i+Y_j$ の関係と $g=Y_0+Y_0$ の関係を引くと $h(i+j)=h(i)+h(j)$ が得られる。ここで $i,j\in J$ である。
$g=Y_pY_i$ と $g=Y_pY_0$ の関係を引くと、$\pi(i)=0$ を使って $h(pi)=\pi(p)h(i)$ となる。特に $p\in J$ なら $h(pi)=0$ なので $h$ は $J^2$ を殺し、$B$ 線形写像 $J/J^2\to U$ を与える。$qh(i)=(i-X_0)-(-X_0)=i$、$hq([f])=h(f-X_{\pi f})=[f]$ であり、両写像は互いに逆である。$\square$
この同型の下で $F_1\to F_0$ は $[f]\mapsto d(f-X_{\pi f})\otimes1$、すなわち余法写像 $\delta$ となる。従って全自由複体の次数 $0,1$ の良い切断が二項複体 $K(P_0)$ である。「良い切断」は単に高い項を捨てるのではなく、一次項を $F_2$ の像で割る操作を含む。この違いを省くと、関係間の関係をまだ含んだ $F_1$ と、本来の余法加群とを取り違える。
導分と拡大をコホモロジーとして読む
自由複体 $C=(\cdots\to F_2\to F_1\to F_0)$ を用いると、$H^0\operatorname{Hom}_B(C,M)$ は $F_0$ 上の準同型のうち $F_1$ の境界を殺すものとなる。前の次数零の計算から、これは $\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M)=\operatorname{Der}_A(B,M)$ である。
次数一の cocycle は $F_1\to M$ で $F_2$ の像を殺すもの、すなわち $J/J^2\to M$ である。coboundary は $F_0\to M$ の $\delta$ に沿った制限である。従って
$$
H^1\operatorname{Hom}_B(C,M)=
\operatorname{coker}\bigl(\operatorname{Hom}_B(F_0,M)
\to\operatorname{Hom}_B(J/J^2,M)\bigr)
\simeq\operatorname{Exal}_A(B,M).
$$
最後の分類の証明は 平方零拡大の「余法加群による分類」にある。そこで構成したグラフイデアルの商と、ここで得た余核は同じであり、単なる次元の一致ではない。二つの持上げの差が導分となるため、その差がここでは coboundary として消える。
全自由複体で通常の Hom が導来 Hom を計算する理由も説明できる。非正余鎖次数の射影複体から非輪体への鎖写像について、次数零から下向きに、差を次の境界の原像へ持ち上げてホモトピーを作る。各段で使うのは射影性と、非輪体の境界からサイクルへの全射性である。次数ごとに一つずつ選ぶので無限和を作る必要はない。これが自由モデルの利点である。
一方、$T=J/J^2$ が射影でない二項複体では同じ議論を全次数に適用できない。ただし次数零と一次は、$F[0]\to K\to T[1]$ という短完全複体から得る導来 Hom の完全列によって上の核・余核と一致する。$F$ の射影性から $\operatorname{Ext}_B^1(F,M)=0$ を使えるためである。次数二以降には $T$ の高次 Ext が寄与し得るので、二項で見かけ上止まった普通 Hom から消滅を結論しない。
計算例と反例
$B=A[x]$ なら関係式のない表示を取れて、二項複体は $B\,dx$ だけとなる。導分は $D(x)$ の任意選択で決まり、平方零拡大は変数の持上げを選ぶことで分裂する。これは関係式がないため一次障害がないという計算である。
体 $k$ に対して $B=k[x]/(x^2)$ とすると $T$ は $x^2$ の類を基底とする自由 $B$ 加群で、境界は $x^2\mapsto2x\,dx$ となる。標数が $2$ でなければ $\Omega_{B/k}=B\,dx/(2x\,dx)$、標数 $2$ なら境界が零となる。$M=k$ で $xM=0$ とすると、係数 Hom の境界はどちらの標数でも零であり、$H^1=k$ となる。ホモロジーの微分が標数で変わることと、指定した係数に値を取る障害の計算とを分けて見る例である。
$A=\mathbb Z$、$B=\mathbb Z/4$ は、変数のない表示 $P=A$ を使える。$T=(4)/(16)\simeq B$、$F=0$、境界は零となる。従って $H_0=0$ だが $H_1=B$ である。係数 $M=B$ に対しては $H^1=B$、非零の拡大類が存在する。関係式 $4=0$ には変数微分がなくても、関係式そのものの持上げ誤差は残っている。
体 $k$ に対して
$$
A=k[x,y]/(x^2,xy,y^2),\qquad B=A/(x)=k[y]/(y^2),\qquad M=B/(y)=k
$$
とする。変数のない表示 $P=A\to B$ の核は $J=(x)$ である。$A$ の $k$ 基底は $1,x,y$ なので、$J=kx$、$J^2=0$、$yJ=0$ となる。従って $J/J^2\simeq k$ は $B$ 加群としての同型であり、$\Omega_{P/A}=0$ である。素朴余接複体は鎖次数 $1$ に $k$ だけを持つ $K=k[1]$ となる。
普通の $\operatorname{Hom}_B(K,k)$ は余鎖次数 $1$ に $k$ だけを持つから、$H^2\operatorname{Hom}_B(K,k)=0$ である。しかし
$$
H^2\mathbf R\operatorname{Hom}_B(K,k)=\operatorname{Ext}^1_B(k,k)=k
$$
となる。
$k$ の自由解像度を次で構成する。
$$
\cdots\xrightarrow{y}B\xrightarrow{y}B\xrightarrow{y}B\longrightarrow k\longrightarrow0.
$$
$y^2=0$ なので連続する境界の合成は零である。$B$ の元 $a+by$ の $y$ 倍は $ay$ だから、$y$ 倍の核も像も $(y)=ky$ である。最後の商写像の核も $(y)$ なので、この複体は全次数で完全である。各項は自由である。
$\operatorname{Hom}_B(-,k)$ を取ると、$y$ が $k$ に零作用するため全境界が零になる。各項は $\operatorname{Hom}_B(B,k)=k$ だから、$\operatorname{Ext}^n_B(k,k)=k$ がすべての $n\ge0$ で成立する。$K$ は $k$ を鎖次数 $1$ へ移したものなので、その自由解像度も同じだけ移せばよい。従って $n\ge1$ に対して
$$
H^n\mathbf R\operatorname{Hom}_B(K,k)=\operatorname{Ext}^{n-1}_B(k,k),
$$
特に次数 $2$ は $k$ である。$\square$
この計算は $K$ への導来 Hom の計算であり、全余接複体 $L_{B/A}$ への導来 Hom の全高次数と同じだという主張ではない。失敗するのは「二項だから導来 Hom も次数 $1$ で止まる」という推論である。ここでは一次項 $J/J^2=k$ が射影でないため、自由解像度の高次項が必要となる。実際、射影なら今計算した $\operatorname{Ext}^1_B(k,k)$ は零になるはずである。
| 外した条件・誤った推論 | 例 | 失敗する結論 |
|---|---|---|
| $\Omega$ の射影性だけで十分とする | $\mathbb Z\to\mathbb Z/4$、$\Omega=0$ | 形式的滑らかさは従わない |
| 余法写像の単射を仮定せず消滅させる | 同じ例で $T=B,F=0$ | 一次関係の情報が失われる |
| 高次の導来 Hom を普通 Hom で置き換える | 上の $A\to B$ で $K=k[1]$ | 普通 Hom の $H^2=0$ に対し導来 Hom の $H^2=k$ |
最初の反例では零加群は射影である。それでも $\mathbb Z/16\to\mathbb Z/4$ の平方零核を通した恒等写像の持上げが存在しないので、形式的滑らかではない。これは十分条件の仮定が足りない反例であり、形式的滑らかなら微分加群が射影になるという必要条件への反例ではない。
分裂余法写像による滑らかさの判定
離散形式的滑らかさを判定するには、$\Omega$ の射影性だけでなく余法写像 $\delta:T\to F$ の分裂単射性を見る。すべての $B$ 加群 $M$ について拡大類が零という条件は、$\operatorname{Hom}_B(F,M)\to\operatorname{Hom}_B(T,M)$ が全射という条件である。$M=T$ と恒等写像を取れば、$r:F\to T$ で $r\delta=\operatorname{id}_T$ となる写像が得られる。
逆にこの $r$ があるとき、任意の $h:T\to M$ は $hr:F\to M$ に延長できるので、分類の余核はすべての $M$ で零となる。従ってこの分裂条件は平方零持上げ試験と同値である。$F$ は自由なので、分裂後の余核 $\Omega$ は射影になる。しかし $\Omega$ が射影という事実だけでは $\ker\delta$ が零とは分からない。必要条件と十分条件の違いは、二項複体の左側を見れば明確になる。
ここで用いる「形式的滑らかさ」は離散環の持上げ条件である。有限表示を加えた滑らかさ、位相環の連続持上げ、完成環での係数条件は別に仮定を定める必要がある。余接複体という一つの言葉が出てくるからといって、普通の拡大と連続な拡大の同型類を混ぜない。
どの複体を使うか
計算の入口では、多項式表示の二項複体が最も扱いやすい。生成元と関係式を直接読み、$H_0$、導分、平方零拡大を計算できる。表示を変更しても可縮な対が増えるだけで低次数の情報が変わらないことも、変数の差を使ったホモトピーで確かめられる。
高次数、基礎環の変更、推移の長完全列を扱うときには全自由分解から得た余接複体を使う。二項複体はその低次数の切断として重要だが、全複体と同じという主張には別の条件が要る。また、ホモロジーを先に取ってから係数を入れる操作と、係数を入れてからホモロジーを取る操作は一般には交換しない。係数が平坦か、モデルが自由か、導来演算を使っているかをその都度確認する。
余接複体を読む際の順序は、基礎環と商環を固定し、次数規約を決め、微分加群と余法加群を区別し、最後にどの係数演算を使うかを決めることである。次数零の微分、次数一の拡大、さらに高い関係式の情報が同じ複体に共存していることを念頭に置けば、微分の計算から変形の障害へ進む道筋を追うことができる。
関連項目
参考文献
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