一様分布(mod 1)

同義語：1を法とする一様分布uniform distribution modulo oneequidistribution modulo one

概要

前提知識: 数列の極限, 床関数, Riemann積分, Stone–Weierstrassの定理

実数 $x$ の小数部分を $\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor\in[0,1)$ と書く。実数列 $(x_n)_{n\ge1}$ が 1 を法として一様分布する（一様分布 (mod 1)、uniformly distributed modulo one、equidistributed modulo 1）とは、小数部分 $\{x_n\}$ が区間 $[0,1)$ に「偏りなく」散らばること、正確には、$[0,1)$ のどの区間についても、最初の $N$ 項のうちその区間に入る項の割合が、$N\to\infty$ で区間の長さに近づくことをいう。
代表的な例は無理数 $\theta$ の倍数の列 $(n\theta)$ である。$\theta=\sqrt2$ なら、$\{n\sqrt2\}$ は $[0,0.3)$ にほぼ $3$ 割、$[0.5,0.6)$ にほぼ $1$ 割の項が入る。一方 $\theta$ が有理数なら、$\{n\theta\}$ は有限個の値しかとらないので一様分布しない。
この記事では次を証明する。

Weyl の判定法：$(x_n)$ が 1 を法として一様分布することは、$0$ でないすべての整数 $h$ について指数和の平均 $\frac1N\sum_{n=1}^Ne^{2\pi ihx_n}$ が $0$ に近づくことと同値である。周期 $1$ の連続関数の平均で言い換えることもできる。
実数 $\theta,\beta$ について、$(n\theta+\beta)$ が 1 を法として一様分布するのは $\theta$ が無理数のとき、かつそのときに限る。
差の列 $(x_{n+h}-x_n)$ がどの $h\ge1$ についても一様分布するなら、$(x_n)$ も一様分布する。この帰結として、最高次の係数が無理数である実係数多項式 $p$（次数 $1$ 以上）について $(p(n))$ は一様分布する。たとえば $(n^2\sqrt2)$ は一様分布する。
一様分布は、無理数の倍数の小数部分が $[0,1]$ で稠密であること（Diophantus近似の記事の定理「Kronecker の定理（1 次元）」）を、量的に強めたものである。$2^n$ の最高位の数字の頻度（常用対数と桁数、最高位の数字とBenfordの法則）は、$(n\log_{10}2)$ の一様分布から読み取れる。

定義

実数列 $(x_n)_{n\ge1}$ と $0\le a< b\le1$ について、最初の $N$ 項のうち小数部分が $[a,b)$ に入るものの個数を
$$ A_N([a,b)):=\#\{\,1\le n\le N\mid \{x_n\}\in[a,b)\,\} $$
と書く。

一様分布する数列

実数列 $(x_n)_{n\ge1}$ が 1 を法として一様分布するとは、$0\le a< b\le1$ を満たすすべての $a,b$ について
$$ \lim_{N\to\infty}\frac{A_N([a,b))}{N}=b-a $$
が成り立つことをいう。

$\{x_n\}$ は $x_n$ を $1$ を法として見たものなので、各 $x_n$ に整数を足しても一様分布するかどうかは変わらない。一様分布する列では、区間 $[a,b)$ を $(a,b)$ や $[a,b]$（$b<1$）に替えても、その区間に入る項の割合は区間の長さに近づく（thm-ud-weyl の証明の段 4 の最後の文）。
一様分布する列の小数部分は $[0,1]$ で稠密である。長さが正の区間 $[a,b)$ に入る項の割合は $b-a>0$ に近づくので、その区間に入る項が必ずあるからである。逆は成り立たない（ex-ud-counterexamples の 4 行目の列 $(\log_{10}n)$ は、小数部分が稠密だが一様分布しない）。

直感

$\{n\theta\}$ は、円周（長さ $1$ の区間 $[0,1)$ の両端をつないだもの）の上を一定の歩幅 $\theta$ で回る点の位置である。$\theta$ が有理数 $r/q$ （$q\ge1$）なら $q$ 歩で元に戻り、高々 $q$ 個の同じ点を回り続ける。$\theta$ が無理数なら決して元に戻らず、点は円周を少しずつずれながら埋めていき、長い目で見るとどこにも同じ割合で滞在する。
これを確かめるには、区間に入る個数を直接数えるより、「波」$e^{2\pi iht}$ の平均を見るほうが易しい。円周上の点が偏っていれば、ある振動数 $h$ の波がその偏りに共鳴して平均が $0$ にならない。逆に、どの振動数の波の平均も $0$ に近づくなら、波の重ね合わせ（三角多項式）の平均も、それで一様に近似できる周期的な連続関数の平均も正しい値に近づき、区間の指示関数もそれで挟める。これが Weyl の判定法の考え方である。$x_n=n\theta$ の場合は波の和が等比数列の和なので、平均が $0$ に近づくことがすぐ分かる。

Weyl の判定法

実数列 $(x_n)_{n\ge1}$ について、次の 3 条件は同値である。

$(x_n)$ は 1 を法として一様分布する。
周期 $1$ のすべての連続関数 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ について
$$ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^Nf(x_n)=\int_0^1f(t)\,dt $$
が成り立つ。
$0$ でないすべての整数 $h$ について
$$ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^Ne^{2\pi ihx_n}=0 $$
が成り立つ。

$f$ は周期 $1$ なので $f(x_n)=f(\{x_n\})$ である。
段 1：1 ⇒ 2。 $f$ を周期 $1$ の連続関数とし、$\varepsilon>0$ とする。$f$ は有界閉区間 $[0,1]$ で一様連続なので、$|s-t|\le1/M$ なら $|f(s)-f(t)|<\varepsilon$ となる正の整数 $M$ がある。$I_j:=[j/M,(j+1)/M)$（$0\le j< M$）とおき、$[0,1)$ 上の階段関数 $g$ を $I_j$ 上で値 $f(j/M)$ をとるものと定めると、$[0,1)$ 上で $|f-g|<\varepsilon$ である。1 により
$$ \frac1N\sum_{n=1}^Ng(\{x_n\})=\sum_{j=0}^{M-1}f(j/M)\,\frac{A_N(I_j)}{N}\ \longrightarrow\ \sum_{j=0}^{M-1}\frac{f(j/M)}{M}=\int_0^1g(t)\,dt $$
である。よって
$$ \Bigl|\frac1N\sum_{n=1}^Nf(x_n)-\int_0^1f\Bigr|\le\frac1N\sum_{n=1}^N\bigl|f(\{x_n\})-g(\{x_n\})\bigr|+\Bigl|\frac1N\sum_{n=1}^Ng(\{x_n\})-\int_0^1g\Bigr|+\int_0^1|g-f| $$
の右辺の第 1 項と第 3 項は $\varepsilon$ 未満、第 2 項は $N\to\infty$ で $0$ に近づく。$\varepsilon$ は任意なので 2 が成り立つ。
段 2：2 ⇒ 3。 $h\ne0$ について $f(t)=e^{2\pi iht}$ は周期 $1$ の連続関数で、$\int_0^1e^{2\pi iht}\,dt=0$ である。
段 3：3 ⇒ 2。 三角多項式 $T(t)=\sum_{|h|\le H}c_he^{2\pi iht}$ については、$h=0$ の項の平均は $c_0=\int_0^1T$ で、$h\ne0$ の項の平均は 3 により $0$ に近づくので、2 が成り立つ。周期 $1$ の連続関数 $f$ と $\varepsilon>0$ について、$x\mapsto f(x/2\pi)$ は周期 $2\pi$ の連続関数なので、Stone–Weierstrassの定理の記事の系「三角多項式による一様近似」により、$\mathbb{R}$ 上で $|f-T|<\varepsilon$ となる上の形の三角多項式 $T$ がある（近似する三角多項式の変数 $x$ に $2\pi t$ を代入する）。段 1 と同じく三角不等式で 3 つに分けると、2 が $f$ についても成り立つ。
段 4：2 ⇒ 1。 $0\le a< b\le1$ とし、$0<\varepsilon<(b-a)/2$ とする。周期 $1$ の連続関数 $g_+,g_-$ を次のように定める。$g_+$ は、$[a,b]$ と、それを整数だけずらした区間の上で $1$、それらから距離 $\varepsilon$ 以上離れた点で $0$、その間で距離について 1 次式（値は $0$ と $1$ の間）とする。$g_-$ は、$[a+\varepsilon,b-\varepsilon]$ とその整数ずらしの上で $1$、$(a,b)$ とその整数ずらしの外で $0$、その間で 1 次式とする。$[0,1)$ の点 $t$ について
$$ g_-(t)\le\mathbf 1_{[a,b)}(t)\le g_+(t) $$
であり（$[0,1)$ の中では、$(a,b)$ の整数ずらしのうち $(a,b)$ 自身としか交わらない）、$\int_0^1g_+\le b-a+2\varepsilon$、$\int_0^1g_-\ge b-a-2\varepsilon$ である。$t=\{x_n\}$ を代入して平均をとり、2 を $g_\pm$ に使うと
$$ b-a-2\varepsilon\le\liminf_{N\to\infty}\frac{A_N([a,b))}{N}\le\limsup_{N\to\infty}\frac{A_N([a,b))}{N}\le b-a+2\varepsilon $$
である。$\varepsilon$ は任意なので 1 が成り立つ。この議論は $\mathbf 1_{[a,b)}$ を $(a,b)$ や $[a,b]$（$b<1$）の指示関数に替えても同じに通る。$\square$

この判定法は Weyl（1916 年）による（HW60 第 23 章の §23.10 の注、p. 393）。2 は、$f$ の値を一様分布する点で平均すると $f$ の積分に近づく、すなわち一様分布する列の点でとった Riemann和のような平均が積分を近似する、と読める。

無理数の倍数

1 次式の列の一様分布

$\theta,\beta$ を実数とする。列 $(n\theta+\beta)_{n\ge1}$ が 1 を法として一様分布するのは、$\theta$ が無理数のとき、かつそのときに限る。

$\theta$ が無理数の場合。 $h\ne0$ を整数とすると、$h\theta$ は整数でないので $z:=e^{2\pi ih\theta}\ne1$、$|z|=1$ である。等比数列の和の公式から
$$ \Bigl|\sum_{n=1}^Ne^{2\pi ih(n\theta+\beta)}\Bigr|=\Bigl|e^{2\pi ih\beta}\,\frac{z(z^N-1)}{z-1}\Bigr|\le\frac{2}{|z-1|} $$
であり、右辺は $N$ によらない。$N$ で割ると $0$ に近づくので、thm-ud-weyl の 3 ⇒ 1 により一様分布する。
$\theta$ が有理数の場合。 $\theta=r/q$（$r,q$ は整数、$q\ge1$）とすると、$\{n\theta+\beta\}$ は $n$ を $q$ で割った余りだけで決まり、高々 $q$ 個の値しかとらない。$[0,1)$ からこの有限個の点を除くと長さが正の区間 $[a,b)$ が残り、$A_N([a,b))=0$ なので割合は $b-a>0$ に近づかない。$\square$

$\beta=0$ の場合が $(n\theta)$ の一様分布である。この主張（$\beta=0$）は HW60 §23.10 の Theorem 445（p. 390）で、そこでは連分数を使った別の証明が与えられている。同じ本の注によれば、Bohl・Sierpiński・Weyl がほぼ同時に独立に見いだした（p. 393）。
定義の後の注意から、$\theta$ が無理数なら $\{n\theta\}$ は $[0,1]$ で稠密であり、Diophantus近似の記事の定理「Kronecker の定理（1 次元）」がふたたび得られる。

差の列と多項式

差の列から元の列の一様分布を導くには、次の不等式を使う。

和の平方の評価

複素数 $u_1,\dots,u_N$ と整数 $1\le H\le N$ について
$$ H^2\Bigl|\sum_{n=1}^Nu_n\Bigr|^2\le H(N+H-1)\sum_{n=1}^N|u_n|^2+2(N+H-1)\sum_{h=1}^{H-1}(H-h)\,\operatorname{Re}\sum_{n=1}^{N-h}u_{n+h}\overline{u_n} $$
が成り立つ。

$n\le0$ と $n>N$ について $u_n:=0$ とおく。各 $u_n$（$1\le n\le N$）は $m=n,n+1,\dots,n+H-1$ の $H$ 回だけ現れるので
$$ H\sum_{n=1}^Nu_n=\sum_{m=1}^{N+H-1}\ \sum_{r=0}^{H-1}u_{m-r} $$
である。外側の和は $N+H-1$ 項なので、Cauchy–Schwarzの不等式により
$$ H^2\Bigl|\sum_nu_n\Bigr|^2\le(N+H-1)\sum_{m=1}^{N+H-1}\Bigl|\sum_{r=0}^{H-1}u_{m-r}\Bigr|^2 $$
である。$m\le0$ や $m\ge N+H$ では内側の和は $0$ なので、右辺の $m$ の和はすべての整数 $m$ にわたる和にしてよい。展開すると
$$ \sum_m\Bigl|\sum_ru_{m-r}\Bigr|^2=\sum_{r,s=0}^{H-1}\ \sum_mu_{m-r}\overline{u_{m-s}}=\sum_{r,s}\ \sum_nu_n\overline{u_{n+r-s}} $$
である。$r-s=d$ となる組 $(r,s)$ は $H-|d|$ 個あり、$d=0$ の項の和は $H\sum_n|u_n|^2$ である。$d=\pm h$（$1\le h\le H-1$）の 2 つの和は互いに複素共役で、合わせて $2\operatorname{Re}\sum_{n=1}^{N-h}u_{n+h}\overline{u_n}$ になる。これを代入すればよい。$\square$

差の列による判定

実数列 $(x_n)_{n\ge1}$ について、各整数 $h\ge1$ ごとに差の列 $(x_{n+h}-x_n)_{n\ge1}$ が 1 を法として一様分布するとする。このとき $(x_n)$ も 1 を法として一様分布する。

$k\ne0$ を整数とし、$u_n:=e^{2\pi ikx_n}$ とおく。$|u_n|=1$、$u_{n+h}\overline{u_n}=e^{2\pi ik(x_{n+h}-x_n)}$ なので、lem-ud-vdc-inequality の両辺を $H^2N^2$ で割ると、$1\le H\le N$ について
$$ \Bigl|\frac1N\sum_{n=1}^Nu_n\Bigr|^2\le\frac{N+H-1}{HN}+\frac{2(N+H-1)}{H^2N}\sum_{h=1}^{H-1}(H-h)\Bigl|\frac1N\sum_{n=1}^{N-h}e^{2\pi ik(x_{n+h}-x_n)}\Bigr| $$
である。$H$ を固定して $N\to\infty$ とする。右辺の第 1 項は $1/H$ に近づく。各 $h$ について、差の列 $(x_{n+h}-x_n)$ は一様分布するので、thm-ud-weyl の 1 ⇒ 3 により $\frac1{N-h}\sum_{n=1}^{N-h}e^{2\pi ik(x_{n+h}-x_n)}\to0$ であり、$\frac{N-h}{N}\to1$ なので絶対値の中も $0$ に近づく。よって
$$ \limsup_{N\to\infty}\Bigl|\frac1N\sum_{n=1}^Ne^{2\pi ikx_n}\Bigr|^2\le\frac1H $$
である。$H$ は任意なので左辺は $0$ であり、thm-ud-weyl の 3 ⇒ 1 により $(x_n)$ は一様分布する。$\square$

この定理を多項式の値の列に使うと、次の系が得られる。

多項式の値の一様分布

$p(x)=a_dx^d+\dots+a_1x+a_0$ を次数 $d\ge1$ の実係数多項式とし、最高次の係数 $a_d$ が無理数であるとする。このとき $(p(n))_{n\ge1}$ は 1 を法として一様分布する。

$d$ についての帰納法による。$d=1$ は thm-ud-linear である。$d\ge2$ とし、次数 $d-1$ では正しいとする。整数 $h\ge1$ について、$q_h(n):=p(n+h)-p(n)$ は $n$ の多項式で、二項展開から $a_d\bigl((n+h)^d-n^d\bigr)=a_d\,dh\,n^{d-1}+(\text{次数 }d-2\text{ 以下})$、$j< d$ の項 $a_j\bigl((n+h)^j-n^j\bigr)$ は次数 $j-1\le d-2$ 以下である。よって $q_h$ は次数 $d-1$ で、最高次の係数 $d\,h\,a_d$ は無理数である（$dh$ は正の整数）。帰納法の仮定により $(q_h(n))_{n\ge1}$ は一様分布し、thm-ud-difference により $(p(n))$ も一様分布する。$\square$

例

$n^2\sqrt2$ と $n^2/2$

$\sqrt2$ は無理数なので、cor-ud-polynomial により $(n^2\sqrt2)$ は 1 を法として一様分布する。最初の $20$ 万項では、小数部分が $[0,0.3)$ に入る割合は約 $0.302$ である。一方 $n^2/2$ の小数部分は、$n$ が偶数なら $0$、奇数なら $1/2$ で、2 つの値しかとらないので一様分布しない。係数がすべて有理数の多項式 $p$ では、係数の分母の最小公倍数を $D$ とすると、$p(n)$ の小数部分は $n$ を $D$ で割った余りだけで決まるので、同じ理由で一様分布しない。

周期関数の平均

$f$ を周期 $2\pi$ の連続関数、$\alpha$ を $\alpha/\pi$ が無理数である実数とする。このとき各実数 $x$ について
$$ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^Nf(x+n\alpha)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt $$
が成り立つ（Rud76 第 8 章演習 19、p. 200）。実際、$F(t):=f(2\pi t)$ は周期 $1$ の連続関数で、$x_n:=(x+n\alpha)/2\pi$ は $\alpha/2\pi$ が無理数なので thm-ud-linear により一様分布する。thm-ud-weyl の 2 から左辺は $\int_0^1F=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f$ に等しい。時間平均（点 $x$ を $\alpha$ ずつ回した値の平均）が空間平均（円周上の積分）に一致するという、エルゴード定理の簡単な例である。

2 の冪の最高位の数字

$2^n$ の最高位の数字が $d$（$1\le d\le9$）であることは、$\{n\log_{10}2\}\in[\log_{10}d,\log_{10}(d+1))$ と同値である。$\log_{10}2$ は無理数である（$\log_{10}2=r/q$ なら $2^q=10^r$ となり、右辺は $5$ で割り切れるが左辺は割り切れない）。よって thm-ud-linear により、$n\le N$ のうち $2^n$ の最高位が $d$ であるものの割合は $\log_{10}(d+1)-\log_{10}d=\log_{10}\bigl(1+\frac1d\bigr)$ に近づく。$d=1$ では約 $30.1\%$、$d=9$ では約 $4.6\%$ である。詳しくは常用対数と桁数と最高位の数字とBenfordの法則にある。

反例

各行は条件を 1 つだけ外す。1 行は thm-ud-linear、2・3 行は thm-ud-weyl、4 行は定義の後の注意（一様分布する列の小数部分は稠密）の逆、5 行は cor-ud-polynomial の条件である。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\theta$ が無理数	$x_n=n/2$	一様分布すること
3 で「$0$ でないすべての $h$」	$x_n=n/2$、$h=\pm1$ だけ確かめる	3 から一様分布が従うこと
2 で $f$ が連続	$x_n=n\sqrt2$、$f$ は点 $\{n\sqrt2\}$ とその整数ずらしで $1$、他で $0$	平均が $f$ の積分に近づくこと
一様分布（稠密に弱める）	$x_n=\log_{10}n$	区間に入る割合が長さに近づくこと
最高次の係数が無理数	$p(n)=n^2/2$	一様分布すること

反例の確認

表の各行は、外した条件以外の仮定を満たし、右の列の結論が破れる。

各行の確認を開く

$\{n/2\}$ は $0$ と $1/2$ しかとらず、$[0.1,0.4)$ に入る項はない（thm-ud-linear の有理数の場合）。
$h=\pm1$ では $\frac1N\sum_{n=1}^Ne^{\pm\pi in}=\frac1N\sum_{n=1}^N(-1)^n$ は絶対値が $1/N$ 以下で $0$ に近づくが、$h=2$ では $e^{2\pi in}=1$ なので平均は $1$ である。列は 1 行目と同じく一様分布しない。
$(n\sqrt2)$ は一様分布する（thm-ud-linear）。$f$ は周期 $1$ で、すべての $n$ で $f(x_n)=1$ なので平均は $1$ である。一方 $f$ が $1$ をとる点は可算個なので、$f$ の Lebesgue 積分は $0$ である（$f$ は至る所不連続で Riemann 積分は存在しない）。
$\{\log_{10}n\}$ は $[0,1]$ で稠密である（$\log_{10}n\to\infty$ かつ隣り合う差 $\log_{10}(1+1/n)\to0$ なので、各区間の整数ずらしに入る項がある）。$[0,1/2)$ に入るのは $10^m\le n<10^{m+1/2}$（$m\ge0$）となる $n$ である。各 $m$ についてその個数は $(\sqrt{10}-1)10^m$ との差が $1$ 以下なので、$N=10^K$ では個数は $(\sqrt{10}-1)(10^K-1)/9+O(K)$ で、割合は $(\sqrt{10}-1)/9\approx0.240$ に近づく。$N=\lfloor10^{K+1/2}\rfloor$ では $10^K\le n\le N$ の約 $10^{K+1/2}-10^K$ 個が加わり、割合は $(10-\sqrt{10})/9\approx0.760$ に近づく。2 つの部分列で極限が異なるので、割合は収束しない。
例「$n^2\sqrt2$ と $n^2/2$」のとおり、$\{n^2/2\}$ は 2 つの値しかとらない。

補足

確率分布としての見方

最初の $N$ 項の小数部分 $\{x_1\},\dots,\{x_N\}$ のそれぞれに確率 $1/N$ を与えた確率分布を考えると、thm-ud-weyl の 2 は、この分布での連続関数の期待値が、$[0,1)$ 上の一様分布（一様分布と指数分布の定義「一様分布」で区間を $[0,1]$ としたもの）での期待値 $\int_0^1f$ に近づくことを表している。すなわち、1 を法として一様分布する列とは、小数部分の経験分布が一様分布に近づく列である。区間 $[a,b)$ に入る割合の差 $A_N([a,b))/N-(b-a)$ がどれだけ速く $0$ に近づくかは列によって異なり、この記事では扱わない。一様分布でない測度に関する一様分布の例には、楕円曲線の Frobenius 角についての佐藤–Tate予想がある。