Michaelの定理(パラコンパクト空間)

1 ⇒ 2．局所有限な開細分は、それ自身 1 つで $\sigma$-局所有限である。
2 ⇒ 3．開被覆 $\mathcal A$ をとり、$\mathcal B=\bigcup_{n\ge1}\mathcal B_n$（各 $\mathcal B_n$ は局所有限）をその開細分とする。$V_n:=\bigcup_{U\in\mathcal B_n}U$ とおき、$n\ge1$ と $U\in\mathcal B_n$ について
$$ S_n(U):=U\setminus\bigcup_{i< n}V_i,\qquad\mathcal C:=\{S_n(U)\mid n\ge1,\ U\in\mathcal B_n\} $$
とおく。$S_n(U)\subset U$ なので $\mathcal C$ の各成員は $\mathcal A$ のある成員に含まれる。点 $x$ をとり、$x$ が $\mathcal B_N$ のある成員に属するような最小の $N$ と、$x\in U\in\mathcal B_N$ をとる。$i< N$ では $x\notin V_i$ なので $x\in S_N(U)$ であり、$\mathcal C$ は $X$ を覆う。局所有限性を示す。$n>N$ なら $S_n(W)\subset X\setminus V_N\subset X\setminus U$ なので、$U$ は $n>N$ の層の成員と交わらない。$n\le N$ については、$\mathcal B_n$ が局所有限なので、$x$ の近傍 $W_n$ で $\mathcal B_n$ の有限個の成員としか交わらないものがあり、$S_n(W)\subset W$ から $W_n$ は $\{S_n(W)\mid W\in\mathcal B_n\}$ の有限個の成員としか交わらない。よって近傍 $U\cap W_1\cap\cdots\cap W_N$ は $\mathcal C$ の有限個の成員としか交わらない。
3 ⇒ 4．開被覆 $\mathcal A$ をとる。正則性により、各点 $x$ と $x\in A\in\mathcal A$ に対し、$x$ の開近傍 $O$ で $\overline O\subset A$ となるものがある（$x$ と閉集合 $X\setminus A$ を交わらない開集合 $O\ni x$、$N\supset X\setminus A$ で分離すれば $\overline O\subset X\setminus N\subset A$）。そこで $\mathcal O$ を「閉包が $\mathcal A$ のある成員に含まれる開集合」の全体とすると、$\mathcal O$ は開被覆である。3 により $\mathcal O$ の局所有限な細分 $\mathcal C$ をとり、$\mathcal D:=\{\overline C\mid C\in\mathcal C\}$ とおく。$\mathcal D$ は $X$ を覆う閉集合の族で、局所有限な族の閉包の族なので局所有限である。$C\subset O\in\mathcal O$ なら $\overline C\subset\overline O$ は $\mathcal A$ のある成員に含まれるので、$\mathcal D$ は $\mathcal A$ の局所有限な閉細分である。
4 ⇒ 1．開被覆 $\mathcal A$ をとり、4 によりその局所有限な閉細分 $\mathcal B$ をとる。各点には $\mathcal B$ の有限個の成員としか交わらない開近傍があるので、そのような開集合の全体 $\mathcal W$ は開被覆である。4 により $\mathcal W$ の局所有限な閉細分 $\mathcal C$ をとる。$\mathcal C$ の各成員はある $W\in\mathcal W$ に含まれるので、$\mathcal B$ の有限個の成員としか交わらない。
$B\in\mathcal B$ について、$\mathcal C(B):=\{C\in\mathcal C\mid C\subset X\setminus B\}$ と
$$ E(B):=X\setminus\bigcup_{C\in\mathcal C(B)}C $$
をおく。$\mathcal C$ は局所有限な閉集合の族なので、その部分族の合併は閉集合であり、$E(B)$ は開集合である。$\mathcal C(B)$ の成員は $B$ と交わらないので $B\subset E(B)$ である。また $C\in\mathcal C$ が $E(B)$ と交われば $C\notin\mathcal C(B)$、すなわち $C$ は $B$ と交わる。各 $B$ に対し $B\subset F(B)$ となる $F(B)\in\mathcal A$ を選び、
$$ \mathcal E:=\{E(B)\cap F(B)\mid B\in\mathcal B\} $$
とおく。成員は開集合で $\mathcal A$ の成員に含まれ、$B\subset E(B)\cap F(B)$ なので $\mathcal E$ は $X$ を覆う。局所有限性を示す。点 $x$ の近傍 $N$ で $\mathcal C$ の有限個の成員 $C_1,\dots,C_k$ としか交わらないものをとる。$\mathcal C$ は $X$ を覆うので $N\subset C_1\cup\cdots\cup C_k$ である。$N$ が $E(B)\cap F(B)$ と交われば、ある $C_i$ が $E(B)$ と交わり、上の注意からその $C_i$ は $B$ と交わる。各 $C_i$ と交わる $B$ は有限個なので、$N$ と交わる $\mathcal E$ の成員は有限個である。よって $\mathcal E$ は $\mathcal A$ の局所有限な開細分であり、$X$ はパラコンパクトである。$\square$

1．高々可算な族 $\{U_1,U_2,\dots\}$ は 1 個の成員からなる族 $\{U_n\}$ の可算個の和で、有限な族は局所有限なので、$\sigma$-局所有限である。Lindelöf 空間では開被覆の可算な部分被覆がそのまま開細分になる。2．$\sigma$-離散な族は $\sigma$-局所有限である。どちらも thm-mich-main の 2 ⇒ 1 による。$\square$

距離空間は正則である（正則空間 の命題「距離空間は正則」）。距離空間の任意の開被覆は $\sigma$-離散な開細分をもつ（長田–Smirnovの距離化定理 の補題「距離空間の開被覆は $\sigma$-離散な開細分をもつ」。開被覆を整列して、各成員から「半径 $1/n$ の球が入る点のうち、前の成員に入らない点」の $1/(3n)$ 近傍を作る）。cor-mich-countable の 2 によりパラコンパクトである。$\square$

まず、クッション細分の添字をまとめ直せることを確かめる。$(V_\beta)_{\beta\in B}$ を開被覆 $(U_\alpha)_{\alpha\in A}$ の、$X$ を覆うクッション細分とし、$f\colon B\to A$ をその写像とする。$C_\alpha:=\overline{\bigcup_{f(\beta)=\alpha}V_\beta}$ とおく（$\alpha\notin f(B)$ なら $C_\alpha=\emptyset$）。任意の $A'\subset A$ について、$\bigcup_{f(\beta)\in A'}V_\beta\subset\bigcup_{\alpha\in A'}C_\alpha\subset\overline{\bigcup_{f(\beta)\in A'}V_\beta}$ なので
$$\overline{\bigcup_{\alpha\in A'}C_\alpha}=\overline{\bigcup_{f(\beta)\in A'}V_\beta}\subset\bigcup_{f(\beta)\in A'}U_{f(\beta)}\subset\bigcup_{\alpha\in A'}U_\alpha$$
である。したがって $(C_\alpha)_{\alpha\in A}$ は、$(U_\alpha)$ と同じ添字をもつ閉集合の被覆であり、恒等写像を $f$ として $(U_\alpha)$ のクッション細分である。以後、条件 2 の下では、任意の開被覆 $(U_\alpha)_{\alpha\in A}$ に対しこの形の閉被覆 $(C_\alpha)_{\alpha\in A}$ がとれる。
1 ⇒ 2：$X$ は正則なので（パラコンパクト空間 の命題「正則性と正規性」）、開被覆 $(U_\alpha)_{\alpha\in A}$ に対し パラコンパクト空間 の補題「閉包を制御する細分」により局所有限な開被覆 $(W_\beta)_{\beta\in B}$ と写像 $f\colon B\to A$ で $\overline{W_\beta}\subset U_{f(\beta)}$ となるものがとれる。任意の $B'\subset B$ について、部分族 $(W_\beta)_{\beta\in B'}$ も局所有限なので、局所有限な族の閉包の等式（開被覆 の命題「局所有限な族の閉包」）により $\overline{\bigcup_{\beta\in B'}W_\beta}=\bigcup_{\beta\in B'}\overline{W_\beta}\subset\bigcup_{\beta\in B'}U_{f(\beta)}$ である。よって $(W_\beta)$ は $X$ を覆うクッション細分である。
2 ⇒ 1：まず $X$ が正規であることを示す。交わらない閉集合 $A_0,B_0$ に対し、開被覆 $\{X\setminus A_0,X\setminus B_0\}$ に対応する閉被覆 $\{F_1,F_2\}$ を上のようにとると、$F_1\subset X\setminus A_0$、$F_2\subset X\setminus B_0$ である。$X\setminus F_1$ と $X\setminus F_2$ はそれぞれ $A_0$、$B_0$ を含む開集合であり、$F_1\cup F_2=X$ なので交わらない。よって $X$ は正規であり、$T_1$ 性により一点集合が閉なので、$X$ は Hausdorff かつ正則である。
次に、任意の開被覆 $(U_\alpha)_{\alpha\in A}$ が $\sigma$-離散な開細分をもつことを示す。$A$ を整列する。$(U_\alpha)$ に対応する閉被覆を $(C_{\alpha,1})_{\alpha\in A}$ とする。帰納的に、閉被覆 $(C_{\alpha,n})_{\alpha\in A}$ が得られたら
$$U_{\alpha,n+1}:=U_\alpha\setminus\overline{\bigcup_{\beta<\alpha}C_{\beta,n}}$$
とおく。$x\in X$ に対し $x\in U_\alpha$ となる最小の $\alpha$ をとると、クッション条件により $\overline{\bigcup_{\beta<\alpha}C_{\beta,n}}\subset\bigcup_{\beta<\alpha}U_\beta$ であり、この合併は $x$ を含まないので $x\in U_{\alpha,n+1}$ である。したがって $(U_{\alpha,n+1})_{\alpha\in A}$ は開被覆であり、これに対応する閉被覆を $(C_{\alpha,n+1})_{\alpha\in A}$ とする。$U_{\alpha,n+1}\subset U_\alpha$ なので、これは $(U_\alpha)$ のクッション細分でもある。こうして得られる閉被覆の列は次の二式を満たす。
$$\overline{\bigcup_{\beta<\alpha}C_{\beta,n}}\cap C_{\alpha,n+1}=\emptyset,\qquad C_{\alpha,n}\cap\overline{\bigcup_{\beta>\alpha}C_{\beta,n+1}}=\emptyset.$$
前者は $C_{\alpha,n+1}\subset U_{\alpha,n+1}$ による。後者は、クッション条件により $\overline{\bigcup_{\beta>\alpha}C_{\beta,n+1}}\subset\bigcup_{\beta>\alpha}U_{\beta,n+1}$ であり、$\beta>\alpha$ のとき $U_{\beta,n+1}$ は $\overline{\bigcup_{\gamma<\beta}C_{\gamma,n}}\supset C_{\alpha,n}$ と交わらないことによる。
各 $n$ と $\alpha$ に対し
$$V_{\alpha,n}:=X\setminus\overline{\bigcup_{\beta\neq\alpha}C_{\beta,n}}$$
とおく。これは開集合である。$n$ を固定すると、$\alpha\neq\alpha'$ のとき $V_{\alpha,n}\cap V_{\alpha',n}$ はどの $C_{\beta,n}$ とも交わらないが、$(C_{\beta,n})_\beta$ は被覆なので $V_{\alpha,n}\cap V_{\alpha',n}=\emptyset$ である。同じ理由で $V_{\alpha,n}\subset C_{\alpha,n}\subset U_\alpha$ である。全層を合わせた族 $(V_{\alpha,n})_{\alpha\in A,\,n\geq1}$ が $X$ を覆うことを示す。$x\in X$ に対し $\alpha(n):=\min\{\alpha\mid x\in C_{\alpha,n}\}$ とおき、$\alpha_*:=\min_n\alpha(n)$ が $n$ で達成されたとする（$\alpha(n)=\alpha_*$）。$x\in C_{\alpha_*,n}$ と後の式から、$x$ は $\overline{\bigcup_{\beta>\alpha_*}C_{\beta,n+1}}$ に属さない。また $\gamma:=\alpha(n+2)\geq\alpha_*$ について $x\in C_{\gamma,n+2}$ なので、前の式（$n+1$ に対するもの）から $x$ は $\overline{\bigcup_{\beta<\gamma}C_{\beta,n+1}}\supset\overline{\bigcup_{\beta<\alpha_*}C_{\beta,n+1}}$ に属さない。二つの集合の合併の閉包は閉包の合併なので、$x\notin\overline{\bigcup_{\beta\neq\alpha_*}C_{\beta,n+1}}$、すなわち $x\in V_{\alpha_*,n+1}$ である。
開被覆 $(V_{\alpha,n})_{\alpha,n}$ に対応する閉被覆を $(D_{\alpha,n})_{\alpha,n}$ とする。クッション条件を添字の部分集合 $A\times\{n\}$ に適用すると
$$H_n:=\overline{\bigcup_{\alpha\in A}D_{\alpha,n}}\subset\bigcup_{\alpha\in A}V_{\alpha,n}$$
である。正規性により、開集合 $W_n$ で $H_n\subset W_n\subset\overline{W_n}\subset\bigcup_\alpha V_{\alpha,n}$ となるものをとる（$H_n$ と閉集合 $X\setminus\bigcup_\alpha V_{\alpha,n}$ を分離する）。各 $n$ について族 $(W_n\cap V_{\alpha,n})_{\alpha\in A}$ は離散である。実際、点 $y\notin\overline{W_n}$ に対しては $X\setminus\overline{W_n}$ がこの族のどの成員とも交わらない近傍であり、点 $y\in\overline{W_n}$ に対しては $y$ を含むただ一つの $V_{\alpha,n}$ が、$W_n\cap V_{\alpha,n}$ 以外の成員と交わらない開近傍である。また $D_{\alpha,n}\subset H_n\cap V_{\alpha,n}\subset W_n\cap V_{\alpha,n}$ であり $(D_{\alpha,n})$ は $X$ を覆うので、$(W_n\cap V_{\alpha,n})_{\alpha,n}$ は $X$ を覆う。各成員は $V_{\alpha,n}\subset U_\alpha$ に含まれる開集合である。こうして $(U_\alpha)$ の $\sigma$-離散な開細分が得られた。
離散な族は局所有限なので、この開細分は $\sigma$-局所有限である。$X$ は正則なので、thm-mich-main の 2 ⇒ 1 により $X$ はパラコンパクトである。$\square$

$X$ をパラコンパクトな正則空間とする。$X$ は正規であり（パラコンパクト空間 の命題「正則性と正規性」の 2）、thm-mich-cushioned の証明の 1 ⇒ 2 の部分は正則性しか用いていないので、任意の開被覆は $X$ を覆うクッション細分をもつ。同じ証明の 2 ⇒ 1 の部分のうち $\sigma$-離散な開細分を構成する段階は、正規性と、任意の開被覆が $X$ を覆うクッション細分をもつことだけを用いている（$T_1$ 性は Hausdorff 性と正則性を導くためにのみ使った）。よって主張が従う。$\square$