Hochschildホモロジー

要点：どの場合も、掛ける成分の対が離れていれば順序を入れ替えても同じであり、隣り合っていれば $A$ の結合律か $M$ の両側加群の結合律に帰着する。

$C_0=M$ で $b\colon C_1\to C_0$ は $m\otimes a\mapsto ma-am$ なので、その像は $[A,M]$ であり $HH_0=M/[A,M]$ である。$A$ が可換なら $[A,A]=0$ である。$\square$

bar 複体は分解。$k$ 線形写像 $h\colon\beta_{n}\to\beta_{n+1}$、$h(x):=1\otimes x$ と $h_{-1}\colon A\to\beta_0$、$a\mapsto1\otimes a$ をとる。$d'_0(1\otimes x)=x$、$i\ge1$ で $d'_i(1\otimes x)=1\otimes d'_{i-1}x$ だから
$$ b'h+hb'=\mathrm{id}_{\beta_n}\ (n\ge1),\qquad b'h+h_{-1}\mu=\mathrm{id}_{\beta_0},\qquad\mu h_{-1}=\mathrm{id}_A $$
である。恒等写像が $0$ と $k$ 加群としてホモトピックなので、$\cdots\to\beta_1\to\beta_0\xrightarrow{\mu}A\to0$ は完全である。
各項は射影的。$\beta_n\cong A^e\otimes A^{\otimes n}$（$a_0\otimes x\otimes a_{n+1}\leftrightarrow(a_0\otimes a_{n+1})\otimes x$）は左 $A^e$ 加群の同型である。$A$ が射影的 $k$ 加群なら、自由 $k$ 加群の直和因子どうしのテンソル積は自由加群の直和因子なので $A^{\otimes n}$ も射影的であり、$A^e\otimes A^{\otimes n}$ は自由 $A^e$ 加群の直和因子、すなわち射影的 $A^e$ 加群である。よって $\beta_\bullet\to A$ は左 $A^e$ 加群 $A$ の射影分解であり、$\operatorname{Tor}^{A^e}_n(M,A)=H_n(M\otimes_{A^e}\beta_\bullet)$ である（Tor関手 の定義）。
Hochschild 複体との比較。$\Phi(m\otimes(a_0\otimes x\otimes a_{n+1})):=a_{n+1}ma_0\otimes x$ は $M\otimes_{A^e}\beta_n\cong M\otimes A^{\otimes n}$ を与える（逆写像は $m\otimes x\mapsto m\otimes(1\otimes x\otimes1)$）。$\Phi$ が $\otimes_{A^e}$ と両立することは $m\cdot(a\otimes b)=bma$ から直ちに分かる。$\Phi$ のもとで $\mathrm{id}\otimes d'_0$ は $a_{n+1}ma_0a_1\otimes\cdots$ を、$\mathrm{id}\otimes d'_n$ は $a_na_{n+1}ma_0\otimes\cdots$ を与えるので、それぞれ Hochschild 複体の $d_0$、$d_n$ に対応し、$0< i< n$ の $d'_i$ は $d_i$ に対応する。よって $M\otimes_{A^e}\beta_\bullet\cong C_\bullet(A,M)$ は鎖複体の同型であり、主張が従う。自然性は構成から明らかである。$\square$

$A$ が可換なので $b(a\otimes c)=ac-ca=0$ であり、$C_1=A\otimes A$ のすべての元が輪体である。よって $HH_1(A)=(A\otimes A)/\operatorname{im}b$ で、$\operatorname{im}b$ は
$$ b(a\otimes c\otimes e)=ac\otimes e-a\otimes ce+ea\otimes c $$
で生成される。$A$ の可換性から $b(a'a\otimes c\otimes e)=a'\,b(a\otimes c\otimes e)$（$C_1$ の第 1 成分への積）なので、$\operatorname{im}b$ は $A$ 部分加群であり、$HH_1(A)$ は $A$ 加群である。
$HH_1\to\Omega$。$k$ 双線形写像 $(a,c)\mapsto a\,dc$ から $\varphi\colon A\otimes A\to\Omega_{A/k}$ が定まり、Leibniz 則 $d(ce)=c\,de+e\,dc$ により
$$ \varphi\bigl(b(a\otimes c\otimes e)\bigr)=ac\,de-a(c\,de+e\,dc)+ea\,dc=0 $$
である。よって $\varphi$ は $A$ 線形写像 $\bar\varphi\colon HH_1(A)\to\Omega_{A/k}$ を誘導する。
$\Omega\to HH_1$。$D\colon A\to HH_1(A)$、$D(c):=[1\otimes c]$ が $k$ 導分であることを示す。$k$ 線形性は明らかである。$b(1\otimes c\otimes e)=c\otimes e-1\otimes ce+e\otimes c$ から $[1\otimes ce]=[c\otimes e]+[e\otimes c]=c\cdot D(e)+e\cdot D(c)$ であり、Leibniz 則が成り立つ。$b(1\otimes1\otimes1)=1\otimes1$ から $D(1)=0$、したがって $D(\lambda)=\lambda D(1)=0$（$\lambda\in k$）である。普遍性により、$A$ 線形写像 $\psi\colon\Omega_{A/k}\to HH_1(A)$ で $\psi(dc)=[1\otimes c]$ となるものがただ 1 つあり、$\psi(a\,dc)=[a\otimes c]$ である。
$\bar\varphi\psi(a\,dc)=a\,dc$ で $\Omega_{A/k}$ は $a\,dc$ の形の元で生成されるので $\bar\varphi\psi=\mathrm{id}$、$\psi\bar\varphi[a\otimes c]=\psi(a\,dc)=[a\otimes c]$ なので $\psi\bar\varphi=\mathrm{id}$ である。$\square$

$A^e=k[x]\otimes k[x]\cong k[x,y]$（$x\otimes1\mapsto x$、$1\otimes x\mapsto y$）であり、$A$ は $k$ 上自由なので thm-hoch-tor が使える。次の列が左 $A^e$ 加群 $A$ の自由分解であることを示す。
$$ 0\to k[x,y]\xrightarrow{\ \cdot(x-y)\ }k[x,y]\xrightarrow{\ \mu\ }k[x]\to0,\qquad\mu(f)(x):=f(x,x) $$
$x-y$ は $x$ について最高次の係数が $1$ なので、$f\ne0$ なら $(x-y)f\ne0$ であり、左の写像は単射である。$\mu$ は全射で $\mu((x-y)f)=0$ である。逆に $\mu(f)=0$ とする。$x-y$ で割る（$(k[y])[x]$ での $x$ についての割り算）と $f=(x-y)g+r(y)$ となり、$x=y$ を代入すると $0=r(y)$ なので $f=(x-y)g$ である。よって完全である。
$A\otimes_{A^e}-$ を施すと、$x-y$ は $A$ に $x-x=0$ で作用するので、複体 $0\to A\xrightarrow{0}A\to0$（次数 $1,0$）を得る。そのホモロジーは $HH_0=HH_1=A$、$HH_n=0$（$n\ge2$）である。$HH_1\cong\Omega_{A/k}$ は thm-hoch-kahler による。$\square$

$A^e\cong k[x,y]/(x^2,y^2)$（$x=\varepsilon\otimes1$、$y=1\otimes\varepsilon$）は $1,x,y,xy$ を基底とする自由 $k$ 加群である。$u:=x-y$、$v:=x+y$ とおくと、次の周期的な列が左 $A^e$ 加群 $A$ の自由分解になる。
$$ \cdots\xrightarrow{\ v\ }A^e\xrightarrow{\ u\ }A^e\xrightarrow{\ v\ }A^e\xrightarrow{\ u\ }A^e\xrightarrow{\ \mu\ }A\to0 $$
完全性は基底での計算で確かめられる。$f=\alpha+\beta x+\gamma y+\delta xy$（$\alpha,\beta,\gamma,\delta\in k$）について
$$ uf=\alpha(x-y)+(\gamma-\beta)xy,\qquad vf=\alpha(x+y)+(\beta+\gamma)xy,\qquad\mu(f)=\alpha+(\beta+\gamma)\varepsilon $$
である。したがって $\ker\mu=\{\alpha=0,\ \gamma=-\beta\}=k(x-y)+kxy=\operatorname{im}u$、$\ker u=\{\alpha=0,\ \gamma=\beta\}=k(x+y)+kxy=\operatorname{im}v$、$\ker v=\{\alpha=0,\ \gamma=-\beta\}=\operatorname{im}u$ である。
$A\otimes_{A^e}-$ を施すと、$x,y$ はどちらも $\varepsilon$ の積として作用するので、$u$ は $0$、$v$ は $2\varepsilon$ 倍として作用し、複体
$$ \cdots\xrightarrow{\ 2\varepsilon\ }A\xrightarrow{\ 0\ }A\xrightarrow{\ 2\varepsilon\ }A\xrightarrow{\ 0\ }A\to0 $$
（右端が次数 $0$）を得る。次数 $0$ では $A$、奇数次では $\ker0/\operatorname{im}(2\varepsilon)=A/2\varepsilon A$、$2$ 以上の偶数次では $\ker(2\varepsilon)/\operatorname{im}0$ である。$2$ が可逆なら $A/2\varepsilon A=A/\varepsilon A\cong k$、$\{a\mid\varepsilon a=0\}=\varepsilon A\cong k$ である。$\square$