局所弧状連結空間
概要
局所弧状連結空間（locally path-connected space）とは、各点 $x$ と $x$ を含む任意の開集合 $U$ に対し、$x$ を含み $U$ に含まれる弧状連結な開集合がとれる位相空間のことである。これは、任意の開集合の弧状連結成分が開集合になることと同値であり、このとき開集合の連結成分と弧状連結成分は一致する。商写像・開写像による像や被覆空間の上下で保たれ、直積では有限個を除く因子が弧状連結のときに限り保たれる。$\mathbb{R}^n$ の開集合・多様体・CW複体はこの性質をもち、被覆空間の理論で写像の持ち上げの存在を基本群で判定するための標準的な仮定である。
局所弧状連結空間は、どの点のまわりにも、道でつながった小さな開近傍がいくらでもある空間である。弧状連結空間が「空間全体が道でつながっている」という大域的な条件であるのに対し、局所弧状連結性は「各点のごく近くが道でつながっている」という局所的な条件で、二つの間にはどちら向きの含意もない。$\mathbb{R}^n$ の開集合、多様体、CW複体はどれも局所弧状連結であり、被覆空間の理論では底空間にこの条件を課すのが標準である。
局所弧状連結な空間では、開集合の弧状連結成分が開集合になり、連結成分と弧状連結成分が一致する。この記事では、この性質を含む同値な言い換え（thm-lpc-equivalent）、商空間・開写像・被覆写像・直積での振る舞い（thm-lpc-quotient、cor-lpc-covering、thm-lpc-product）を証明し、被覆空間の理論でこの条件が欠かせないことを、持ち上げの判定法が成り立たなくなる例（ex-lpc-warsaw）で示す。
定義
ここで「弧状連結」は弧状連結空間の記事の定義「道と弧状連結空間」の意味であり、$V$ の任意の二点が $V$ の中の道（道(位相)）で結べることをいう。この定義は弧状連結空間の記事の定義「局所弧状連結性」と同じもので、Mun00 §25（p. 161）、Hat02 §1.3（pp. 61–62）とも一致する。空空間は条件を空虚に満たす。
$V$ を開集合とせず「弧状連結な近傍」とする流儀や、さらに弱く「$x$ の近傍 $N\subset U$ で、$N$ の各点が $U$ の中の道で $x$ と結べるもの」を要求する流儀がある。空間のすべての点で課す限り、これらはどれも上の定義と同値である（thm-lpc-equivalent）。一点ごとの条件としては一致しないことがあり、連結性についての同種の例が Mun00 §25 演習 7（p. 162）の無限ほうきである。
直感
$\mathbb{R}^n$ の点のまわりの小さな球は、どの二点も線分で結べる。局所弧状連結性は、この「小さく見れば道でつながっている」性質だけを抜き出したものである。条件が破れる典型は、位相幾何学者の正弦曲線のように、ある点に別の部分が無限に振動しながら近づき、どれほど小さい近傍をとっても、近くに見える点へ近傍の中の道では行けない状況である。被覆空間の理論では、写像を「道に沿って持ち上げて」定義するので、近くの点へ近くの道で行けることが、持ち上げた写像の連続性を保証する。
例
- ノルム空間（たとえば $\mathbb{R}^n$）の凸集合 $C$ と、その相対的な開集合。点 $x\in C$ のまわりの開球と $C$ の共通部分は凸なので、線分で弧状連結であり、$C$ の開集合の基本近傍系をなす。
- 多様体。各点は開球と同相な開近傍をもち、その中の小さい球が弧状連結な開近傍の基本近傍系をなす。
- CW複体。各点は可縮な開近傍をいくらでも小さくとれる（Hat02 Appendix, Proposition A.4、p. 522）。可縮な空間は弧状連結である（弧状連結空間の記事の注意「他の連結条件との関係」）。
- 有限集合上の任意の位相空間。点 $x$ を含む最小の開集合 $U_x$ は弧状連結であり（道(位相)の記事の系「有限空間の道」）、$x$ を含むどの開集合も $U_x$ を含む。
- 長い直線。各点が実数の開区間と同相な開近傍をもつ（長い直線の記事の命題「有界な区間と局所モデル」）。
$C_n$ を中心 $(1/n,0)$、半径 $1/n$ の円周とし、$\mathbb{H}:=\bigcup_{n\ge1}C_n\subset\mathbb{R}^2$ とおく（ハワイの耳飾り）。$\mathbb{H}$ は局所弧状連結である。
原点 $0$ 以外の点 $z\in C_n$ では、$z$ と $0$ の距離より小さい半径 $r$ について、$z$ の $r$ 近傍と $\mathbb{H}$ の共通部分は $r$ を十分小さくとれば $C_n$ の開いた弧になる（$z$ は他の円周 $C_m$ から正の距離にあり、$z$ の近くに来る $C_m$ は有限個しかない）。原点では、$0$ を中心とする半径 $r$ の開円板 $D_r$ について、各 $C_n\cap D_r$ は、$r>2/n$ なら $C_n$ 全体、$r\le2/n$ なら $0$ を含む $C_n$ の開いた弧である（$C_n$ 上の点の $0$ からの距離は $0$ から $2/n$ まで単調に増えて減る）。どちらも $0$ を含む弧状連結な集合なので、その合併 $D_r\cap\mathbb{H}$ は弧状連結な開集合であり、$r\to0$ で $0$ の基本近傍系をなす。
一方、$\mathbb{H}$ は半局所単連結でない（半局所単連結空間の記事の命題「Hawaiianイヤリングは半局所単連結でない」）。局所弧状連結性は、ループが小さく縮むことまでは保証しない。
- 位相幾何学者の正弦曲線 $S$：連結だが弧状連結でなく、局所弧状連結でもない（同記事の系「局所弧状連結でない」）。
- くし空間：弧状連結だが局所弧状連結でない（弧状連結空間の記事の注意「大域と局所の違い」）。
- 収束列 $\{0\}\cup\{1/n\mid n\ge1\}\subset\mathbb{R}$：道は定値に限られ、点 $0$ を含む弧状連結な開集合がない（同じ注意）。
- 順序位相を入れた正方形：局所連結空間だが局所弧状連結でない（局所連結空間の記事の命題「局所連結だが局所弧状連結でない空間」）。
- ワルシャワ円 $W$：弧状連結だが局所弧状連結でない（ex-lpc-warsaw）。
同値な言い換え
$X$ の部分集合 $U$ に相対位相を入れた空間の弧状連結成分を、$U$ の弧状連結成分という。$U$ の二点が同じ弧状連結成分に属するのは、$U$ の中の道で結べるときである（弧状連結空間の記事の定義「弧状連結成分」）。
1 $\Rightarrow$ 2：弧状連結な開集合全体を $\mathcal{V}$ とする。開集合 $U$ と $x\in U$ に対し、1 により $V\in\mathcal{V}$ で $x\in V\subset U$ となるものがあるので、$U$ は $\mathcal{V}$ の成員の和である。よって $\mathcal{V}$ は開基である。
2 $\Rightarrow$ 4：$x\in U$ に対し、開基の成員 $V$ で $x\in V\subset U$ となるものをとり $N:=V$ とする。$V$ は弧状連結なので、$V$ の各点は $V\subset U$ の中の道で $x$ と結べる。
4 $\Rightarrow$ 3：$U$ を開集合、$C$ を $U$ の弧状連結成分とし、$x\in C$ とする。4 の近傍 $N\subset U$ をとると、$N$ の各点は $U$ の中の道で $x$ と結べるので $C$ に属し、$N\subset C$ である。$N$ は $x$ の近傍なので、$x$ を含む開集合 $O$ で $O\subset N\subset C$ となるものがある。$C$ の各点についてこれが言えるので、$C$ は開集合である。
3 $\Rightarrow$ 1：$x$ を含む開集合 $U$ に対し、$U$ の弧状連結成分で $x$ を含むもの $C$ は、3 により開集合であり、弧状連結で $x\in C\subset U$ を満たす。$\square$
1 と 3 の同値は Mun00 §25 Theorem 25.4（p. 161）にある。条件 4 は点ごとの弱い形で、条件を空間のすべての点で課せば、近傍 $N$ を開にも弧状連結にもとらなくてよいことを示している。
$X$ を局所弧状連結空間とする。
- $X$ の開集合 $U$ の連結成分と弧状連結成分は一致し、どれも $X$ の開集合である。
- $X$ の連結な開集合は弧状連結である。とくに、空でない連結な局所弧状連結空間は弧状連結である。
局所弧状連結空間の開集合は局所弧状連結である（弧状連結空間の記事の命題「局所弧状連結性を保つ構成」）。$U$ に同じ記事の定理「連結性からの回復」を当てると、$U$ の連結成分と弧状連結成分は一致する。それらが $X$ の開集合であることは thm-lpc-equivalent の 3 による。2 は 1 から直ちに従う。$\square$
2 は Mun00 §25 演習 4（p. 162）の主張である。$\mathbb{R}^n$ の連結な開集合（領域）が弧状連結であり、さらに折れ線の道で結べること（道(位相)の記事の定理「折れ線による近似」）は、この系の典型的な使い方である。
構成による保存
連続写像による像は局所弧状連結性を保たない（弧状連結空間の記事の注意「反例：局所弧状連結性が保存されない操作」）が、商写像と開写像は保つ。
1：thm-lpc-equivalent の 3 を確かめる。$V\subset Y$ を開集合、$C$ を $V$ の弧状連結成分とし、$q^{-1}(C)$ が開であることを示す。$x\in q^{-1}(C)$ をとり、開集合 $q^{-1}(V)$ の弧状連結成分で $x$ を含むものを $D$ とする。$X$ は局所弧状連結なので、thm-lpc-equivalent の 3 により $D$ は開集合である。$q(D)$ は弧状連結な $D$ の連続像なので弧状連結であり（弧状連結空間の記事の命題「連続像」）、$V$ に含まれ、$q(x)\in C$ を含む。$V$ の弧状連結成分 $C$ と交わる $V$ の弧状連結な部分集合は $C$ に含まれるので、$q(D)\subset C$、すなわち $D\subset q^{-1}(C)$ である。よって $q^{-1}(C)$ は開集合の和として開であり、$q$ は商写像なので $C$ は $Y$ の開集合である。
2：連続な全射の開写像は商写像である。実際、$q^{-1}(V)$ が開なら、全射性から $V=f(f^{-1}(V))$ であり、$f$ は開写像なので $V$ は開である。逆は連続性による。よって 1 に帰着する。$\square$
1 から、局所弧状連結な空間を貼り合わせたり同一視したりして得られる商空間は局所弧状連結である。たとえば $\mathbb{R}^n$ の閉円板の境界を一点につぶした球面、球面の対蹠点を同一視した実射影空間、CW複体を部分複体でつぶした空間などである。
$p\colon E\to B$ を被覆写像とする（被覆空間の記事の定義「被覆写像と被覆空間」。全射を仮定する）。$E$ が局所弧状連結であることと、$B$ が局所弧状連結であることは同値である。
$E$ が局所弧状連結とする。被覆写像は連続な全射で開写像なので（被覆空間の記事の命題「被覆写像の基本性質」の 1）、thm-lpc-quotient の 2 により $B$ は局所弧状連結である。
$B$ が局所弧状連結とする。$e\in E$ と $e$ を含む開集合 $O$ をとる。$p(e)$ の均一被覆近傍 $W$ と、その上のシートで $e$ を含むもの $\tilde W$ をとると、$p|_{\tilde W}\colon\tilde W\to W$ は同相写像である。$O\cap\tilde W$ は $\tilde W$ の開集合なので、$p(O\cap\tilde W)$ は $W$ の開集合、したがって $B$ の開集合で、$p(e)$ を含む。$B$ は局所弧状連結なので、弧状連結な開集合 $V$ で $p(e)\in V\subset p(O\cap\tilde W)$ となるものがある。$\tilde V:=(p|_{\tilde W})^{-1}(V)$ は $\tilde W$ の開集合なので $E$ の開集合であり、同相写像による弧状連結な $V$ の像なので弧状連結で、$e\in\tilde V\subset O\cap\tilde W\subset O$ を満たす。よって $E$ は局所弧状連結である。$\square$
必要性：各射影 $\mathrm{pr}_j\colon X\to X_j$ は連続な全射（各因子が空でないので）で、開写像である（基本開集合 $\prod_iU_i$ の像は $U_j$）。thm-lpc-quotient の 2 により $X_j$ は局所弧状連結である。次に、点 $x\in X$ をとり、$x$ を含む弧状連結な開集合 $V$ をとる（$X$ 自身に定義を当てる）。$V$ は $x$ を含む基本開集合 $\prod_iU_i$ を含み、ある有限集合 $F\subset\Lambda$ の外では $U_i=X_i$ である。$i\notin F$ について $\mathrm{pr}_i(V)\supset\mathrm{pr}_i\bigl(\prod_jU_j\bigr)=X_i$ なので $\mathrm{pr}_i(V)=X_i$ であり、これは弧状連結な $V$ の連続像なので弧状連結である。よって $F$ の外の $X_i$ はすべて弧状連結である。
十分性：弧状連結でない $X_i$ の添字の全体 $F_0$ は有限である。$x\in X$ と $x$ を含む開集合 $W$ をとり、$x$ を含む基本開集合 $\prod_iU_i\subset W$ を、有限集合 $F_1$ の外では $U_i=X_i$ となるようにとる。$F:=F_0\cup F_1$ とおく。$i\in F$ については、$X_i$ が局所弧状連結なので弧状連結な開集合 $V_i$ で $x_i\in V_i\subset U_i$ となるものをとり、$i\notin F$ については $V_i:=X_i$ とおく。$V:=\prod_iV_i$ は有限個の因子だけが $X_i$ と異なるので開集合であり、$x\in V\subset\prod_iU_i\subset W$ を満たす。各 $V_i$ は弧状連結なので、$V$ は弧状連結である（弧状連結空間の記事の命題「直積」）。$\square$
被覆空間の理論での役割
被覆空間の理論では、底空間 $B$ を弧状連結かつ局所弧状連結と仮定することが多い。この仮定の下では、被覆空間を弧状連結な部分に分けて調べてよい。
$B$ を弧状連結かつ局所弧状連結な空間、$p\colon E\to B$ を被覆写像とし、$E_0$ を $E$ の弧状連結成分とする。このとき $E_0$ は $E$ の開かつ閉な集合であり、制限 $p|_{E_0}\colon E_0\to B$ は被覆写像である（とくに全射である）。
cor-lpc-covering により $E$ は局所弧状連結なので、thm-lpc-equivalent の 3（$U=E$）により $E$ の弧状連結成分はどれも開集合である。$E_0$ の補集合は他の弧状連結成分の和なので開であり、$E_0$ は閉でもある。
各 $b\in B$ について、$b$ の均一被覆近傍 $W$ をとり、局所弧状連結性により弧状連結な開集合 $U_b$ で $b\in U_b\subset W$ となるものをとる。均一被覆近傍の開部分集合は均一に被覆される（被覆空間の記事の注意「定義の流儀」）ので、$U_b$ も均一に被覆され、その上の各シートは $U_b$ と同相なので弧状連結である。したがって $U_b$ 上の各シートは、$E_0$ に含まれるか $E_0$ と交わらないかのどちらかである。
全射性：被覆写像は開写像で $E_0$ は開なので、$p(E_0)$ は $B$ の開集合である。$b$ が $p(E_0)$ の閉包に属するとすると、$U_b$ は $p(E_0)$ の点 $p(e)$（$e\in E_0$）を含む。$e$ は $U_b$ 上のあるシート $\tilde V$ に属し、$\tilde V$ は $E_0$ と交わるので $\tilde V\subset E_0$ であり、$b\in U_b=p(\tilde V)\subset p(E_0)$ である。よって $p(E_0)$ は閉でもある。$B$ は連結で $p(E_0)$ は空でないので、$p(E_0)=B$ である。
被覆写像であること：$b\in B$ について $(p|_{E_0})^{-1}(U_b)=E_0\cap p^{-1}(U_b)$ は、$U_b$ 上のシートのうち $E_0$ に含まれるものの和である。これらは $E_0$ の互いに交わらない開集合で、それぞれ $p$ により $U_b$ の上へ同相に写る。よって $U_b$ は $p|_{E_0}$ について均一に被覆される。$\square$
この命題は Mun00 §80 Lemma 80.1（p. 484）にある。局所弧状連結な空間では連結成分と弧状連結成分が一致する（cor-lpc-components）ので、弧状連結な被覆空間と連結な被覆空間は同じものになる。
被覆空間の理論で局所弧状連結性が最も本質的に効くのは、写像の持ち上げの存在を基本群で判定する定理（被覆変換群の記事の補題「持ち上げの判定法」）である。$Y$ が弧状連結かつ局所弧状連結で、$f\colon(Y,y_0)\to(B,b_0)$ が連続写像なら、$f$ が被覆 $p\colon(E,e_0)\to(B,b_0)$ に沿って持ち上がることと $f_*\pi_1(Y,y_0)\subset p_*\pi_1(E,e_0)$ とが同値である。持ち上げは「$y_0$ から $y$ への道の像を持ち上げた終点」で定義され、局所弧状連結性は、$y$ の近くの点へ $y$ の近くの道で行けることを通じて、この写像の連続性を保証する。次の例は、この仮定を外すと判定法が成り立たないことを示す。
位相幾何学者の正弦曲線 $S=G\cup I$（$G$ は $y=\sin(1/x)$、$0< x\le1$ のグラフ、$I=\{0\}\times[-1,1]$）の二点 $(0,-1)$ と $(1,\sin1)$ を、折れ線 $L$：$(0,-1)\to(0,-2)\to(2,-2)\to(2,\sin1)\to(1,\sin1)$ で結んだ空間 $W:=S\cup L$ をワルシャワ円という（同記事の注意「ワルシャワ円との関係」）。$L$ と $S$ は二つの端点でしか交わらない。
- $W$ は弧状連結で、基本群は自明である（同記事の命題「ワルシャワ円のホモトピー群と可縮性」の 1）。
- $W$ は局所弧状連結でない。実際、$x:=(0,0)$ を中心とする半径 $1/2$ の開円板を $D$ とし、$U:=W\cap D$ とおく。$L$ の点と $x$ の距離は $1$ 以上なので $U\subset S$ である。$S$ の中の道で $I$ の点から出発するものは $I$ から出ない（同記事の定理「弧状連結でない」）ので、$U$ の弧状連結成分で $x$ を含むものは $I\cap D=\{0\}\times(-1/2,1/2)$ である。$G$ の点 $(1/(k\pi),0)$ は $k\to\infty$ で $x$ に近づくので、この集合は $W$ の開集合でない。thm-lpc-equivalent の 3 により、$W$ は局所弧状連結でない。
- 同記事の命題「ワルシャワ円のホモトピー群と可縮性」の証明の段 4 で、$I$ を一点につぶして $W$ を円周に巻き付ける連続写像 $q\colon W\to S^1$ が作られ、$q$ が被覆 $\mathbb{R}\to S^1$、$r\mapsto e^{2\pi ir}$ に沿って持ち上がらないことが示されている。
1 により $q_*\pi_1(W)$ は自明な部分群なので、持ち上げの判定法の基本群の条件 $q_*\pi_1(W)\subset\{1\}=p_*\pi_1(\mathbb{R})$ は満たされる。それでも持ち上げは存在しない。$W$ は弧状連結なので、判定法が成り立たない原因は 2 の局所弧状連結性の欠如である。
局所的な条件の比較
| 空間 | 局所連結 | 局所弧状連結 | 局所可縮 | 半局所単連結 |
|---|---|---|---|---|
| $\mathbb{R}^n$ の開集合、多様体、CW複体 | ○ | ○ | ○ | ○ |
| ハワイの耳飾り $\mathbb{H}$ | ○ | ○ | × | × |
| 位相幾何学者の正弦曲線 $S$ | × | × | × | ○ |
| 順序位相を入れた正方形 | ○ | × | × | — |
含意は「局所可縮 $\Rightarrow$ 局所弧状連結 $\Rightarrow$ 局所連結」と「局所可縮 $\Rightarrow$ 半局所単連結」である。前者の一つ目は可縮な開近傍が弧状連結であること（弧状連結空間の記事の注意「他の連結条件との関係」）、二つ目は弧状連結な開近傍が連結であること（局所連結空間の記事の命題「局所弧状連結ならば局所連結」）、後者は半局所単連結空間の記事の注意「強さの連鎖」による。表の各欄は次のとおり確かめられる。1 行目は ex-lpc-examples と、可縮な開近傍の中のループはその近傍の中で縮むことによる。2 行目は ex-lpc-earring と半局所単連結空間の記事の命題「Hawaiianイヤリングは半局所単連結でない」による（局所可縮なら半局所単連結になるので、局所可縮でない）。3 行目の左三つは ex-lpc-nonexamples の 1 と位相幾何学者の正弦曲線の記事の命題「局所連結でない」による。半局所単連結であるのは、$S$ の弧状連結成分 $G$（$(0,1]$ と同相）と $I$（閉区間）がどちらも可縮で、$S$ のループはどれも一つの弧状連結成分に入るのでその中で縮み、基本群がどの点でも自明だからである。4 行目は局所連結空間の記事の命題「局所連結だが局所弧状連結でない空間」による（「—」はこの記事で扱わないことを表す）。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 局所弧状連結性（cor-lpc-components の 2） | 位相幾何学者の正弦曲線 $S$ | 連結な開集合が弧状連結であること |
| 局所弧状連結性（thm-lpc-equivalent の 3） | 収束列 $\{0\}\cup\{1/n\mid n\ge1\}$ | 開集合の弧状連結成分が開集合であること |
| 定義域の局所弧状連結性（持ち上げの判定法） | ワルシャワ円 $W$ と $q\colon W\to S^1$ | 基本群の条件から持ち上げが存在すること |
| 有限個を除く因子の弧状連結性（thm-lpc-product） | 二点離散空間の可算個の直積 $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ | 直積が局所弧状連結であること |
| 写像が開写像または商写像であること（thm-lpc-quotient） | 離散位相の収束列から通常の収束列への恒等写像 | 像が局所弧状連結であること |
1 行目：$S$ は連結で、$S$ 自身の開集合である（満たす性質）が、弧状連結でない（位相幾何学者の正弦曲線の記事の定理「弧状連結でない」）。系の仮定のうち満たさないのは局所弧状連結性である（ex-lpc-nonexamples の 1）。
2 行目：$K:=\{0\}\cup\{1/n\mid n\ge1\}$ の道は定値に限られる（弧状連結空間の記事の注意「大域と局所の違い」）ので、開集合 $K$ 自身の弧状連結成分は一点集合であり、$\{0\}$ は $K$ の開集合でない。
3 行目：ex-lpc-warsaw による。
4 行目：各因子 $\{0,1\}$（離散位相）は一点集合が弧状連結な開集合なので局所弧状連結だが、弧状連結でない（道(位相)の記事の例「離散空間の道」）。弧状連結でない因子が無限個あるので、thm-lpc-product により直積は局所弧状連結でない。直接には、直積の道の各座標は離散空間の道なので定値であり、直積の道は定値に限られる。弧状連結成分は一点集合だが、直積位相の空でない開集合は無限個の点を含むので、一点集合は開でない。
5 行目：離散位相を入れた $K$ は局所弧状連結で、恒等写像は連続な全射だが、通常の位相の $K$ は局所弧状連結でない（2 行目）。$\{0\}$ は離散位相では開だが、通常の位相では開でないので、この写像は開写像でも商写像でもない。
補足
定義と thm-lpc-equivalent の 1・3 の同値、連結成分との一致は Mun00 §25（pp. 161–162、Theorem 25.4・25.5）、prop-lpc-covering-component は Mun00 §80 Lemma 80.1（p. 484）、持ち上げの判定法は Hat02 §1.3 Proposition 1.33（p. 61）と、その局所弧状連結性の仮定を外せないことを示す §1.3 演習 7（p. 79）による。thm-lpc-quotient、cor-lpc-covering、thm-lpc-product の証明はこの記事のものである。
関連項目
参考文献
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