群の中心

部分群であること：$e$ はすべての元と交換するので $e\in Z(G)$。$x,y\in Z(G)$ と任意の $g\in G$ に対し $(xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)$ なので $xy\in Z(G)$。$x\in Z(G)$ なら $xg=gx$ の両辺に左右から $x^{-1}$ を掛けて $gx^{-1}=x^{-1}g$ を得るので $x^{-1}\in Z(G)$。
正規性：$x\in Z(G)$、$g\in G$ に対し $gxg^{-1}=xgg^{-1}=x\in Z(G)$。よって $gZ(G)g^{-1}\subset Z(G)$ が任意の $g$ で成り立ち、$Z(G)$ は正規部分群である。$\square$

$Z(G)=G$ なら任意の $x,y\in G$ で $x\in Z(G)$ より $xy=yx$。逆に $G$ がアーベル群なら任意の $x$ が任意の $y$ と交換するので $x\in Z(G)$。$\square$

$\varphi_g\circ\varphi_{g^{-1}}(x)=g(g^{-1}xg)g^{-1}=x$ であり同様に $\varphi_{g^{-1}}\circ\varphi_g=\mathrm{id}$ なので $\varphi_g$ は全単射である。$\varphi_g\circ\varphi_h(x)=g(hxh^{-1})g^{-1}=(gh)x(gh)^{-1}=\varphi_{gh}(x)$ なので $\varphi$ は準同型である。$g\in\ker\varphi$ は $\varphi_g=\mathrm{id}$、すなわち任意の $x$ で $gxg^{-1}=x$、すなわち $gx=xg$ を意味し、これは $g\in Z(G)$ と同値である。$\square$

結合律：$\bigl((a,b,c)(a',b',c')\bigr)(a'',b'',c'')$ の第 $3$ 成分は $c+c'+ab'+c''+(a+a')b''$、$(a,b,c)\bigl((a',b',c')(a'',b'',c'')\bigr)$ の第 $3$ 成分は $c+c'+c''+a'b''+a(b'+b'')$ で、いずれも $c+c'+c''+ab'+ab''+a'b''$ に等しい。第 $1$、第 $2$ 成分は加法なので一致する。単位元は $(0,0,0)$、$(a,b,c)$ の逆元は $(-a,-b,-c+ab)$ である（$(a,b,c)(-a,-b,-c+ab)=(0,0,c-c+ab-ab)=(0,0,0)$、逆順も同様に $(0,0,-c+ab+c+(-a)b)=(0,0,0)$）。
非アーベル：$(1,0,0)(0,1,0)=(1,1,1)$ だが $(0,1,0)(1,0,0)=(1,1,0)$ である。
中心：$(a,b,c)$ と $(a',b',c')$ の積の第 $3$ 成分を比較すると、両者が交換することは $ab'=a'b$ と同値である。$(a,b,c)$ が中心に属するのは、任意の $(a',b')$ で $ab'=a'b$ となるときで、$(a',b')=(0,1)$ から $a=0$、$(a',b')=(1,0)$ から $b=0$ を得る。逆に $a=b=0$ なら $ab'=0=a'b$ が常に成り立つ。よって $Z(H)=\{(0,0,c)\}$ で、$(0,0,1)\neq(0,0,0)$ かつ $(1,0,0)\notin Z(H)$ から自明でも全体でもない。$Z(H)$ の積は $(0,0,c)(0,0,c')=(0,0,c+c')$ なので、$c\mapsto(0,0,c)$ により $Z(H)\cong\mathbb{Z}$ である。$\square$

$C_G(x)$ が部分群であること：$e\in C_G(x)$、$g,h\in C_G(x)$ なら $(gh)x=g(xh)=(xg)h=x(gh)$、$gx=xg$ なら $x g^{-1}=g^{-1}x$。
共役が同値関係であること：$x=exe^{-1}$（反射律）、$y=gxg^{-1}$ なら $x=g^{-1}yg$（対称律）、$y=gxg^{-1}$、$z=hyh^{-1}$ なら $z=(hg)x(hg)^{-1}$（推移律）。よって共役類は $G$ を分割する。
共役類の大きさ：左剰余類の集合 $G/C_G(x)$ から $x$ の共役類への写像 $gC_G(x)\mapsto gxg^{-1}$ を考える。$gC_G(x)=hC_G(x)$ は $h^{-1}g\in C_G(x)$、すなわち $h^{-1}gx=xh^{-1}g$、すなわち $gxg^{-1}=hxh^{-1}$ と同値なので、この写像は well-defined かつ単射である。全射は定義から明らかである。よって共役類の元の個数は $[G:C_G(x)]$ である。
$x\in Z(G)$ は任意の $g$ で $gxg^{-1}=x$、すなわち共役類が $\{x\}$ であることと同値である。
類等式：$G$ は共役類の非交和である。一元からなる共役類は中心の元に対応し、その個数の和は $|Z(G)|$ である。残りの共役類の大きさを足せば上式を得る。$\square$

lem-center-of-group-class-equation の類等式を使う。中心に属さない $x_i$ に対し $C_G(x_i)\neq G$ なので $[G:C_G(x_i)]>1$ であり、Lagrange の定理から $[G:C_G(x_i)]$ は $|G|=p^n$ の約数、すなわち $p$ の正の冪である。よって右辺の和は $p$ で割り切れ、$|G|=p^n$ も $p$ で割り切れるから $|Z(G)|=|G|-\sum_i[G:C_G(x_i)]$ は $p$ で割り切れる。$e\in Z(G)$ より $|Z(G)|\ge1$ なので $|Z(G)|\ge p>1$ である（類等式とこの定理は DF04 §4.3 Theorem 7・8、pp. 124–125）。$\square$

まず、任意の置換 $\sigma$ と互換 $(a\,b)$ について
$$ \sigma(a\,b)\sigma^{-1}=(\sigma(a)\ \sigma(b)) $$
が成り立つ。実際、右辺も左辺も $\sigma(a)$ と $\sigma(b)$ を入れ替え、それ以外の $\sigma(c)$（$c\ne a,b$）は $\sigma(c)\mapsto\sigma(a\,b)(c)=\sigma(c)$ と固定するからである。
$n\ge3$ とし、$\sigma\neq e$ とする。$\sigma(a)=b\neq a$ となる $a$ をとる。$n\ge3$ なので $a,b$ と異なる $c$ がとれる。互換 $\tau=(a\,c)$ に対し、上の式から $\sigma\tau\sigma^{-1}=(b\ \sigma(c))$ である。$\sigma$ が $\tau$ と交換するなら $\sigma\tau\sigma^{-1}=\tau$、すなわち $\{b,\sigma(c)\}=\{a,c\}$ でなければならない。$b\ne a$ かつ $b\ne c$ なので $b\notin\{a,c\}$ であり、これは起こらない。よって $\sigma\notin Z(S_n)$ である。
$n=1,2$ では $S_n$ の元の個数は $1,2$ であり、位数 $2$ 以下の群は巡回群なのでアーベル群である。

1：$x\in Z(G)\cap H$ は $G$ のすべての元と交換するので、とくに $H$ のすべての元と交換する。
2：$x\in Z(G)$ と $y'\in G'$ をとる。$f$ は全射なので $y'=f(y)$ となる $y\in G$ があり、$f(x)y'=f(xy)=f(yx)=y'f(x)$ である。よって $f(x)\in Z(G')$ である。
等号にならない例：1 では $G=S_3$、$H=\langle(1\,2\,3)\rangle$ をとると、$H$ はアーベル群なので $Z(H)=H$ だが、$Z(S_3)\cap H=\{e\}$ である。2 では $S_3\to S_3/\langle(1\,2\,3)\rangle$（位数 $2$ の群への全射）をとると、像の群の中心は位数 $2$ の全体だが、$Z(S_3)=\{e\}$ の像は単位元だけである。

$(x_1,x_2)$ と $(y_1,y_2)$ が交換することは、成分ごとに $x_1y_1=y_1x_1$ かつ $x_2y_2=y_2x_2$ であることと同値である。$(x_1,x_2)$ が中心に属するとする。$(y_1,e)$ と交換することから $x_1$ は任意の $y_1\in G_1$ と交換し、$(e,y_2)$ と交換することから $x_2$ は任意の $y_2\in G_2$ と交換する。逆に $x_1\in Z(G_1)$、$x_2\in Z(G_2)$ なら、成分ごとの交換から $(x_1,x_2)$ はすべての元と交換する。

$\alpha$ は全射準同型なので、prop-center-of-group-subgroup-image の 2 により $\alpha(Z(G))\subset Z(G)$ である。逆写像 $\alpha^{-1}$ も自己同型なので $\alpha^{-1}(Z(G))\subset Z(G)$、すなわち $Z(G)\subset\alpha(Z(G))$ である。

$N$ は正規なので、$x\in N$ なら $gxg^{-1}\in N$ であり、$x$ の共役類全体が $N$ に含まれる。よって $N$ は、$G$ の共役類のうち $N$ に含まれるものの非交和である。lem-center-of-group-class-equation により、$x$ の共役類が一元 $\{x\}$ であることと $x\in Z(G)$ は同値なので、
$$ |N|=|N\cap Z(G)|+\sum_{j}[G:C_G(y_j)] $$
である。ここで $y_j$ は $N$ に含まれ中心に属さない元の共役類の代表元である。各 $[G:C_G(y_j)]$ は $1$ より大きい $|G|=p^n$ の約数なので $p$ で割り切れ、$|N|$ も $p^n$ の約数で $1$ でないから $p$ で割り切れる。よって $|N\cap Z(G)|$ は $p$ で割り切れる。$e\in N\cap Z(G)$ なので $|N\cap Z(G)|\ge p$ である。
$|N|=p$ なら、$N\cap Z(G)$ は $N$ の部分群で位数が $p$ 以上なので $N$ 全体であり、$N\subset Z(G)$ である。