Wittベクトル

同義語：Witt vector

概要

前提知識: 可換環, 素数, 形式的冪級数, p進整数

二種類のWittベクトル

Wittベクトルは、環の元の無限列に、成分ごとの演算とは異なる環構造を入れる構成である。代表的なものに、すべての正整数で添字づけられる大Wittベクトルと、素数 $p$ を固定して $p$ の冪だけを取り出す $p$ 典型Wittベクトルがある。本記事では両者を区別して
$$ W_{\mathrm{big}}(R),\qquad W_p(R) $$
と書く。
「Witt環」という語は二次形式の同値類から作る環にも使われる。その環は本記事のWittベクトル環とは別物である。

大Wittベクトル

$R$ を単位元をもつ可換環とする。集合
$$ 1+tR[\![t]\!] $$
は形式的冪級数の通常の積に関して可換群になる。この群を大Wittベクトルの加法群とみなす。したがって、大Witt環での零元は冪級数 $1$ であり、Witt加法は冪級数の積である。

大Wittベクトル

$R$ 上の大Wittベクトルとは $1+tR[\![t]\!]$ の元である。各元は一意的に
$$ f(t)=\prod_{n\geq 1}(1-a_nt^n)^{-1},\qquad a_n\in R $$
と表される。この $(a_1,a_2,\ldots)$ を大Witt座標という。

無限積は $t$ 進位相で解釈する。すなわち、$t^N$ の係数を求めるときは $n\leq N$ の因子しか関係しない。

Euler積表示の存在と一意性

任意の $f(t)\in1+tR[\![t]\!]$ に対し、大Witt座標 $(a_n)_{n\geq1}$ が一意に存在する。

$f(t)=1+c_1t+c_2t^2+\cdots$ とする。まず $a_1=c_1$ とおけば、$f(t)(1-a_1t)$ の $t$ の係数は $0$ になる。一般に $a_1,\ldots,a_{n-1}$ を選び
$$ f(t)\prod_{i=1}^{n-1}(1-a_it^i)=1+b_nt^n+O(t^{n+1}) $$
となったとする。$a_n=b_n$ とおけば、さらに $(1-a_nt^n)$ を掛けた級数の $t^n$ の係数も $0$ になる。帰納的に得られる列は、各 $N$ について
$$ f(t)\prod_{i=1}^{N}(1-a_it^i)\equiv1\pmod {t^{N+1}} $$
を満たすので、所望の無限積表示を与える。
別の列 $(a'_n)$ も同じ表示を与えるとする。$a_i=a'_i$ が $i< n$ で成り立つとき、両表示に $\prod_{i< n}(1-a_it^i)$ を掛けて $t^n$ の係数を比べれば $a_n=a'_n$ である。帰納法により全成分が一致する。

大Witt環の乗法は、Teichmüller型の元
$$ \langle a\rangle:=(1-at)^{-1} $$
に対して
$$ \langle a\rangle\ast\langle b\rangle=\langle ab\rangle $$
となる。ただしこの一式と分配性だけを、すべてのEuler因子への明示的な定義と思ってはならない。一般の因子 $E_m(a)=(1-at^m)^{-1}$ の積は、$d=\gcd(m,n)$ とすると
$$ E_m(a)\ast E_n(b) =\bigl(1-a^{n/d}b^{m/d}t^{mn/d}\bigr)^{-d} $$
で与えられる。二つのEuler積には、この式を各因子対へ適用して通常の冪級数の積を取る。$t^N$ までを求める際には $mn/d\le N$ の組しか寄与しないので、有限個の計算で定まる。
この構成が結合的・可換・分配的であり、任意の環の間の準同型と両立することは、大Witt環の構造定理の内容である Haz08 §9.15–9.20。例えば形式的に $f=\prod_i(1-x_it)^{-1}$、$g=\prod_j(1-y_jt)^{-1}$ と分解した場合には $f\ast g=\prod_{i,j}(1-x_iy_jt)^{-1}$ である。同論文の式 (9.16) は、右辺の係数が $x_i$ と $y_j$ についてそれぞれ対称であり、したがって $f,g$ の係数の整係数多項式になることを用いて一般の係数環へ戻す。この構造定理全体の証明は同節を参照されたい。

加法記号への注意

$f,g\in1+tR[\![t]\!]$ に対し、大Witt環での和は冪級数の積 $fg$ である。一方、大Witt環での積 $f\ast g$ は冪級数の通常の積ではない。この二つを混同してはならない。

$p$ 典型 Witt 多項式

以下、素数 $p$ を一つ固定する。$n\geq0$ に対して
$$ w_n(X_0,\ldots,X_n) :=X_0^{p^n}+pX_1^{p^{n-1}}+\cdots+p^nX_n $$
を第 $n$ Witt多項式という。最初の二つは
$$ w_0=X_0,\qquad w_1=X_0^p+pX_1 $$
である。

$p$ 典型Wittベクトル

$R$ 上の $p$ 典型Wittベクトルの集合を
$$ W_p(R):=R^{\mathbb N}=\{(x_0,x_1,x_2,\ldots)\mid x_i\in R\} $$
とする。写像
$$ \operatorname{gh}\colon W_p(R)\longrightarrow R^{\mathbb N}, \qquad (x_i)_{i\geq0}\longmapsto \bigl(w_n(x_0,\ldots,x_n)\bigr)_{n\geq0} $$
をghost写像、その第 $n$ 成分をghost成分という。

Wittの整係数性定理によれば、整数係数多項式
$$ S_n,P_n\in \mathbb Z[X_0,\ldots,X_n,Y_0,\ldots,Y_n] $$
が一意に存在し、すべての $n$ について
$$ w_n(S_0,\ldots,S_n)=w_n(X_0,\ldots,X_n)+w_n(Y_0,\ldots,Y_n), $$
$$ w_n(P_0,\ldots,P_n)=w_n(X_0,\ldots,X_n)w_n(Y_0,\ldots,Y_n) $$
を満たす。これらの多項式で $R^{\mathbb N}$ の和と積を定めると可換環になり、ghost写像は環準同型になる。この存在定理全体はこの記事では証明しない。証明は Ser79 第 II 章 §6、または Haz08 §5 を参照。以下では最初の演算式と、この存在定理から従う基本的な性質を扱う。
重要なのは、$R$ が標数 $p$ の環であっても $S_n,P_n$ をまず整数係数多項式として作り、それから $R$ で評価することである。$R$ の中で $p$ で割って演算を定めるのではない。

最初の二成分

第 $0$ 成分と第 $1$ 成分は具体的に計算できる。$x=(x_0,x_1,\ldots)$、$y=(y_0,y_1,\ldots)$ とすると
$$ (x+y)_0=x_0+y_0, $$
$$ (x+y)_1=x_1+y_1- \frac{(x_0+y_0)^p-x_0^p-y_0^p}{p}, $$
また
$$ (xy)_0=x_0y_0, $$
$$ (xy)_1=x_0^py_1+y_0^px_1+px_1y_1 $$
である。分数を含む表示に見えるが、商は整数係数多項式である。

第1成分公式の整係数性

多項式
$$ C_p(X,Y):=\frac{(X+Y)^p-X^p-Y^p}{p} $$
は整数係数をもち、上の第 $1$ 成分の加法・乗法公式はghost成分をそれぞれ加法・乗法に移す。

二項定理により
$$ (X+Y)^p-X^p-Y^p =\sum_{i=1}^{p-1}\binom piX^iY^{p-i}. $$
$p$ は素数なので $1\leq i\leq p-1$ に対して $p\mid\binom pi$ である。したがって $C_p\in\mathbb Z[X,Y]$ である。
$s_0=x_0+y_0$、$s_1=x_1+y_1-C_p(x_0,y_0)$ とおくと
$$ w_1(s_0,s_1) =(x_0+y_0)^p+p(x_1+y_1)-pC_p(x_0,y_0) $$
$$ =x_0^p+px_1+y_0^p+py_1 =w_1(x_0,x_1)+w_1(y_0,y_1). $$
また $q_0=x_0y_0$、$q_1=x_0^py_1+y_0^px_1+px_1y_1$ とおけば
$$ w_1(q_0,q_1) =x_0^py_0^p+p(x_0^py_1+y_0^px_1+px_1y_1) $$
$$ =(x_0^p+px_1)(y_0^p+py_1) =w_1(x_0,x_1)w_1(y_0,y_1). $$
第 $0$ 成分については定義から直ちに成り立つ。

この公式はWitt加法が成分ごとの加法でないことを可視化する。例えば $p=2$、$R=\mathbb F_2$ では
$$ (1,0,0,\ldots)+(1,0,0,\ldots) =(0,1,0,\ldots) $$
となる。右辺の第 $2$ 成分以降が $0$ であることは $W_2(\mathbb F_2)\cong\mathbb Z_2$ の標準同型からも分かるが、各成分のWitt多項式から直接確かめることもできる。少なくとも最初の二成分だけでも、繰り上がりが第 $1$ Witt座標へ移る様子が見える。

ghost写像が見せるものと隠すもの

ghost写像の利点は、複雑なWitt演算を成分ごとの通常の演算へ移すことである。ただし、ghost写像は一般には単射でも全射でもない。

$p$ 捩れがない場合の単射性

$R$ の加法群に $p$ 捩れがない、すなわち $pr=0$ ならば $r=0$ であるとする。このとき
$$ \operatorname{gh}\colon W_p(R)\longrightarrow R^{\mathbb N} $$
は単射である。

$x=(x_i)$ と $y=(y_i)$ のghost成分がすべて等しいとする。$w_0(x_0)=w_0(y_0)$ より $x_0=y_0$ である。$x_i=y_i$ が $i< n$ で成り立つと仮定する。第 $n$ ghost成分の差を取ると、$i< n$ に対応する項はすべて相殺され、
$$ 0=w_n(x_0,\ldots,x_n)-w_n(y_0,\ldots,y_n) =p^n(x_n-y_n) $$
を得る。$p$ 捩れがないという仮定を $n$ 回用いれば $x_n=y_n$ である。帰納法により $x=y$ が従う。

ghost写像が単射でない例

$R=\mathbb F_p$ とする。$R$ では $p=0$ なので
$$ w_n(x_0,\ldots,x_n)=x_0^{p^n} $$
である。したがって非零Wittベクトル
$$ (0,1,0,0,\ldots) $$
の全ghost成分は $0$ である。これは「ghost成分が一致すればWittベクトルも一致する」という含意が、$p$ 捩れを許す環では破れる反例である。

この反例のため、ghost成分上で公式を確認しただけでは、任意の環上のWittベクトルの等式を直ちに結論できない。普遍的な等式を証明するときは、まず整数係数多項式環のような $p$ 捩れのない環でghost写像の単射性を使い、その後に任意の環へ特殊化する方法が有効である。

Teichmüller写像とVerschiebung

Teichmüller写像

$a\in R$ に対して
$$ [a]:=(a,0,0,\ldots)\in W_p(R) $$
とおく。写像 $[\,\cdot\,]\colon R\to W_p(R)$ をTeichmüller写像という。

Teichmüller写像は一般に加法的ではないが、乗法的であり
$$ [ab]=[a][b],\qquad[1]=1 $$
を満たす。

Teichmüller写像の乗法性

任意の可換環 $R$ と $a,b\in R$ に対して $[ab]=[a][b]$ である。

まず普遍環 $A=\mathbb Z[X,Y]$ で考える。$A$ には $p$ 捩れがないので、ghost写像は単射である。各 $n$ について
$$ \operatorname{gh}_n([X][Y]) =X^{p^n}Y^{p^n} =(XY)^{p^n} =\operatorname{gh}_n([XY]) $$
だから、単射性より $[X][Y]=[XY]$ である。この等式の各座標は整数係数多項式の等式である。環準同型 $A\to R$、$X\mapsto a$、$Y\mapsto b$ で特殊化すれば $[a][b]=[ab]$ を得る。$[1]=1$ も同様である。

Verschiebung

Verschiebung は加法写像
$$ V\colon W_p(R)\longrightarrow W_p(R), \qquad V(x_0,x_1,x_2,\ldots)=(0,x_0,x_1,\ldots) $$
である。

Verschiebungとghost成分

$x\in W_p(R)$ に対して
$$ \operatorname{gh}_0(Vx)=0,\qquad \operatorname{gh}_n(Vx)=p\operatorname{gh}_{n-1}(x)\quad(n\geq1) $$
である。

$Vx=(0,x_0,x_1,\ldots)$ をWitt多項式へ代入すると
$$ \operatorname{gh}_n(Vx) =p x_0^{p^{n-1}}+p^2x_1^{p^{n-2}}+\cdots+p^nx_{n-1} $$
$$ =p\bigl(x_0^{p^{n-1}}+px_1^{p^{n-2}}+\cdots+p^{n-1}x_{n-1}\bigr) =p\operatorname{gh}_{n-1}(x). $$
$n=0$ では第 $0$ 座標が $0$ なので主張を得る。

切断Wittベクトルと $p$ 進整数

最初の $n$ 成分だけを残した集合 $R^n$ に、同じ普遍多項式で演算を入れた環を
$$ W_{p,n}(R) $$
と書き、長さ $n$ の切断 $p$ 典型Witt環という。末尾を切り落とす写像
$$ W_{p,n+1}(R)\longrightarrow W_{p,n}(R) $$
は環準同型であり、
$$ W_p(R)\cong\varprojlim_n W_{p,n}(R) $$
である。
基本例は
$$ W_p(\mathbb F_p)\cong\mathbb Z_p, \qquad W_{p,n}(\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/p^n\mathbb Z $$
である。より一般に完全体 $k$ が標数 $p$ なら、$W_p(k)$ は剰余体 $k$ をもつ標数 $0$ の完備離散付値環を与える。この構成は混標数の局所体、結晶コホモロジー、de Rham--Witt複体で基礎的である。これらの構造定理はこの記事では証明しない。証明は Ser79 第 II 章 §6, Theorems 7–8と Haz08 §6を参照。

繰り上がりとしてのWitt座標

$W_p(\mathbb F_p)\cong\mathbb Z_p$ のもとで、Teichmüller元 $[a]$ は $a$ の乗法的な代表元に対応する。Witt座標は通常の $p$ 進展開の桁と似ているが、一般の完全体では各桁をTeichmüller代表から取る。したがってWitt加法の補正項は、標数 $p$ の係数環から標数 $0$ へ持ち上げる際の繰り上がりを符号化している。

二つの注意

第1に、ghost写像は任意の環で同型になるわけではない。例えば $\mathbb F_p$ 上では上の反例のとおり単射でない。第2に、$W_p(R)$ の台集合は $R^{\mathbb N}$ だが、その環構造は直積環の成分ごとの環構造ではない。Witt多項式を介する補正項が本質である。

座標から分かる関手性と切断

環準同型 $f:R\to S$ による成分写像とghost写像は、次の図式で両立する。
$$ \xymatrix{ W_p(R) \ar[r]^{W_p(f)} \ar[d]_{\operatorname{gh}_R} & W_p(S) \ar[d]^{\operatorname{gh}_S} \\ R^{\mathbb N} \ar[r]_{f^{\mathbb N}} & S^{\mathbb N} } $$
図式の可換性は $\operatorname{gh}_S\circ W_p(f)=f^{\mathbb N}\circ\operatorname{gh}_R$ という等式であり、各ghost成分が整数係数多項式であることから従う。この等式は、係数環を変える操作とghost成分を計算する操作が同じ結果を与えることを表す。ghost写像の単射性を仮定した図式ではない。
Witt演算の第 $n$ 座標は、第 $n$ 座標までの入力しか使わない。この有限性は、無限列に演算を入れる際の基本的な性質である。無限に多くの座標を一度に計算してから最初の座標を取り出す必要はない。例えば長さ2のWitt環を計算するには、表示した $S_0,S_1,P_0,P_1$ だけで足りる。長さ3に進んでも長さ2の計算結果は変わらず、新しい第三座標が付く。この両立性が逆極限表示を支えている。

係数環の準同型による成分写像

$f:R\to S$ を単位的な可換環の準同型とする。成分に $f$ を作用させる写像 $W_p(f):(x_i)\mapsto(f(x_i))$ は環準同型である。また最初の $n$ 成分を取る写像は環準同型 $W_p(R)\to W_{p,n}(R)$ であり、全射である。

各 $S_i,P_i$ は整数係数多項式であり、環準同型は整数・加法・乗法を保つ。したがって $f(S_i(x,y))=S_i(f(x),f(y))$ と $f(P_i(x,y))=P_i(f(x),f(y))$ が各成分で成り立つ。零と単位も保たれるので成分写像は環準同型である。切断については $i< n$ の演算が $x_0,\ldots,x_i,y_0,\ldots,y_i$ だけに依存するため、切断の前後で結果が一致する。任意の有限列に零の座標を追加すれば無限列になるので切断は全射である。$\square$

零を追加する写像は、切断の集合としての右逆を与えるが、一般には環準同型ではない。$p=2$、$R=\mathbb F_2$、長さ1を考えると、有限環では $1+1=0$ である。しかし零を追加した $(1,0,\ldots)$ を二つ加えると、最初の二座標は $(0,1)$ になる。したがって切断写像の全射性と、環準同型による分裂とは別の性質である。この例は有限列を単純に長い列へ埋め込むときの繰り上がりの問題を示す。

ghost成分が任意に指定できる場合

$p$ が可逆な環でのghost写像

$p$ が $R$ で可逆なら、ghost写像 $W_p(R)\to R^{\mathbb N}$ は環同型である。

任意の列 $(u_n)$ に対して $x_0=u_0$ とし、順に
$$ x_n=p^{-n}\left(u_n-\sum_{i=0}^{n-1}p^i x_i^{p^{n-i}}\right) $$
と定める。$p^{-n}$ が存在するため、各 $x_n$ は一意に定まる。この列の第 $n$ ghost成分は構成から $u_n$ であり、全射である。逆にghost成分から同じ再帰式で座標を回復できるので単射でもある。ghost写像は環準同型だから、これは環同型である。$\square$

ここで $p$ 捩れがない条件と $p$ が可逆な条件は異なる。$\mathbb Z$ には $p$ 捩れがないが、$p$ は可逆でない。例えば $u_0=0,u_1=1$ をghost成分とするWittベクトルが $\mathbb Z$ 上で存在するなら、$x_0=0$ と $p x_1=1$ が必要となり矛盾する。したがって $\mathbb Z$ 上のghost写像は単射であるが全射でない。再帰式が有理数上では解けても、整数上では解けないことが、Witt座標の算術を残す。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$p$ 捩れがない	$R=\mathbb F_p$、$(0,1,0,\ldots)$	ghost写像の単射性
$p$ が可逆	$R=\mathbb Z$、ghost成分 $(0,1,0,\ldots)$	ghost写像の全射性
切断の右逆が演算を保つ	長さ1の $\mathbb F_2$ から零を追加	加法の保存

Verschiebungの加法性

定義でVerschiebungを加法写像と呼んだことも、普遍環で証明できる。$A=\mathbb Z[X_0,X_1,\ldots,Y_0,Y_1,\ldots]$ とすればghost写像は単射である。$n\ge1$ に対して
$$ \operatorname{gh}_n(V(X+Y))=p\operatorname{gh}_{n-1}(X+Y)=\operatorname{gh}_n(VX+VY) $$
であり、零番成分も双方零である。単射性から $V(X+Y)=VX+VY$ を得て、整数係数多項式の等式として任意の環へ特殊化する。これで $V$ の加法性が従う。一方、環の単位を保つ写像ではない。$V(1)$ は零番成分が零であり、Witt環の単位は零番成分が1だから、非零環では両者は異なる。
Witt環を扱う際は、座標に関する定義、ghost成分での確認、普遍環からの特殊化という三つの段階を区別する。標数 $p$ の環でghost成分がすべて等しくなる場合でも、特殊化する前の多項式の等式なら座標の等式を保証できる。標数によって失われる情報を、整数係数多項式が保持しているのである。