Grassmann多様体のコホモロジー
概要
Grassmann多様体のコホモロジー（cohomology of Grassmannians）とは、Grassmann 多様体の、$K=\mathbb{R}$ では $\mathbb{Z}/2$ 係数、$K=\mathbb{C}$ では整係数のコホモロジー環のことである。無限 Grassmann 多様体の環はトートロジー束の Stiefel–Whitney 類 $w_1,\dots,w_k$（複素数では Chern 類 $c_1,\dots,c_k$）の多項式環で、直線束の直和への引き戻しで対称多項式の環と同一視される。有限次元の Grassmann 多様体の環は、トートロジー束と直交補束の類を生成元とし、両者の全特性類の積が $1$ であることだけを関係式とする環で、長方形に収まる Young 図形の Schur 多項式が基底を与える。
前提知識: Grassmann多様体, Schubert胞体, Stiefel–Whitney類, Chern類, 対称多項式
無限次元の実射影空間 $\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty$ の $\mathbb{Z}/2$ 係数のコホモロジー環は 1 次の元 $a$ の多項式環 $\mathbb{Z}/2[a]$ であり、$\mathbb{C}\mathrm{P}^\infty$ の整係数のコホモロジー環は 2 次の元の多項式環である。$a$ はトートロジー直線束の第 1 Stiefel–Whitney 類にほかならない。Grassmann 多様体 $\operatorname{Gr}(k,K^\infty)$ はこれを $k$ 次元部分空間に広げたもので、そのコホモロジー環は、トートロジー束の Stiefel–Whitney 類 $w_1,\dots,w_k$（複素数の場合は Chern 類 $c_1,\dots,c_k$）の多項式環になる。$\operatorname{Gr}(k,\mathbb{C}^\infty)$ はユニタリ群の 分類空間 のモデルなので、この計算は階数 $k$ の束の特性類の全体を記述する基礎になる。
証明は 2 つの数え上げを突き合わせる。Schubert胞体 による胞体分割からコホモロジーの大きさを上から押さえ、直線束の直和を引き戻すことで、特性類の単項式が 1 次独立であることを下から示す。後者は「基本対称多項式は代数的に独立である」という代数の定理に帰着する。この記事では、無限 Grassmann 多様体のコホモロジー環、有限 Grassmann 多様体 $\operatorname{Gr}(k,K^n)$ のコホモロジー環の生成元と関係式、Schur 多項式による基底を証明する。
設定
以下 $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$、$d:=\dim_{\mathbb{R}}K$ とし、係数環 $\Lambda$ を $K=\mathbb{R}$ なら $\mathbb{Z}/2$、$K=\mathbb{C}$ なら $\mathbb{Z}$ とする。コホモロジーの係数は断らなければ $\Lambda$ である。$\operatorname{Gr}(k,K^n)$ は $K^n$ の $k$ 次元部分空間の全体、$\operatorname{Gr}(k,K^\infty)=\bigcup_n\operatorname{Gr}(k,K^n)$ には弱位相を入れる（Grassmann多様体、Schubert胞体 の定理「Schubert 胞体による CW 構造」）。$\gamma^k$ を $\operatorname{Gr}(k,K^\infty)$ 上のトートロジー束、$\gamma_{k,n}$ をその $\operatorname{Gr}(k,K^n)$ への制限とする。
$K$ ベクトル束 $E$ について、$K=\mathbb{R}$ なら $x_i(E):=w_i(E)\in H^i(-;\mathbb{Z}/2)$、$K=\mathbb{C}$ なら $x_i(E):=c_i(E)\in H^{2i}(-;\mathbb{Z})$ とし、$x(E):=1+x_1(E)+x_2(E)+\cdots$ とおく。使う性質は、自然性 $x(f^*E)=f^*x(E)$、Whitney の和公式 $x(E\oplus F)=x(E)x(F)$、自明束で $x(\varepsilon^m)=1$、階数を超える $i$ で $x_i(E)=0$ である（Stiefel–Whitney類 の定義「Stiefel–Whitney 類の公理」と命題「基本性質」、Chern類 の定義「Chern類の公理的定義」）。
射影空間． $H^*(K\mathrm{P}^\infty;\Lambda)=\Lambda[t]$ であり、$t\in H^d$ はトートロジー直線束 $\gamma^1$ の $x_1(\gamma^1)$ にとれる（Hat02 Theorem 3.19、p. 220）。実際、$K=\mathbb{R}$ では $w(\gamma^1)=1+a$（Stiefel–Whitney類 の補題「トートロジー直線束」を各 $\mathbb{R}\mathrm{P}^m$ に制限して使う）、$K=\mathbb{C}$ では $c_1(\gamma^1)=-h$（Chern類 の定義「Chern類の公理的定義」の後の注意）であり、どちらも生成元である。
胞体の個数． $p_k(r)$ を $r$ の分割で部分の個数が $k$ 以下のものの個数、$b_{k,n}(r)$ を $k\times(n-k)$ の長方形に収まる箱の数 $r$ の Young図形 の個数とする。Schubert 胞体による CW 構造で、$\operatorname{Gr}(k,K^\infty)$ の $dr$ 胞体は $p_k(r)$ 個、$\operatorname{Gr}(k,K^n)$ の $dr$ 胞体は $b_{k,n}(r)$ 個あり、次元が $d$ の倍数でない胞体はない（Schubert胞体 の系「胞体の個数と Gauss の 2 項係数」）。$\operatorname{Gr}(k,K^n)$ は $\operatorname{Gr}(k,K^\infty)$ の部分複体である。
変数 $X_i$ の重みを $i$ とすると、$\Lambda[X_1,\dots,X_k]$ の重み $r$ の単項式の個数は $p_k(r)$ である。
単項式 $X_1^{\alpha_1}\cdots X_k^{\alpha_k}$（$\sum_ii\alpha_i=r$）に、$i$ をちょうど $\alpha_i$ 個並べた $r$ の分割を対応させると、部分がすべて $k$ 以下の分割との一対一対応になる。Young 図形の転置（共役）は、部分がすべて $k$ 以下の分割と部分の個数が $k$ 以下の分割を一対一に対応させる。$\square$
積からの写像． $j=1,\dots,k$ について線形写像 $\iota_j\colon K^\infty\to K^\infty$ を $e_m\mapsto e_{k(m-1)+j}$ で定める。$\iota_1,\dots,\iota_k$ の像は互いに直交し、$K^\infty$ はそれらの直和である。
$$
f\colon(K\mathrm{P}^\infty)^k\to\operatorname{Gr}(k,K^\infty),\qquad f(\ell_1,\dots,\ell_k):=\iota_1(\ell_1)\oplus\cdots\oplus\iota_k(\ell_k)
$$
とおく。$(K\mathrm{P}^m)^k$ の上では $f$ は$\ell_j$ の $0$ でない代表元 $w_j$ の像 $\iota_j(w_j)$ を第 $j$ 行に並べた行列（列を並べ替えるとブロック対角）の行空間をとる写像なので連続であり、$(K\mathrm{P}^\infty)^k$ の積位相は各 $(K\mathrm{P}^m)^k$ による弱位相に一致する（Hat02 Theorem A.6、p. 524。胞体が可算個の CW 複体の積）ので、$f$ は連続である。$\pi_j$ を第 $j$ 成分への射影とすると、$(\ell,v)\mapsto(\ell,(\iota_j^{-1}v_j)_j)$（$v=\sum_jv_j$、$v_j\in\iota_j(\ell_j)$）は束の同型
$$
f^*\gamma^k\cong\pi_1^*\gamma^1\oplus\cdots\oplus\pi_k^*\gamma^1
$$
を与える。$t_j:=\pi_j^*t$ とおくと、Künneth公式 の定理「コホモロジー環の Künneth の公式」により $H^*((K\mathrm{P}^\infty)^k;\Lambda)=\Lambda[t_1,\dots,t_k]$ である。$e_i$ を $t_1,\dots,t_k$ の第 $i$ 基本対称多項式とする。
無限 Grassmann 多様体
$k\ge1$ とする。
- $X_i\mapsto x_i(\gamma^k)$（$X_i$ の次数は $di$）で定まる次数付き環の準同型 $\Lambda[X_1,\dots,X_k]\to H^*(\operatorname{Gr}(k,K^\infty);\Lambda)$ は同型である。
- $f^*x_i(\gamma^k)=e_i$ であり、$f^*\colon H^*(\operatorname{Gr}(k,K^\infty);\Lambda)\to\Lambda[t_1,\dots,t_k]$ は単射で、その像は対称多項式の全体である。
- $H^{dr}(\operatorname{Gr}(k,K^\infty);\Lambda)$ は階数 $p_k(r)$ の自由 $\Lambda$ 加群であり、次数が $d$ の倍数でないコホモロジーは $0$ である。
$G:=\operatorname{Gr}(k,K^\infty)$、$x_i:=x_i(\gamma^k)$ と書く。
第 1 段：上界． 胞体コホモロジーは特異コホモロジーと同型である（Hat02 Theorem 3.5、p. 203）。$K=\mathbb{C}$ では胞体がすべて偶数次元なので胞体余鎖複体の微分は $0$ であり、$H^{2r}(G;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^{p_k(r)}$、奇数次は $0$ である。$K=\mathbb{R}$ では $H^r(G;\mathbb{Z}/2)$ は $r$ 次の胞体余鎖の空間 $(\mathbb{Z}/2)^{p_k(r)}$ の部分商なので、$\dim H^r\le p_k(r)$ である。
第 2 段：引き戻し． 自然性と Whitney の和公式により
$$
f^*x(\gamma^k)=x\Bigl(\bigoplus_j\pi_j^*\gamma^1\Bigr)=\prod_{j=1}^k(1+t_j)=\sum_{i=0}^ke_i
$$
であり、次数を比べて $f^*x_i=e_i$ を得る。
第 3 段：下界． 対称多項式 の定理「対称多項式の基本定理」（係数環 $\Lambda$）により $e_1,\dots,e_k$ は $\Lambda$ 上代数的に独立である。よって相異なる単項式 $X^\alpha$ に対する $e^\alpha$ は $\Lambda[t_1,\dots,t_k]$ で 1 次独立であり、第 2 段から、重み $r$ の単項式 $x^\alpha$ の $p_k(r)$ 個（grcoh-lem-monomials）は $H^{dr}(G)$ で 1 次独立である。
第 4 段：$K=\mathbb{R}$． 第 1 段と第 3 段から $\dim H^r=p_k(r)$ で、単項式 $x^\alpha$ が基底である。よって 1 と 3 が成り立つ。$f^*$ は基底を 1 次独立な元に写すので単射で、像は $\Lambda[e_1,\dots,e_k]$、すなわち基本定理により対称多項式の全体である。
第 5 段：$K=\mathbb{C}$． 単項式の張る部分群を $M_r\subset H^{2r}(G)\cong\mathbb{Z}^{p_k(r)}$ とする。$M_r$ は階数 $p_k(r)$ の自由部分群なので指数は有限であり、$f^*$ は $M_r$ を次数 $r$ の対称多項式の群 $S_r$ の上に同型に写す（基本定理）。$f^*$ の核は $M_r$ と $0$ でしか交わらないので有限群 $H^{2r}/M_r$ に埋め込まれ、$H^{2r}$ はねじれをもたないから核は $0$ である。$h\in H^{2r}$ をとると、ある正の整数 $N$ で $Nh\in M_r$ なので $Nf^*h\in S_r$ であり、変数の置換 $\pi$ について $N(\pi f^*h-f^*h)=0$ から $f^*h$ は対称で、$f^*h\in S_r=f^*(M_r)$ となる。$f^*$ は単射なので $h\in M_r$ である。よって $M_r=H^{2r}$ であり、1〜3 が成り立つ。$\square$
MS74 は $K=\mathbb{R}$ の場合を Theorem 7.1（p. 83）として、Lemma 7.2（p. 83）と胞体の数え上げ（p. 85）で証明している。上の第 5 段は、整数係数で「1 次独立」から「基底」へ進むための補足である。
$\operatorname{Gr}(k,K^\infty)$ と $\operatorname{Gr}(k,K^n)$ の Schubert 胞体による $\Lambda$ 係数の胞体余鎖複体の微分は $0$ である。したがって $H^{dr}$ は $dr$ 胞体の上の $\Lambda$ 値関数の全体と同一視され、$\operatorname{Gr}(k,K^n)$ への制限は関数の制限である。
$K=\mathbb{C}$ では奇数次元の胞体がないので明らかである。$K=\mathbb{R}$ とし、$C^r$、$Z^r$、$B^r$ を $\operatorname{Gr}(k,\mathbb{R}^\infty)$ の $r$ 次の胞体余鎖・余輪体・余境界の空間とする。grcoh-thm-infinite の 3 により $p_k(r)=\dim H^r=\dim Z^r-\dim B^r\le\dim Z^r\le\dim C^r=p_k(r)$ なので $Z^r=C^r$ であり、微分は $0$ である。部分複体への包含は胞体写像なので、胞体余鎖への制限は微分と可換で、$C^r(\operatorname{Gr}(k,\mathbb{R}^\infty))\to C^r(\operatorname{Gr}(k,\mathbb{R}^n))$ は全射である（関数の制限）。よって $\operatorname{Gr}(k,\mathbb{R}^n)$ でも微分は $0$ である。$\square$
- $k=1$ では $\operatorname{Gr}(1,K^\infty)=K\mathrm{P}^\infty$ であり、定理は $H^*(K\mathrm{P}^\infty;\Lambda)=\Lambda[x_1(\gamma^1)]$ を述べる。
- $H^*(\operatorname{Gr}(2,\mathbb{R}^\infty);\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2[w_1,w_2]$ の次数 $0,1,2,3,4$ の次元は $1,1,2,2,3$ で、基底は $1;\ w_1;\ w_1^2,w_2;\ w_1^3,w_1w_2;\ w_1^4,w_1^2w_2,w_2^2$ である。これは $r$ の分割で部分が $2$ 個以下のものの個数 $p_2(r)$ に等しい。
有限 Grassmann 多様体
$1\le k\le n$ とする。$W\in\operatorname{Gr}(k,K^n)$ に $K^n$ での直交補空間 $W^\perp$ を対応させた階数 $n-k$ の束を $\gamma_{k,n}^\perp$ と書く（$W$ への直交射影の行列は $W$ について連続で、$W_0$ の近くでは $1-P_W$ が $W_0^\perp$ を $W^\perp$ に同型に写すので、これは局所自明である）。$\bar x_j:=x_j(\gamma_{k,n}^\perp)$ とおく。
$\Lambda_k:=\Lambda[t_1,\dots,t_k]^{S_k}$ を対称多項式の環、$h_j$ を $t_1,\dots,t_k$ の $j$ 次の完全対称多項式、$s_\lambda$ を Schur 多項式とする（Schur多項式 の定義「Schur多項式」。長さが $k$ を超える $\lambda$ では $0$）。grcoh-thm-infinite の $f^*$ により $H^*(\operatorname{Gr}(k,K^\infty))$ を $\Lambda_k$ と同一視する。
$1\le k\le n$ とし、$\rho\colon H^*(\operatorname{Gr}(k,K^\infty))=\Lambda_k\to H^*(\operatorname{Gr}(k,K^n))$ を制限とする。
- $\rho$ は全射であり、$\rho(e_i)=x_i(\gamma_{k,n})$ である。その核は $h_{n-k+1},\dots,h_n$ の生成するイデアル $J$ である。
- $\lambda$ が $k\times(n-k)$ の長方形に収まる Young 図形を動くとき、$\rho(s_\lambda)$ は $H^*(\operatorname{Gr}(k,K^n);\Lambda)$ の $\Lambda$ 基底である。
- $X_0=Y_0=1$ とおくと、$X_i\mapsto x_i(\gamma_{k,n})$、$Y_j\mapsto\bar x_j$ で定まる準同型
$$ \Lambda[X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_{n-k}]\Big/\Bigl(\textstyle\sum_{i+j=m}X_iY_j\ \ (m=1,\dots,n)\Bigr)\longrightarrow H^*(\operatorname{Gr}(k,K^n);\Lambda) $$
は次数付き環の同型である。すなわちコホモロジー環は $x_i$ と $\bar x_j$ で生成され、関係式は $x(\gamma_{k,n})\,x(\gamma_{k,n}^\perp)=1$ の各次数の成分だけである。
要点：$\rho$ は胞体余鎖の制限なので全射で、像の各次数は自由で階数は長方形の中の Young 図形の個数 $b_{k,n}(r)$ である。一方 $\gamma\oplus\gamma^\perp$ が自明なので $J\subset\ker\rho$ であり、Jacobi–Trudi の公式から $\Lambda_k/J$ の各次数は $b_{k,n}(r)$ 個の $s_\lambda$ で生成される。生成元の個数と階数が一致するので $\Lambda_k/J\to H^*$ は同型である。
証明を開く
$\gamma:=\gamma_{k,n}$ と書く。
全射．grcoh-cor-cochain により、$H^{dr}$ は両方の空間で $dr$ 胞体の上の関数の全体であり、$\rho$ は関数の制限なので全射である。$H^{dr}(\operatorname{Gr}(k,K^n))\cong\Lambda^{b_{k,n}(r)}$ であり、次数が $d$ の倍数でない群は $0$ である。$\gamma^k$ の制限は $\gamma$ なので $\rho(e_i)=\rho(x_i(\gamma^k))=x_i(\gamma)$ である。
$J\subset\ker\rho$．対称多項式 の命題「母関数と基本対称多項式・完全対称多項式の関係」により、次数付きの完備化の中で $\bigl(\sum_ie_i\bigr)^{-1}=\sum_j(-1)^jh_j$ である。$\gamma\oplus\gamma^\perp\cong\varepsilon^n$ なので $x(\gamma)x(\gamma^\perp)=1$、すなわち $x(\gamma^\perp)=x(\gamma)^{-1}$ であり、$\rho\bigl((-1)^jh_j\bigr)=\bar x_j$（$j\ge1$）を得る。$\gamma^\perp$ の階数は $n-k$ なので $j>n-k$ で $\bar x_j=0$、すなわち $h_j\in\ker\rho$ である。とくに $J\subset\ker\rho$ である。また同じ命題の $\sum_{i=0}^k(-1)^ie_ih_{j-i}=0$ により、$j>n$ なら $h_j$ は $h_{j-1},\dots,h_{j-k}$ の $\Lambda_k$ 係数の 1 次結合で、それらの添字は $n-k$ より大きいので、$j$ についての帰納法により $j>n-k$ のすべての $h_j$ が $J$ に入る。
$\Lambda_k/J$ の生成元．長さが $k$ 以下の $\lambda$ の $s_\lambda$ は $\mathbb{Z}$ 上の $\Lambda_k$ の基底である（Schur多項式 の定理「対称多項式の環の基底」）。$\Lambda=\mathbb{Z}/2$ でも、基本定理により $\mathbb{Z}/2[t]^{S_k}=\mathbb{Z}[t]^{S_k}\otimes\mathbb{Z}/2$ なので同じである。$\lambda_1>n-k$ なら、Jacobi–Trudi の公式 $s_\lambda=\det(h_{\lambda_i-i+j})$（Schur多項式 の定理「Jacobi–Trudi の公式」）の第 1 行の成分 $h_{\lambda_1-1+j}$（$j\ge1$）はすべて $J$ に入るので、第 1 行で展開して $s_\lambda\in J$ である。よって $(\Lambda_k/J)$ の次数 $dr$ の部分は、長方形に収まる $\lambda$（$\lvert\lambda\rvert=r$）の $s_\lambda$ の $b_{k,n}(r)$ 個で生成される。
1 と 2．$\rho$ は全射 $\bar\rho\colon\Lambda_k/J\to H^*(\operatorname{Gr}(k,K^n))$ を誘導する。次数 $dr$ では、$b_{k,n}(r)$ 個の元 $\bar\rho(s_\lambda)$ が自由加群 $\Lambda^{b_{k,n}(r)}$ を生成する。$\Lambda$ が体なら明らかに、$\Lambda=\mathbb{Z}$ なら $\mathbb{Z}^b$ から $\mathbb{Z}^b$ への全射が同型であることにより、これらは基底である。$\Lambda_k/J$ の元は $s_\lambda$ の 1 次結合なので、$\bar\rho$ で $0$ に写れば係数がすべて $0$ であり、$\bar\rho$ は単射である。よって $\ker\rho=J$ であり、2 も成り立つ。
3．3 の左辺を $A$ とし、$U_j\in\Lambda[X_1,\dots,X_k]$ を $(1+X_1+\cdots+X_k)^{-1}$ の重み $j$ の成分とする。$U$ は $\sum_{i+j=m}X_iU_j=0$（$m\ge1$）をみたす。$A$ では $m\le n-k$ の関係式から $Y_j=-\sum_{i=1}^{j}X_iY_{j-i}$ なので、帰納法により $Y_j=U_j(X)$（$j\le n-k$）である。これを代入すると、$n-k< m\le n$ の関係式は $\sum_{i+j=m,\ j\le n-k}X_iU_j=-\sum_{i+j=m,\ j>n-k}X_iU_j=-\bigl(U_m+\sum_{i\ge1,\ j>n-k,\ i+j=m}X_iU_j\bigr)$ となり、$m=n-k+1,\dots,n$ の順に見ると、これらの生成するイデアルは $J':=(U_{n-k+1},\dots,U_n)$ に等しい。したがって $Y_j\mapsto U_j$ により $A\cong\Lambda[X_1,\dots,X_k]/J'$ である。$X_i\mapsto e_i$ による同型 $\Lambda[X]\cong\Lambda_k$（基本定理）は $U_j$ を $(-1)^jh_j$ に、$J'$ を $J$ に写す。1 と合わせて、$A\cong\Lambda_k/J\cong H^*(\operatorname{Gr}(k,K^n))$ であり、$X_i$ は $x_i(\gamma)$ に、$Y_j=U_j$ は $\rho((-1)^jh_j)=\bar x_j$ に写る。$\square$
$K=\mathbb{R}$ の 3 は MS74 Problem 7-B（p. 87）の主張である。$k=1$ では $\bar x$ を消去すると、$K\mathrm{P}^{n-1}$ の環 $\Lambda[x_1]/(x_1^n)$ が得られる（$U_n=(-X_1)^n$）。
$\lambda,\mu$ を $k\times(n-k)$ の長方形に収まる Young 図形とし、$\sigma_\lambda:=\rho(s_\lambda)$ と書く。$c^\nu_{\lambda\mu}$ を Littlewood–Richardson 係数（Schur多項式 の定理「Littlewood–Richardson 規則」）とすると、$H^*(\operatorname{Gr}(k,K^n);\Lambda)$ で
$$
\sigma_\lambda\,\sigma_\mu=\sum_{\nu\subset k\times(n-k)}c^\nu_{\lambda\mu}\,\sigma_\nu
$$
が成り立つ。
$\Lambda_k$ で $s_\lambda s_\mu=\sum_\nu c^\nu_{\lambda\mu}s_\nu$ であり、長さが $k$ を超える $\nu$ では $s_\nu=0$、$\nu_1>n-k$ では $s_\nu\in J$（grcoh-prf-finite）なので、$\rho$ で写すと長方形に収まる $\nu$ の項だけが残る。$\square$
$k=2$、$n=4$、$K=\mathbb{C}$ とし、$c_i:=c_i(\gamma_{2,4})$ と書く。関係式は $m=1,2$ で $\bar c_1=-c_1$、$\bar c_2=c_1^2-c_2$ を与え、$m=3,4$ で
$$
c_1^3-2c_1c_2=0,\qquad c_1^2c_2-c_2^2=0
$$
を与える。各次数の階数は $1,1,2,1,1$ で、$H^4$ の基底は $c_1^2,c_2$、$H^6$ は $c_1c_2$、$H^8$ は $g:=c_1^2c_2=c_2^2$ で生成され、$c_1^4=2g$ である。$\operatorname{Gr}(2,\mathbb{C}^4)$ は実 8 次元の閉多様体で、$g$ が $H^8\cong\mathbb{Z}$ の生成元なので、$\langle g,[M]\rangle=1$ となる向きをとれる。このとき $H^4$ のカップ積の形式の行列は基底 $c_1^2,c_2$ について
$$
\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
$$
で、正定値である。したがって $\operatorname{Gr}(2,\mathbb{C}^4)$ の符号数（符号数(多様体)）は $2$ である。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $K=\mathbb{R}$ で係数を $\mathbb{Z}/2$ にとること（grcoh-thm-infinite） | $\operatorname{Gr}(1,\mathbb{R}^\infty)=\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty$ の整係数コホモロジー | 環が係数環上の多項式環であること |
| $K=\mathbb{R}$ で係数を $\mathbb{Z}/2$ にとること（grcoh-cor-cochain） | $\operatorname{Gr}(1,\mathbb{R}^3)=\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ の整係数の胞体余鎖複体 | 微分が $0$ であること |
| 無限次元の $K^\infty$ をとること（grcoh-thm-infinite） | $\operatorname{Gr}(1,K^2)=K\mathrm{P}^1$ | $x_1$ が多項式環の生成元であること |
各行は左の列の条件だけを外している。
確かめを開く
1 行目：$H^1(\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty;\mathbb{Z})=0$、$H^2(\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2$ である（胞体鎖複体は各次元に 1 つずつの胞体をもち、境界写像は交互に $0$ と $2$ 倍である。Hat02 Example 2.42、p. 144 と普遍係数定理）。$\mathbb{Z}$ 上の多項式環はねじれをもたないので、整係数のコホモロジー環はどんな生成元についても多項式環ではない。
2 行目：同じ胞体分割で、$1$ 胞体から $2$ 胞体への余鎖の微分は $2$ 倍写像で $0$ でない。実際、もし $0$ なら $H^2(\mathbb{R}\mathrm{P}^2;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ となるが、これは $\mathbb{Z}/2$ である。
3 行目：$K\mathrm{P}^1$ は胞体を次元 $0$ と $d$ に 1 つずつもつので $H^{2d}=0$ であり、$x_1(\gamma_{1,2})$ は $H^d$ の生成元なのに $x_1^2=0$ である。これは grcoh-thm-finite の $k=1$、$n=2$ の場合 $\Lambda[x_1]/(x_1^2)$ に一致する。
補足
四元数体 $\mathbb{H}$ の上の $\operatorname{Gr}(k,\mathbb{H}^\infty)$ についても、整係数のコホモロジー環は次数 $4,8,\dots,4k$ の生成元の多項式環である（Hat02 Theorem 4D.4、p. 435。そこでは旗の束に Leray–Hirsch の定理を適用して $K=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ を同時に扱う）。特性類は $\operatorname{Gr}(k,K^\infty)$ のコホモロジー類と一対一に対応する（特性類 の定理「特性類と Grassmann 多様体のコホモロジー」）ので、grcoh-thm-infinite により、パラコンパクトな底空間の上の階数 $k$ の実ベクトル束の $\mathbb{Z}/2$ 係数の特性類は Stiefel–Whitney 類の多項式、複素ベクトル束の整係数の特性類は Chern 類の多項式で書ける。Stiefel–Whitney 類や Chern 類が Schubert 胞体の上でどんな値をとるかは Schubert胞体 の定理「Stiefel–Whitney 類と Chern 類の Schubert 余鎖」で求める。
関連項目
- 前提: Grassmann多様体, Schubert胞体, Stiefel–Whitney類, Chern類, 対称多項式
- 直後に読む: Schur多項式, 特性類, 符号数(多様体)
- 比較: 実射影空間, 射影空間, 旗多様体
- 発展: 分類空間, Künneth公式, 胞体ホモロジー
参考文献
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