素モデルと原子モデル

$M$ を可算な原子モデル、$N$ を $T$ の任意のモデルとし、$M=\{a_0,a_1,a_2,\dots\}$ と番号を付ける。$k$ についての帰納法で $b_0,b_1,\dots\in N$ を、各 $k$ について $\operatorname{tp}^M(a_0,\dots,a_{k-1})=\operatorname{tp}^N(b_0,\dots,b_{k-1})$ となるように選ぶ。$k=0$ では $T$ の完全性から成り立ち、$k$ から $k+1$ へは lem-pam-extend を $a=a_k$ に当てればよい。

$j(a_k):=b_k$ と定める。$a_k=a_l$ なら論理式 $x_k=x_l$ が型に属するので $b_k=b_l$ であり、$j$ は矛盾なく定まる。$L$ の論理式 $\psi(x_1,\dots,x_m)$ と $M$ の元 $a_{k_1},\dots,a_{k_m}$ について、$k>\max k_i$ をとると、$\operatorname{tp}^M(a_0,\dots,a_{k-1})=\operatorname{tp}^N(b_0,\dots,b_{k-1})$ から $M\models\psi(a_{k_1},\dots,a_{k_m})\iff N\models\psi(b_{k_1},\dots,b_{k_m})$ である。よって $j$ は初等埋め込みである。$\square$

$M$ を素モデルとする。$T$ の可算なモデル $N_0$ をとると、初等埋め込み $M\to N_0$ がある。埋め込みは単射なので $M$ は可算である。

$\bar a\in M^n$ について $p:=\operatorname{tp}^M(\bar a)$ が孤立していないと仮定する。省略型定理 の定理「省略型定理」（$p_i:=p$ とする）により、$p$ を省略する $T$ のモデル $N$ がある。初等埋め込み $j\colon M\to N$ をとると、$\operatorname{tp}^N(j(\bar a))=\operatorname{tp}^M(\bar a)=p$ となり、$N$ が $p$ を実現してしまう。これは矛盾なので、$p$ は孤立している。$\square$

$M=\{a_0,a_1,\dots\}$、$N=\{b_0,b_1,\dots\}$ と番号を付ける。有限列 $\bar c\in M^k$、$\bar d\in N^k$ で $\operatorname{tp}^M(\bar c)=\operatorname{tp}^N(\bar d)$ を満たすものを、空の列から始めて次のように延ばす。偶数回目の段では、$M$ の元のうち $\bar c$ に現れない番号最小の $a_i$ をとり、lem-pam-extend（$M$ が原子モデル）で $d\in N$ を選んで $(\bar c,a_i)$、$(\bar d,d)$ にする。奇数回目の段では、$N$ の元のうち $\bar d$ に現れない番号最小の $b_i$ をとり、$M$ と $N$ の役割を入れ替えた lem-pam-extend（$N$ が原子モデル。型が等しいという条件は対称である）で $c\in M$ を選ぶ。

こうして得られる無限列 $(c_k)$、$(d_k)$ について、$c_k\mapsto d_k$ は prf-pam-atomic-prime と同じ理由で矛盾なく定まる初等埋め込みである。偶数回目の段により $M$ のすべての元が $c_k$ に現れ、奇数回目の段により $N$ のすべての元が $d_k$ に現れるので、この写像は全単射である。全単射な初等埋め込みは同型写像である（初等埋め込み の定義のあとの説明）。後半は、thm-pam-prime-atomic により素モデルは可算な原子モデルだからである。$\square$

必要性． $M$ を素モデルとし、$\varphi(\bar x)$ を $T$ と無矛盾な論理式とする。$T$ が完全なので $M\models\exists\bar x\,\varphi$ であり、$M\models\varphi(\bar a)$ となる $\bar a$ がある。thm-pam-prime-atomic により $\operatorname{tp}^M(\bar a)$ は孤立していて、$\varphi$ を含む。

十分性． $n\ge1$ ごとに、完全型 $q\in S_n(T)$ を孤立させる論理式 $\theta(x_1,\dots,x_n)$ の全体を $\Theta_n$ とし、$\Sigma_n(\bar x):=\{\lnot\theta\mid\theta\in\Theta_n\}$ とおく。$\Sigma_n$ が $T$ のもとで孤立していないことを示す。論理式 $\varphi(\bar x)$ が $\Sigma_n$ を孤立させたとすると、$\varphi$ は $T$ と無矛盾なので、稠密性により $\varphi$ を含む孤立した完全型 $p$ があり、$p$ を孤立させる $\theta$ は $p$ に属する。$\theta\in\Theta_n$ なので $T\models\forall\bar x\,(\varphi\to\lnot\theta)$ であるが、$\varphi,\theta\in p$ で $p$ はあるモデルの組で実現されるので（型(モデル理論) の命題「型の基本性質」の 2）、$\varphi\land\theta$ を満たす組がある。これは矛盾である。

$L$ は可算なので、省略型定理 の定理「省略型定理」を $\Sigma_1,\Sigma_2,\dots$ に当てると、これらをすべて省略する $T$ の高々可算なモデル $M$ がある。$T$ のモデルは無限なので $M$ は可算無限である。$\bar a\in M^n$ は $\Sigma_n$ を実現しないので、ある $\theta\in\Theta_n$ について $M\models\theta(\bar a)$ である。$\theta$ が孤立させる完全型を $q$ とすると、「定義」の節の注意により $\operatorname{tp}^M(\bar a)=q$ であり、これは孤立している。よって $M$ は可算な原子モデルで、thm-pam-atomic-prime により素モデルである。$\square$

$\varphi$ を含む孤立した完全型がないとする。$T$ と無矛盾で $T\models\forall\bar x\,(\psi\to\varphi)$ を満たす論理式 $\psi(\bar x)$ には、$\psi\land\chi$ と $\psi\land\lnot\chi$ がどちらも $T$ と無矛盾になる論理式 $\chi(\bar x)$ があることを示す。そのような $\chi$ がないとすると、各 $\chi$ について $\psi\land\lnot\chi$ か $\psi\land\chi$ の一方は $T$ と矛盾し、それぞれ $T\models\forall\bar x\,(\psi\to\chi)$、$T\models\forall\bar x\,(\psi\to\lnot\chi)$ を意味する。よって $p:=\{\chi\mid T\models\forall\bar x\,(\psi\to\chi)\}$ は各 $\chi$ かその否定を含み、$\psi$ を実現する組で実現されるので $T$ の完全型である。$\psi$ は $p$ を孤立させ、$\varphi\in p$ なので、仮定に反する。

有限の 0・1 列 $s$ ごとに論理式 $\varphi_s$ を、$\varphi_\emptyset:=\varphi$ とし、$\varphi_s$ に対して上の $\chi$ を 1 つ選んで $\varphi_{s0}:=\varphi_s\land\chi$、$\varphi_{s1}:=\varphi_s\land\lnot\chi$ と定める。どの $\varphi_s$ も $T$ と無矛盾で $\varphi$ を導くので、この操作は続けられる。無限の 0・1 列 $\sigma$ について $\Phi_\sigma:=\{\varphi_{\sigma\restriction k}\mid k\in\mathbb N\}$ の有限部分集合は最も長い列の論理式から導かれるので、$\Phi_\sigma$ は $T$ の型であり、ある完全型 $p_\sigma\supset\Phi_\sigma$ に含まれる（型(モデル理論) の命題「型の基本性質」の 3）。$\sigma\ne\tau$ が初めて $s$ の次で分かれるなら、一方の $p$ は $\chi$ を、他方は $\lnot\chi$ を含むので $p_\sigma\ne p_\tau$ である。よって $\varphi$ を含む完全型は $2^{\aleph_0}$ 個以上ある。後半の主張の対偶が前半で、素モデルの存在は thm-pam-existence による。$\square$

$k\ge1$ について $\delta_k(x,y)$ を「$x< y$ で、$x< z< y$ となる $z$ がちょうど $k-1$ 個ある」を表す論理式とし、$\delta_0(x,y)$ を $x=y$ とする。$\mathbb Z$ では $\delta_k(x,y)\iff y=x+k$ である。$\bar a\in\mathbb Z^n$ について $m:=\min_ia_i=a_{i_0}$ とし、$\theta(\bar x):=\bigwedge_{i=1}^n\delta_{a_i-m}(x_{i_0},x_i)$ とおく。$\mathbb Z\models\theta(\bar b)$ なら $b_i=b_{i_0}+(a_i-m)$ なので、平行移動 $x\mapsto x+(b_{i_0}-m)$ は $\bar a$ を $\bar b$ に移す自己同型である。lem-pam-automorphism により $\operatorname{tp}(\bar a)$ は孤立している。よって $(\mathbb Z,<)$ は可算な原子モデルで、thm-pam-atomic-prime により素モデルである。$\square$

$\mathrm{ACF}_0$ は完全である（量化記号消去 の系「代数閉体の理論の帰結」の 1）。$K\models\mathrm{ACF}_0$ は標数 $0$ なので $\mathbb Q$ を部分体として含み、$K$ の元のうち $\mathbb Q$ 上代数的なものの全体 $\Omega$ は $\mathbb Q$ の代数閉包である（代数閉包 の命題「代数閉体の中での相対的閉包」）。$\overline{\mathbb Q}$ は $\mathbb Q$ の代数拡大なので、$\mathbb Q$ 上の体の埋め込み $\iota\colon\overline{\mathbb Q}\to\Omega\subset K$ がある（同記事の定理「代数拡大の埋め込み」）。像 $\iota(\overline{\mathbb Q})$ は $\overline{\mathbb Q}$ と同型なので代数閉体で、同系の 2 により $\iota(\overline{\mathbb Q})\preccurlyeq K$ である。$\iota$ は $\overline{\mathbb Q}$ から像への同型なので、初等埋め込み $\overline{\mathbb Q}\to K$ になる。よって $\overline{\mathbb Q}$ は素モデルで、thm-pam-prime-atomic により原子モデルである。

$N:=\overline{\overline{\mathbb Q}(t)}$ とする。初等埋め込み $j\colon N\to\overline{\mathbb Q}$ があれば、$\operatorname{tp}(j(t))=\operatorname{tp}(t)$ である。$\overline{\mathbb Q}$ の元 $j(t)$ は $0$ でない整数係数の多項式 $f$ の根で、論理式 $f(x)=0$（係数は $1+\dots+1$ と $-$ で書ける）が $\operatorname{tp}(j(t))$ に属するが、$t$ は超越的なので $\operatorname{tp}(t)$ には属さない。これは矛盾なので $N$ は素モデルでなく、$N$ は可算なので thm-pam-atomic-prime により原子モデルでもない。$\square$

完全性． $L_n:=\{P_0,\dots,P_{n-1}\}$ とし、$T_P$ の文のうち $L_n$ の文であるものの全体を $T_n$ とする。$T_n$ のモデルは $2^n$ 個の「区画」$\chi_\varepsilon$（$\varepsilon\in\{0,1\}^n$）がどれも無限な $L_n$ 構造で（長さが $n$ より短い $\varepsilon$ の区画は長さ $n$ の区画の和になる）、有限のモデルをもたない。可算なモデル 2 つでは対応する区画がどれも可算無限なので、区画ごとに全単射をとって合わせれば同型写像になる。よって $T_n$ は $\aleph_0$-範疇的で、Löwenheim–Skolemの定理 の定理「Łoś–Vaught の判定法」により完全である。$L_P$ の文 $\sigma$ は有限個の記号しか使わないので、ある $n$ について $L_n$ の文であり、$T_n\models\sigma$ か $T_n\models\lnot\sigma$ が成り立つ。$T_n\subset T_P$ なので $T_P$ は完全である。

孤立しないこと． $\varphi(x)$ を $T_P$ と無矛盾な論理式とし、$\varphi$ が $L_n$ の論理式となる $n$ をとる。$T_P$ のモデル $M$ と $M\models\varphi(a)$ となる $a$ をとり、$P_n$ の解釈だけを $a$ のところで入れ替えた（$a\in P_n^M$ なら除き、そうでなければ加えた）構造を $M'$ とする。どの区画も高々 1 元しか増減しないので、$M'$ も $T_P$ のモデルである。$M$ と $M'$ は $L_n$ の記号の解釈が同じなので、$M'\models\varphi(a)$ である（論理式の真偽はそれに現れない記号の解釈によらない）。$M$ と $M'$ の一方で $P_n(a)$、他方で $\lnot P_n(a)$ が成り立つので、$\varphi\land P_n(x)$ と $\varphi\land\lnot P_n(x)$ はどちらも $T_P$ と無矛盾である。$\varphi$ が完全型 $p$ を孤立させたとすると、$P_n(x)$ か $\lnot P_n(x)$ が $p$ に属し、$T_P\models\forall x\,(\varphi\to P_n(x))$ か $T_P\models\forall x\,(\varphi\to\lnot P_n(x))$ となって矛盾する。

$T_P$ のモデルのどの元 $a$ についても $\operatorname{tp}(a)$ は孤立していないので、原子モデルはなく、thm-pam-prime-atomic により素モデルもない。最後の主張は thm-pam-small の後半を $\varphi:=(x=x)$ に当てればよい。$\square$