射影幾何学

$S=\mathbb{P}(W_1)$、$T=\mathbb{P}(W_2)$ とすると、ベクトル空間の次元公式 $\dim(W_1+W_2)+\dim(W_1\cap W_2)=\dim W_1+\dim W_2$（部分空間 の命題「次元公式（参照）」）の両辺から $2$ を引いたものが主張である。
1：異なる 2 直線 $S$、$T$ の結びは直線より真に大きい部分空間なので平面 $\mathbb{P}(V)$ 自身で、$\dim(S\wedge T)=1+1-2=0$ である。2：$L\vee H$ は $H$ より真に大きいので $\mathbb{P}(V)$ で、$\dim(L\wedge H)=1+(n-1)-n=0$ である。3：$\dim(S\vee T)\le n$ なので $\dim(S\wedge T)\ge\dim S+\dim T-n\ge0$ である。$\square$

$S=\mathbb{P}(W_1)$、$T=\mathbb{P}(W_2)$、$U=\mathbb{P}(W_3)$、$W_1\subset W_3$ とし、$W_1+(W_2\cap W_3)=(W_1+W_2)\cap W_3$ を示せばよい。左辺は $W_1\subset W_3$ と $W_2\cap W_3\subset W_3$ から右辺に含まれる。逆に右辺の元 $u=w_1+w_2$（$w_1\in W_1$、$w_2\in W_2$、$u\in W_3$）について、$w_2=u-w_1\in W_3$ なので $w_2\in W_2\cap W_3$ であり、$u$ は左辺に属する。$\square$

段 1（代表の正規化）。$p_i=[v_i]$ とする。$v_0,\dots,v_n$ は線形独立なので $V$ の基底で、$v_{n+1}=\sum_{i=0}^na_iv_i$ と書ける。ある $a_j$ が $0$ なら、$v_{n+1}$ と $v_i$（$i\ne j$、$i\le n$）の $n+1$ 個が線形従属になり、一般の位置であることに反する。よってすべての $a_i\ne0$ で、$v_i$ を $a_iv_i$ に取りかえれば $v_{n+1}=v_0+\dots+v_n$ としてよい。同じように $q_i=[w_i]$ の代表を $w_{n+1}=w_0+\dots+w_n$ となるようにとる。
段 2（存在）。基底 $v_0,\dots,v_n$ を $w_0,\dots,w_n$ に移す線形同型 $A$ をとると、$Av_i=w_i$（$i\le n$）で、$Av_{n+1}=\sum_iw_i=w_{n+1}$ なので、$\bar A(p_i)=q_i$ である。
段 3（一意性）。$B$ も $\bar B(p_i)=q_i$ を満たすとし、$C:=A^{-1}B$ とおくと $\bar C(p_i)=p_i$ である。よって $Cv_i=\lambda_iv_i$（$i\le n$）、$Cv_{n+1}=\mu v_{n+1}$ となる $\lambda_i,\mu\in K^\times$ がある。
$$ \sum_{i=0}^n\lambda_iv_i=C\Bigl(\sum_{i=0}^nv_i\Bigr)=\mu\sum_{i=0}^nv_i $$
で $v_0,\dots,v_n$ は線形独立なので $\lambda_i=\mu$ となり、$C=\mu I$、$B=\mu A$ である。最後の主張は $V'=V$、$q_i=p_i$ の場合である（どの射影枠も動かさないので、すべての点を動かさない写像はとくにある射影枠を動かさない）。$\square$

要点：部分集合 $S$ が射影部分空間であることは「$S$ の異なる 2 点を通る直線が $S$ に含まれる」ことと同値で、この性質は $f$ と $f^{-1}$ で保たれる。次元は部分空間の真の増大列の長さで決まる。

点 $x\in\mathbb{R}^n$ を $[x:1]$ と書き、$H_\infty:=\{[d:0]\mid d\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}\}$ を無限遠超平面とする。$\mathbb{P}^n(\mathbb{R})\setminus H_\infty$ は $x\mapsto[x:1]$ で $\mathbb{R}^n$ と同一視できる。
段 1（無限遠超平面を固定する）。lem-pg-subspaces により $H':=f(H_\infty)$ は超平面である。$H'=\mathbb{P}(W')$、$H_\infty=\mathbb{P}(W_\infty)$（$W_\infty=\mathbb{R}^n\times\{0\}$）とし、$W'$ の基底を $W_\infty$ の基底に移して $\mathbb{R}^{n+1}$ 全体に延ばした線形同型を $B$ とすると、$g:=\bar B$ は $g(H')=H_\infty$ を満たす。$h:=g\circ f$ は直線を直線に移す全単射で、$h(H_\infty)=H_\infty$ だから $h$ は $\mathbb{R}^n$ を $\mathbb{R}^n$ の上へ全単射に移す。
段 2（$h$ は $\mathbb{R}^n$ のアフィン変換）。$H_\infty$ に含まれない射影直線 $L$ は、thm-pg-dimension の 2 により $H_\infty$ とちょうど 1 点 $[d:0]$ で交わり、$L$ の上の点 $[a:1]$ をとれば $L\setminus H_\infty=\{[a+td:1]\mid t\in\mathbb{R}\}$ は $\mathbb{R}^n$ の直線である。逆に $\mathbb{R}^n$ の直線 $\{a+td\}$ はこの形に書ける。$h(L)$ は直線で、$h(L)\subset H_\infty$ なら $L\subset h^{-1}(H_\infty)=H_\infty$ となるので、$h(L)\not\subset H_\infty$ である。$h$ は $H_\infty$ を $H_\infty$ の上へ全単射に移すので、$h(L\setminus H_\infty)=h(L)\setminus H_\infty$ は $\mathbb{R}^n$ の直線である。よって $h$ を $\mathbb{R}^n$ に制限した写像は、直線を直線に移す全単射で、アフィン変換 の定理「アフィン幾何の基本定理」（$n\ge2$）により、ある $T\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$、$b\in\mathbb{R}^n$ で $h([x:1])=[Tx+b:1]$ と書ける。
段 3（無限遠点も一致する）。行列 $\begin{pmatrix}T&b\\ 0&1\end{pmatrix}$ が定める射影変換を $k$ とし、$u:=k^{-1}\circ h$ とおく。$u$ は直線を直線に移す全単射で、$\mathbb{R}^n$ の各点を動かさず、$H_\infty$ を $H_\infty$ に移す（$k$ も $h$ もそうだから）。$p=[d:0]\in H_\infty$ について、$[0:1]$ と $p$ を通る直線 $L$ は $[d:1]$ を通る。$u(L)$ は $u([0:1])=[0:1]$ と $u([d:1])=[d:1]$ を通る直線なので $L$ に等しく、$u(p)\in L\cap H_\infty=\{p\}$ である。よって $u$ は恒等写像で、$f=g^{-1}\circ k$ は射影変換である。$\square$

要点：$\dim W^\perp=\dim V-\dim W$、$(W^\perp)^\perp=W$（$V^{**}=V$ と同一視）、$(W_1+W_2)^\perp=W_1^\perp\cap W_2^\perp$ の 3 つから出る。

要点：1 は $\beta$ の対称性と、$v\mapsto\beta(v,\cdot)$ が同型 $V\to V^*$ であることから出る。2 は $p=[v]$ と別の点 $[w]$ を通る直線の点 $[sv+tw]$ について $\beta(sv+tw,sv+tw)=t\bigl(2s\beta(v,w)+t\beta(w,w)\bigr)$ となることを使う。