Cartier同型

閉形式であること． $d(a^{p-1}da)=(p-1)a^{p-2}\,da\wedge da=0$ なので $a^{p-1}da\in Z^1$ である。
加法性． 整数係数の多項式 $\Phi(x,y):=\frac1p\bigl((x+y)^p-x^p-y^p\bigr)\in\mathbb Z[x,y]$ をとる。$\Omega^1_{\mathbb Z[x,y]/\mathbb Z}$ は $dx,dy$ を基底とする自由加群で $p$ 倍が単射なので、$p\,d\Phi=p\bigl((x+y)^{p-1}d(x+y)-x^{p-1}dx-y^{p-1}dy\bigr)$ から
$$ (x+y)^{p-1}d(x+y)-x^{p-1}dx-y^{p-1}dy=d\Phi(x,y) $$
が成り立つ。$x\mapsto a$、$y\mapsto b$ で $A$ に写せば、$(a+b)^{p-1}d(a+b)-a^{p-1}da-b^{p-1}db=d\Phi(a,b)$ は完全形式である。よって $a\mapsto[a^{p-1}da]$ は加法的である。
導分であること． $\delta\colon A^{(p)}\to H^1$ を $\delta(a\otimes\lambda):=\lambda[a^{p-1}da]$ で定める。$r\in R$ について $d(ra)=r\,da$ だから $(ra)^{p-1}d(ra)=r^pa^{p-1}da$ であり、$\delta((ra)\otimes\lambda)=\delta(a\otimes r^p\lambda)$ となって $\delta$ はテンソル積の上で矛盾なく定まる（加法性は上で示した）。積については
$$ (ab)^{p-1}d(ab)=a^p\,b^{p-1}db+b^p\,a^{p-1}da $$
なので、$\delta(xy)=F(x)\,\delta(y)+F(y)\,\delta(x)$（$x,y\in A^{(p)}$）が成り立つ。$H^1$ は $F$ を通して $A^{(p)}$ 加群なので、$\delta$ は $A^{(p)}$ から $H^1$ への $R$ 導分（導分）であり（$\delta(1\otimes\lambda)=0$）、Kähler 微分の普遍性により $A^{(p)}$ 線型写像 $\gamma^1\colon\Omega^1_{A^{(p)}/R}\to H^1$、$d(a\otimes\lambda)\mapsto\lambda[a^{p-1}da]$ がただ 1 つ定まる。
外積への延長． $\gamma^1(\omega)$ は 1 形式の類 $[\eta]$ で、$[\eta]\wedge[\eta]=[\eta\wedge\eta]=0$ である。次数付き可換な代数への線型写像で、像の各元の平方が $0$ になるものは、外積代数からの代数の準同型に一意に延びる（外積代数 の定理「外積代数の普遍性」）。次数 $0$ の $b\mapsto[F(b)]$ とあわせて $\gamma_A$ を得る。生成元の行き先が決まっているので一意である。自然性は生成元 $d(a\otimes1)$ の上で両辺が $[\varphi(a)^{p-1}d\varphi(a)]$ になることから従う。$\square$

$P^{(p)}$ 上の基底． $\Omega^i_{P/R}$ は $t^\beta dt_K$（$\beta\in\mathbb Z_{\ge0}^n$、$|K|=i$）を基底とする自由 $R$ 加群である。$\beta=p\gamma+w$（$0\le w_j\le p-1$）と書けば $t^\beta dt_K=F(t'^\gamma)\,t^wdt_K$ なので、$\Omega^i_{P/R}$ は $t^wdt_K$（$w\in\{0,\dots,p-1\}^n$）を基底とする自由 $P^{(p)}$ 加群である。
類への分解． $c\in\mathbb F_p^n$ と $K$ に対し、$u=u(c,K)\in\mathbb Z_{\ge0}^n$ を、$c_k\ne0$ なら $u_k$ は $c_k$ の $\{1,\dots,p-1\}$ における代表、$c_k=0$ なら $k\in K$ のとき $u_k=p$、$k\notin K$ のとき $u_k=0$ と定め、$e_{c,K}:=t^{u-\mathbf 1_K}dt_K$ とおく。$u-\mathbf 1_K\in\{0,\dots,p-1\}^n$ であり、$(c,K)\mapsto u-\mathbf 1_K$ と $K$ の組は、上の基底の添字 $(w,K)$ と一対一に対応する（逆は $c=(w+\mathbf 1_K)\bmod p$）。よって $\{e_{c,K}\}$ は $\Omega^\bullet_{P/R}$ の $P^{(p)}$ 基底である。
微分． $j\notin K$ について $t^{u-\mathbf 1_K}dt_K$ に $d$ を施すと $dt_j\wedge$ の項の係数は $(u_j-\mathbf 1_K(j))\,t^{u-\mathbf 1_K-e_j}=u_j\,t^{u-\mathbf 1_K-e_j}$ であり、$j\in K$ の変数の微分は $dt_K$ との外積で消える。$u_j\equiv c_j\pmod p$ で、$c_j\ne0$ なら $u(c,K\cup\{j\})_j=u(c,K)_j$ だから
$$ d\,e_{c,K}=\sum_{j\notin K}c_j\,\epsilon(j,K)\,e_{c,K\cup\{j\}} $$
である。ここで $\epsilon(j,K)=\pm1$ は $dt_j\wedge dt_K=\epsilon(j,K)\,dt_{K\cup\{j\}}$ で定まる符号である。したがって $\Omega^\bullet_{P/R}=\bigoplus_{c\in\mathbb F_p^n}P^{(p)}\otimes_{\mathbb F_p}C_c^\bullet$ と複体として分解する。ここで $C_c^\bullet$ は $e_K$（$K\subset\{1,\dots,n\}$）を基底とする $\mathbb F_p$ 上の外積代数 $\bigwedge\mathbb F_p^n$ に、微分 $\xi\mapsto v_c\wedge\xi$（$v_c=\sum_jc_je_j$）を入れた複体である。
非輪状性． $c\ne0$ なら $c_j\ne0$ となる $j$ をとり、$h:=c_j^{-1}\iota_j$（$\iota_j$ は $e_j$ についての縮約）とおくと、$\iota_j(v_c\wedge\xi)+v_c\wedge\iota_j\xi=c_j\,\xi$ から $dh+hd=\mathrm{id}$ である。$h$ は $P^{(p)}$ 線型に延びるので、$P^{(p)}\otimes C_c^\bullet$ は非輪状である。$c=0$ なら微分は $0$ で、$e_{0,K}=t^{p\mathbf 1_K-\mathbf 1_K}dt_K=t_K^{p-1}dt_K$ である。
結論． 以上から $H^i(\Omega^\bullet_{P/R})$ は $[t_K^{p-1}dt_K]$（$|K|=i$）を基底とする自由 $P^{(p)}$ 加群である。一方 $\Omega^i_{P^{(p)}/R}$ は $dt'_K$ を基底とする自由 $P^{(p)}$ 加群で、$\gamma_P$ は乗法的だから $\gamma_P(dt'_K)=\bigwedge_{k\in K}[t_k^{p-1}dt_k]=[t_K^{p-1}dt_K]$ である。基底を基底に写すので $\gamma_P$ は同型である。$\square$

$Y:=\operatorname{Spec}(A^{(p)}\otimes_{P^{(p)}}P)$ とし、問題の写像が定める射を $\phi\colon\operatorname{Spec}A\to Y$ とする。$A^{(p)}=A\otimes_PP^{(p)}$ は $P^{(p)}$ 上エタールで（エタール射の底変換、エタール射 の命題「合成と底変換」）、$Y$ はその $F_{P/R}$ に沿う底変換なので $\operatorname{Spec}P$ 上エタールである。$\operatorname{Spec}A$ も $\operatorname{Spec}P$ 上エタールなので、$\phi$ はエタールである（エタール射 の注意「消去律」、Stacks Tag 02GW）。
射影 $g\colon Y\to\operatorname{Spec}A^{(p)}$ は普遍同相写像 $F_{P/R}$ の底変換なので普遍同相写像であり、合成 $g\circ\phi$ は $F_{A/R}$ で、これも普遍同相写像である（Frobenius写像 の命題「相対 Frobenius は有限な普遍同相写像である」）。$g$ は単射で $g\circ\phi$ は全射だから $\phi$ は全射である。また、射が普遍単射であることは、任意の体 $K$ について $K$ に値をもつ点の写像 $\operatorname{Mor}(\operatorname{Spec}K,-)$ が単射であることと同値であり（Stacks Tag 01S4）、$g\circ\phi$ についてこれが単射なので $\phi$ についても単射である。よって $\phi$ はエタールかつ普遍単射なので開埋め込みであり（Stacks Tag 025G）、全射な開埋め込みは同型である。$\square$

一意性と乗法性は prop-ci-construct による。同型であることは局所的な問題である。滑らかな射 の定理「滑らかな射の局所構造」により、$X$ はアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$（$S$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}R$ の上にある）で覆われ、各 $A$ はエタールな準同型 $P=R[t_1,\dots,t_n]\to A$ をもつ。$\operatorname{Spec}A^{(p)}$ たちは $X^{(p)}$ を覆う（第 1 射影 $W_{X/S}\colon X^{(p)}\to X$ は位相空間の同相写像）から、$\gamma_A$ が同型であることを示せばよい。
Kähler微分の基本完全列 の第 1 基本完全列は、エタールな $P\to A$ について同型 $A\otimes_P\Omega^1_{P/R}\cong\Omega^1_{A/R}$ を与え（エタールなので $\Omega^1_{A/P}=0$ であり（エタール射 の命題「不分岐性と相対微分形式」）、エタールな準同型は形式的に滑らかなので Kähler微分の基本完全列 の定理「形式的に滑らかな拡大での分裂」により左端が単射）、外積をとって $A\otimes_P\Omega^i_{P/R}\cong\Omega^i_{A/R}$ である。lem-ci-etale と合わせると
$$ \Omega^i_{A/R}\cong A\otimes_P\Omega^i_{P/R}\cong A^{(p)}\otimes_{P^{(p)}}\Omega^i_{P/R} $$
で、この同型は $F(b)\,\omega\leftrightarrow b\otimes\omega$ と書ける。$d(F(b)\,\omega)=F(b)\,d\omega$ なので、右辺の微分は $\mathrm{id}\otimes d$ であり、複体の同型 $\Omega^\bullet_{A/R}\cong A^{(p)}\otimes_{P^{(p)}}\Omega^\bullet_{P/R}$ を得る。$A^{(p)}$ は $P^{(p)}$ 上エタール、とくに平坦なので、コホモロジーはテンソル積と交換し、$H^i(\Omega^\bullet_{A/R})\cong A^{(p)}\otimes_{P^{(p)}}H^i(\Omega^\bullet_{P/R})$ である。同様に $\Omega^i_{A^{(p)}/R}\cong A^{(p)}\otimes_{P^{(p)}}\Omega^i_{P^{(p)}/R}$ である。prop-ci-construct の自然性により、これらの同一視の下で $\gamma_A=\mathrm{id}\otimes\gamma_P$ であり、prop-ci-polynomial から $\gamma_A$ は同型である。$\square$

要点：$\omega=y^{-p}f(x)^m\,dx$ と書き、$f^m$ の各項 $c_lx^l\,dx$ のうち完全でないのは $l=p-1$ の項だけであることを使う。