壁紙群

1・2：$(A,b)\in G$ と $v\in T$ について
$$ (A,b)\,t_v\,(A,b)^{-1}=(A,\,Av+b)(A^{-1},\,-A^{-1}b)=(I,\,Av)=t_{Av} $$
なので、平行移動の部分群は正規で、$A(T)\subset T$ である。$A^{-1}=\lambda((A,b)^{-1})\in P$ にも同じことが言えるので $A^{-1}(T)\subset T$、よって $A(T)=T$ である。$\lambda$ を $G$ に制限した準同型の核は $G$ に含まれる平行移動の全体なので、準同型定理により $G/T\cong P$ である。
3：$e_1,e_2$ を $T$ の基底、$r:=\max(|e_1|,|e_2|)$ とし、$S:=\{v\in T\mid|v|\le r\}$ とおく。格子は離散部分群なので（格子(群) の定理「格子であるための条件」）、$S$ は有限集合である（同記事の補題「有界集合に含まれる点の有限性」）。$A\in P$ は長さを保ち $A(T)=T$ なので $A(S)=S$ である。$A$ は線形写像なので $Ae_1,Ae_2$ で決まり、$e_1,e_2\in S$ なので、$A$ に $S$ の置換 $A|_S$ を対応させる写像は単射である。よって $|P|\le|S|!$ である。
4：$A\in P$ を角 $\varphi$ の回転とする。$Ae_1,Ae_2\in T$ なので、基底 $e_1,e_2$ で表した $A$ の行列は整数を成分にもち、トレースは整数である。トレースは基底によらず $2\cos\varphi$ なので、$2\cos\varphi\in\{-2,-1,0,1,2\}$ で、$\varphi$ は $2\pi$ の $0$、$\frac12$、$\frac13$ か $\frac23$、$\frac14$ か $\frac34$、$\frac16$ か $\frac56$ 倍である。よって $A$ の位数は $1,2,3,4,6$ のどれかである。これは 壁紙模様の対称性 の定理「回転の角と整数のトレース」と同じ議論である。
5：要点：有限な回転の群は最小の角の回転で生成される巡回群で、鏡映 $s$ を含めば $P=R\cup sR$ となる。

$A(T)=T$ から $(A,v)(A',v')=(AA',Av'+v)$ と逆元 $(A^{-1},-A^{-1}v)$ はまた $T\rtimes P$ に属し、群である。平行移動であるのは $A=I$ の元だけなので、平行移動の格子は $T$、点群は $P$ である。表の各行：$-I$ はどの格子も保つ。$\sigma$ は $(1,0)$、$(0,2)$ を $(1,0)$、$(0,-2)$ に移す。角 $\pi/2$ の回転と $\sigma$ は $\mathbb{Z}^2$ を保つ。三角格子を複素数 $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\omega$（$\omega=e^{\pi i/3}$）とみると、角 $\pi/3$ の回転は $\omega$ 倍で、$\omega^2=\omega-1$ から $\omega(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\omega)\subset\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\omega$ である。$\sigma$ は複素共役で $\bar\omega=1-\omega$ なので格子を保つ。$C_3\subset C_6$、$D_3\subset D_6$ なので、それらも保つ。$\square$

回転 $R\ne I$ は $0$ でないベクトルを動かすので、$I-R$ は可逆である。$c=(I-R)^{-1}b$ は $c-Rc=b$ を意味し、$Rx+b=R(x-c)+c$ である。$m$ 回合成すると $R^m(x-c)+c$ で、これが恒等写像であることは $R^m=I$ と同値である。$\square$

要点：$e_1,e_2$ の張る平行四辺形を 2 つの三角形に分けると、どの点もいずれかの頂点から $|e_1|$ より近い。$\mathbb{Z}e_1+\mathbb{Z}e_2$ に入らない格子のベクトルがあれば、$|e_1|$ より短い $0$ でない格子のベクトルができて矛盾する。

1：thm-wg-point の 5 により $P_G\subset\mathrm{SO}(2)$ は回転で共役をとって $C_n$ になるが、$C_n$ は $\mathrm{SO}(2)$ の中で回転と可換なので $P_G=C_n$ で、4 により $n\in\{1,2,3,4,6\}$ である。$n\ge2$ のとき、角 $2\pi/n$ の回転 $R$ を線形部分にもつ元 $g=(R,b)\in G$ をとると、lem-wg-rotation により $g$ は位数 $n$ の回転である。$h=(R^k,b')\in G$ に対し $hg^{-k}$ の線形部分は $I$ なので $hg^{-k}=t_v$（$v\in T_G$）で、$h=t_vg^k$ と書ける。$t_vg^k=t_{v'}g^{k'}$（$0\le k,k'< n$）なら線形部分を比べて $k=k'$、よって $v=v'$ である。
2：$n=1$ なら $G=\{t_v\}\cong T_G\cong\mathbb{Z}^2$ である。$n\ge2$ のとき $T_G$ の基底 $e_1,e_2$ を、$n=2$ なら任意に、$n=3,4,6$ なら lem-wg-basis のようにとる。基底で表した $R$ の行列が $M_n$ であることを確かめる。$n=2$ は $R=-I$ である。$n=3,4,6$ では $Re_1=e_2$ で、$Re_2=R^2e_1$ を求めればよい。角 $2\pi/3$、$\pi/2$、$\pi/3$ の回転の固有多項式は $x^2+x+1$、$x^2+1$、$x^2-x+1$ なので（トレース $2\cos\varphi$、行列式 $1$）、Cayley–Hamilton の定理により $R^2=-I-R$、$-I$、$R-I$ で、$Re_2=-e_1-e_2$、$-e_1$、$e_2-e_1$ となり、行列は $M_3,M_4,M_6$ である。
$\Phi\colon\mathbb{Z}^2\rtimes_{M_n}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to G$ を $\Phi(m,k):=t_{m_1e_1+m_2e_2}\,g^k$ で定める。$g^n=\mathrm{id}$、$M_n^n=I$ なので $k$ を $n$ を法として見てよい。prf-wg-point の共役の式（$g^k$ の線形部分は $R^k$ なので $g^kt_wg^{-k}=t_{R^kw}$）から
$$ t_ug^k\,t_{u'}g^{k'}=t_u\,(g^kt_{u'}g^{-k})\,g^{k+k'}=t_{u+R^ku'}\,g^{k+k'} $$
で、$R^k$ は座標では $M_n^k$ なので $\Phi$ は準同型である。1 の一意な表示から全単射である。
3：線形部分が $I$ の元は平行移動で、単位元以外は位数無限である。線形部分が $R^k\ne I$ の元は lem-wg-rotation により位数が $R^k$ の位数に等しい回転である。$R^k$（$0< k< n$）の位数は $n$ の約数で $1$ より大きいもの全部にわたるので、集合は $n=1,2,3,4,6$ に応じて主張のとおりになる。5 つの集合は異なり、群の同型は元の位数を保つので、5 つの群は互いに同型でない。prop-wg-semidirect により 5 つとも現れる。$\square$

$\sigma$ は $T_0$ と $T_1$ を保つ（$\sigma(\frac12,\frac12)=(\frac12,-\frac12)$）ので、pm と cm は prop-wg-semidirect により壁紙群である。pg：$\sigma h=h$、$2h=(1,0)\in T_0$ なので $(\sigma,v+h)(\sigma,w+h)=(I,\sigma w+v+2h)$ は $T_0$ の平行移動で、ほかの積と逆元も同じように閉じている。平行移動であるのは $t_v$ の元だけなので、平行移動の格子は $T_0$ である。
pm と cm は鏡映 $(\sigma,0)$（位数 2）を含む。pg の元 $(\sigma,v+h)$ は $(\sigma,v+h)^2=(I,(2v_1+1,0))\ne\mathrm{id}$ を満たすので、pg の単位元以外の元はすべて位数無限で、pg は pm とも cm とも同型でない。
pm と cm は可換化 $G/[G,G]$ で区別する。要点：$G=T\rtimes\{I,\sigma\}$ では $[G,G]=(\sigma-I)T$ で、$G/[G,G]\cong T/(\sigma-I)T\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。pm では $(\sigma-I)T_0=\{0\}\times2\mathbb{Z}$ で可換化は $\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$、cm では $(\sigma-I)T_1=\{0\}\times\mathbb{Z}$ で可換化は $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ となり、位数有限の元の個数が $4$ と $2$ で異なる。