分数式

$\dfrac{x^2-1}{x^2+3x+2}$ を約分する。分母と分子を因数分解すると
$$ \frac{x^2-1}{x^2+3x+2}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)} $$
となり、分母と分子に共通の因数 $x+1$ がある。これで割って
$$ \frac{x^2-1}{x^2+3x+2}=\frac{x-1}{x+2} $$
を得る。$x=0$ を代入すると、左辺は $\frac{-1}{2}$、右辺も $\frac{-1}{2}$ で一致する。ところが $x=-1$ を代入すると、左辺は分母が $1-3+2=0$ になって値をもたないのに、右辺は $\frac{-2}{1}=-2$ という値をもつ。

$\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1}$ を 1 つの分数の形にする。分母を $(x-1)(x+1)$ にそろえると
$$ \frac1{x-1}-\frac1{x+1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}-\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x^2-1} $$
である。$x=2$ で確かめると、左辺は $1-\frac13=\frac23$、右辺は $\frac{2}{3}$ である。

1. $\dfrac{1}{x}$、$\dfrac{x^2+1}{x-3}$、$\dfrac{2x}{x^2+x+1}$ は分数式である。
2. $\dfrac{x^2+1}{3}$ は分母が定数なので分数式ではなく、整式 $\frac13x^2+\frac13$ である。
3. $\dfrac{1}{\sqrt x}$ は分母が整式でないので、この記事でいう分数式ではない。
4. $\dfrac{x}{0}$ は分母が零の整式なので、式として認めない。

1. $\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{x+1}{1}$ である。実際、$(x^2-1)\cdot1=x^2-1$、$(x-1)(x+1)=x^2-1$ で、両者は整式として一致する。つまり分母に $x$ を含む形の $\frac{x^2-1}{x-1}$ は整式 $x+1$ に等しく、分子が分母で割り切れるので分数式ではない。
   この判定が表し方によらないことを開く

   $\frac AB=\frac{A'}{B'}$ で $A=BP$（$P$ は整式）なら、$BA'=AB'=B\cdot PB'$ なので、lem-rat-no-zero-divisor の後半により $A'=B'P$ である。つまり、ある表し方で分子が分母で割り切れれば、どの表し方でも割り切れる。1 文字の場合は、既約な形（def-rat-lowest-terms）の分母が定数かどうかで判定してもよい（thm-rat-lowest-terms）。

2. $\dfrac1{x+1}=\dfrac{x-1}{x^2-1}$ である。実際、$1\cdot(x^2-1)=x^2-1$、$(x+1)(x-1)=x^2-1$ である。
3. $\dfrac{x+2}{x+3}$ と $\dfrac23$ は等しくない。$(x+2)\cdot3=3x+6$、$(x+3)\cdot2=2x+6$ で、$x$ の係数が $3$ と $2$ で違う。分子と分母の $x$ を「消す」ことはできない。

1. 和：$\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x(x+1)+1\cdot(x+1)}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)^2}{(x+1)^2}=1$。分数式どうしの和が整式になることがある。
2. 積：$\dfrac{x^2-4}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{(x^2-4)(x+1)}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{(x-2)(x+2)(x+1)}{(x-2)(x+1)}=x+2$。
3. 商：$\dfrac{x}{x-1}\mathbin{÷}\dfrac{x^2}{x^2-1}=\dfrac{x(x^2-1)}{(x-1)x^2}=\dfrac{x(x-1)(x+1)}{x\cdot x(x-1)}=\dfrac{x+1}{x}$。

$\dfrac{1+\frac1x}{1-\frac1x}$ を簡単にする。分子は $1+\frac1x=\frac{x+1}x$、分母は $1-\frac1x=\frac{x-1}x$ なので、def-rat-operations の商により
$$ \frac{1+\frac1x}{1-\frac1x}=\frac{x+1}x\mathbin{÷}\frac{x-1}x=\frac{(x+1)x}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x-1} $$
となる。最後の等号は共通の因数 $x$ での約分である。$x=2$ で確かめると、もとの式は $\frac{3/2}{1/2}=3$、結果も $\frac31=3$ である。

$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ と $g(x)=x+1$ は、ex-rat-equal-check の 1 により式として等しい。

• $x\ne1$ のすべての実数 $x$ で、thm-rat-values により $f(x)=g(x)$ である。たとえば $x=3$ では $f(3)=\frac{8}{2}=4=g(3)$。
• $x=1$ では $g(1)=2$ だが、$f(1)$ は分母が $0$ で定まらない。
  関数としてグラフを描くと、$y=f(x)$ は直線 $y=x+1$ から点 $(1,2)$ を 1 つ抜いたものになる。「分数式の計算で答えを出したら、もとの式で分母が $0$ になる値を除く」という高校の注意は、この違いのことである。

$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac1x-\dfrac1{x+1}$ を確かめる。右辺を通分すると $\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{1}{x(x+1)}$ で、def-rat-equal の意味で等しい。
数値の代入だけでも確かめられる。分母を払った整式はどちらも 2 次なので、thm-rat-identity の後の注意により、$x\ne0,-1$ の相異なる 3 点で値が一致すれば式として等しい。

1. $\dfrac{x-1}{x+2}$ は既約である。分子は 1 次式なので、次数 $1$ 以上の約数は $x-1$ の定数倍だけであり、$x-1$ は $x+2$ を割り切らない（剰余の定理と因数定理 により、$x=1$ を代入した $3$ が $0$ でないから）。
2. $\dfrac{x^3+1}{x^2-1}$ は既約でない。$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$、$x^2-1=(x+1)(x-1)$ で、共通の因数 $x+1$ をもつ。約分すると既約な $\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$ になる。$x^2-x+1$ に $x=1$ を代入すると $1\ne0$ なので、$x-1$ は分子を割り切らない。

1. $\dfrac{x^2+1}{x-1}$：$x^2+1=(x-1)(x+1)+2$ なので $\dfrac{x^2+1}{x-1}=x+1+\dfrac2{x-1}$。$x=3$ で確かめると、左辺 $\frac{10}{2}=5$、右辺 $4+1=5$。
2. $\dfrac{2x^3+3x^2-x+5}{x^2+1}$：割り算をすると商 $2x+3$、余り $-3x+2$ なので、$\dfrac{2x^3+3x^2-x+5}{x^2+1}=2x+3+\dfrac{-3x+2}{x^2+1}$。

$x>0$、$y>0$ のとき、
$$ \frac{a^2}x+\frac{b^2}y-\frac{(a+b)^2}{x+y} $$
を通分する。分母を $xy(x+y)$ にそろえると、分子は
$$ a^2y(x+y)+b^2x(x+y)-(a+b)^2xy=a^2y^2+b^2x^2-2abxy=(ay-bx)^2 $$
となる（$a^2xy$ と $b^2xy$ は打ち消し合う）。よって
$$ \frac{a^2}x+\frac{b^2}y-\frac{(a+b)^2}{x+y}=\frac{(ay-bx)^2}{xy(x+y)}\ge0 $$
であり、等号は $ay=bx$ のときに成り立つ。

$\dfrac1x$ と $x$ は、$x=1$ でも $x=-1$ でも値が一致する（$1=1$、$-1=-1$）。しかし分母を払った $1\cdot1=1$ と $x\cdot x=x^2$ は整式として違うので、式としては等しくない。実際 $x=2$ では $\frac12\ne2$ である。値が一致するのは $x^2=1$ の 2 点だけで、thm-rat-identity の「無限に多くの点」には足りない。分母を払った整式は 2 次なので、thm-rat-identity の後の注意でいう「3 点」にも足りない。

$\dfrac1{x+1}$ と $\dfrac{x-1}{x^2-1}$ は等しい（ex-rat-equal-check の 2）。前者は既約だが、後者は分母と分子に共通の因数 $x-1$ があり既約でない。分子 $1$ と $x-1$ は定数倍の関係にない。thm-rat-lowest-terms の結論は、両方が既約であるときにだけ保証される。

$\dfrac1{x+1}$ と $\dfrac1x+\dfrac11$ は等しくない。後者を通分すると $\frac{1+x}{x}$ で、分母を払った $1\cdot x=x$ と $(x+1)(x+1)=x^2+2x+1$ は違う。$x=1$ でも $\frac12\ne2$ である。分子の和は $\frac{A+C}B=\frac AB+\frac CB$ と分けられるが、分母の和は分けられない。