Poincaré–Hopfの定理

球面の写像度は、対の写像 $f\colon(\bar D_\varepsilon,\bar D_\varepsilon\setminus\{0\})\to(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\setminus\{0\})$ が局所ホモロジー $H_n(\,\cdot\,,\,\cdot\setminus\{0\})\cong\mathbb{Z}$（向きの生成元どうしを対応させる）に誘導する整数に等しい（Euler類 の定理「零点の指数の和と Euler 数」の証明の第 4 段）。この整数を $f$ の原点での 局所写像度 と呼ぶ。局所写像度は、原点の近くでだけ定まった写像の合成について積になる（局所ホモロジーの関手性と切除）。また、零点を原点だけにもつ写像の族 $F_t$ が $t$ について連続なら、局所写像度は変わらない。
別の座標 $\psi$ をとり、$h:=\psi\circ\varphi^{-1}$（原点の近くで定義された微分同相、$h(0)=0$）、$A(y):=dh_{h^{-1}(y)}$ とおくと、$\psi$ での表示は $g(y)=A(y)\,f(h^{-1}(y))$ である。

1. $F_t(y):=A(ty)\,f(h^{-1}(y))$（$0\le t\le1$）は $A(ty)$ が正則なので原点の近くで原点以外に零点をもたず、$g$ と $A(0)\,(f\circ h^{-1})$ をつなぐ。
2. $H_t(y):=h^{-1}(ty)/t$（$0< t\le1$）、$H_0(y):=A(0)^{-1}y$ は $h^{-1}$ の微分可能性により連続な族であり、小さな球面の上で零にならない。よって $h^{-1}$ の局所写像度は線形写像 $A(0)^{-1}$ のものに等しい。
3. 正則な線形写像 $B$ の局所写像度は $\operatorname{sign}\det B$ である（下の lem-ph-nondegenerate の証明の後半）。
   以上と積の性質から、$g$ の局所写像度は $\operatorname{sign}\det A(0)\cdot\operatorname{ind}(f)\cdot\operatorname{sign}\det A(0)^{-1}=\operatorname{ind}(f)$ である。$\square$

$c:=1/\|A^{-1}\|$（作用素ノルム）とすると $|Ay|\ge c|y|$ である。$f$ は原点で微分可能なので、$\rho>0$ を $|y|\le\rho$ で $|f(y)-Ay|\le\frac c2|y|$ となるようにとれる。すると $0<|y|\le\rho$ で $|f(y)|\ge\frac c2|y|>0$ なので、原点は孤立零点である。
$0< t\le1$ と $|y|=\rho$ について $F_t(y):=f(ty)/t$、$F_0(y):=Ay$ とおく。$|F_t(y)-Ay|=|f(ty)-A(ty)|/t\le\frac c2|y|<|Ay|$ なので $F_t(y)\ne0$ であり、$F$ は $[0,1]\times S_\rho$ の上で連続である（$t\to0$ での連続性は微分の定義による）。$F_t/|F_t|$ は $g_\rho$ と $y\mapsto Ay/|Ay|$ のホモトピーだから、指数は線形写像 $A$ の写像度 $\deg(Ay/|Ay|)$ に等しい。
$A$ を極分解 $A=QP$（$Q$ は直交行列、$P=(A^{\top}A)^{1/2}$ は正定値対称行列）に分ける。$P_s:=(1-s)P+sI$（$0\le s\le1$）は正定値なので $QP_s$ は正則であり、$QP_sy/|QP_sy|$ は $A$ から $Q$ へのホモトピーである。写像度 の命題「直交変換の写像度」により $\deg Q=\det Q$ であり、$\det A=\det Q\det P$、$\det P>0$ なので、指数は $\operatorname{sign}\det A$ である。$\square$

Morse関数の存在 の系「Morse関数の存在」により、$M$ の上の Morse 関数 $h$ がある。$M$ に Riemann 計量 $\langle\ ,\ \rangle$ を 1 つとり（Lee13 Proposition 13.3、p. 329）、$h$ の勾配 $v:=\operatorname{grad}h$（$\langle v,w\rangle=dh(w)$ で定まるベクトル場）を考える。$v_p=0$ と $dh_p=0$ は同値なので、$v$ の零点は $h$ の臨界点であり、すべて非退化である。非退化臨界点は孤立し（Morse関数 の系「非退化臨界点は孤立する」）、$M$ はコンパクトなので零点は有限個である。
臨界点 $p$ のまわりの座標 $x$（$x(p)=0$）で計量を正定値対称行列 $G(x)$ で表すと、$v$ の表示は $f(x)=G(x)^{-1}\nabla h(x)$ である。$\nabla h(0)=0$ なので積の微分は $df_0=G(0)^{-1}\,\mathrm{Hess}\,h(0)$ となる。$\det G(0)^{-1}>0$ であり、$\mathrm{Hess}\,h(0)$ の負の固有値の個数は Morse 指数 $\lambda_p$ に等しい（Morse関数 の補題「指数と対角化」とその後の注意）。固有値の積が行列式なので $\operatorname{sign}\det df_0=(-1)^{\lambda_p}$ であり、lem-ph-nondegenerate により $\operatorname{ind}_p(v)=(-1)^{\lambda_p}$ である。
指数 $\lambda$ の臨界点の個数を $c_\lambda$ とすると
$$ \sum_{v_p=0}\operatorname{ind}_p(v)=\sum_{\lambda=0}^n(-1)^\lambda c_\lambda=\chi(M) $$
であり、最後の等号は Morse理論 の定理「Morse の不等式」の 4 である（$\mathbb{Q}$ 係数の Betti 数の交代和は、整係数ホモロジーの階数の交代和 $\chi(M)$ に等しい）。$\square$

$\pi\colon\tilde M\to M$ を向きの 2 重被覆とする。$\tilde M$ は向き付けられた閉多様体で、$\pi$ は 2 対 1 の局所微分同相である（Lee13 Proposition 15.40、p. 394。$M$ の連結成分ごとに作る。$M$ が向き付け可能な成分では $\tilde M$ はその成分の 2 つの写しである（同 Theorem 15.41、p. 395））。
$v$ の持ち上げを $\tilde v_{\tilde q}:=(d\pi_{\tilde q})^{-1}(v_{\pi(\tilde q)})$ と定めると、$\tilde v$ は連続なベクトル場で、零点の全体は $v$ の零点の逆像（各零点の上に 2 点）である。$\tilde p\in\pi^{-1}(p)$ の小さな近傍 $\tilde U$ を $\pi$ が微分同相に写すとき、$p$ のまわりの座標 $\varphi$ に対し $\varphi\circ\pi$ は $\tilde p$ のまわりの座標であり、この 2 つの座標での $v$ と $\tilde v$ の表示は同じ写像である。prop-ph-index-chart により $\operatorname{ind}_{\tilde p}(\tilde v)=\operatorname{ind}_p(v)$ であり、
$$ \sum_{\tilde v_{\tilde p}=0}\operatorname{ind}_{\tilde p}(\tilde v)=2\sum_{v_p=0}\operatorname{ind}_p(v) $$
となる。
$\tilde M$ は向き付けられた閉多様体なので、接束 $T\tilde M$ に $\tilde M$ の向きから定まる向きを入れれば、Euler類 の定理「零点の指数の和と Euler 数」により左辺は $\langle e(T\tilde M),[\tilde M]\rangle$ に等しい。そこでの指数は向きを保つ座標と、その微分による自明化で定めたもので、prop-ph-index-chart により def-ph-index の指数と一致する。右辺の和はしたがって $\frac12\langle e(T\tilde M),[\tilde M]\rangle$ であり、$v$ によらない。$\square$

lem-ph-gradient のベクトル場 $v_0$ では指数の和が $\chi(M)$ である。prop-ph-independence により、零点が有限個の任意の連続なベクトル場 $v$ の指数の和は $v_0$ のものに等しい。よって $\sum\operatorname{ind}_p(v)=\chi(M)$ である。$\chi(M)\ne0$ のとき、零点のないベクトル場があれば指数の和は空の和 $0$ となって矛盾する。零点が無限個の場合は、もとより零点をもつ。$\square$

lem-ph-gradient により零点が有限個のベクトル場 $v$ がある。$-v$ の零点は $v$ と同じで、各零点で $-v$ の $g_\varepsilon$ は $v$ の $g_\varepsilon$ に対蹠写像 $u\mapsto-u$ を合成したものである。$S^{n-1}$ の対蹠写像の写像度は $\det(-I_n)=(-1)^n$ なので（写像度 の命題「直交変換の写像度」）、$\operatorname{ind}_p(-v)=(-1)^n\operatorname{ind}_p(v)$ である。thm-ph-main を $v$ と $-v$ に使うと $\chi(M)=(-1)^n\chi(M)$ となり、$n$ が奇数なら $\chi(M)=0$ である。$\square$

$\chi(S^{2k})=1+(-1)^{2k}=2$、$\chi(\Sigma_g)=2-2g$ であり（Euler標数）、どちらも $0$ でないので thm-ph-main の最後の主張による。$\square$