整数

反射律は $a+b=b+a$ から $(a,b)\sim(a,b)$。対称律は、$a+d=b+c$ なら交換律により $c+b=d+a$ なので $(c,d)\sim(a,b)$ である。
推移律を示す。$(a,b)\sim(c,d)$ と $(c,d)\sim(e,f)$ なら
$$ a+d=b+c, \qquad c+f=d+e. $$
二式を加えると
$$ a+d+c+f=b+c+d+e. $$
自然数の加法の消去律で $c+d$ を両辺から消去して $a+f=b+e$ を得る。したがって $(a,b)\sim(e,f)$ である。

$(a,b)\sim(a',b')$ と $(c,d)\sim(c',d')$ を仮定する。すなわち
$$ a+b'=b+a', \qquad c+d'=d+c'. $$
二式を加えれば
$$ (a+c)+(b'+d')=(b+d)+(a'+c') $$
なので $(a+c,b+d)\sim(a'+c',b'+d')$ であり、加法は代表元によらない。
乗法は一方の代表元ずつ取り替える。$(a,b)\sim(a',b')$ とすると
$$ \begin{aligned} &(ac+bd)+(a'd+b'c)\\ &=c(a+b')+d(b+a')\\ &=c(b+a')+d(a+b')\\ &=(ad+bc)+(a'c+b'd). \end{aligned} $$
したがって
$$ (ac+bd,ad+bc)\sim(a'c+b'd,a'd+b'c). $$
同じ計算を $(c,d)\sim(c',d')$ に適用して第2の代表元も取り替えられる。推移律により積の同値類は両方の代表元によらない。

$p=[(a,b)]$、$q=[(c,d)]$、$r=[(e,f)]$ とする。加法の結合律と交換律は自然数の加法から成分ごとに従い、$p+0=p$ である。また
$$ p+(-p)=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]=0 $$
なので $(\mathbb Z,+)$ は可換群である。
積の交換律は自然数の加法・乗法の交換律から従う。単位元について
$$ [(a,b)]\,[(1,0)]=[(a,b)] $$
である。結合律は両辺を代表元で展開すれば確認できる。実際 $(pq)r$ の正成分と負成分はそれぞれ
$$ ace+bde+adf+bcf, \qquad acf+bdf+ade+bce $$
であり、$p(qr)$ も自然数の交換律・結合律により同じ二成分を持つ。分配律について、$p(q+r)$ の正成分は
$$ a(c+e)+b(d+f)=ac+ae+bd+bf $$
で、$pq+pr$ の正成分と等しい。負成分も
$$ a(d+f)+b(c+e)=ad+af+bc+be $$
で一致する。右分配律は可換性から従う。よって $\mathbb Z$ は単位的可換環である。
零因子がないことを示す。自然数の全順序により、任意の整数は一意に $[(n,0)]$ または $[(0,n)]$ の形に書ける。ただし $n=0$ では両表示が同じである。実際 $a\ge b$ なら $a=b+n$ となる $n$ があり $[(a,b)]=[(n,0)]$、$a< b$ なら $b=a+n$ となる正の $n$ があり $[(a,b)]=[(0,n)]$ である。$[(m,0)]=[(n,0)]$ なら $m=n$ であり、$m,n>0$ について $[(m,0)]=[(0,n)]$ なら $m+n=0$ となって矛盾するので、この表示は一意である。非零整数二つの積は、符号に応じて $[(mn,0)]$ または $[(0,mn)]$ となる。$m,n>0$ なら自然数の零積性により $mn>0$ なので積は零でない。したがって $\mathbb Z$ は整域である。

$[(m,0)]=[(n,0)]$ なら同値関係の定義から $m+0=0+n$、すなわち $m=n$ なので単射である。また定義から
$$ [(m,0)]+[(n,0)]=[(m+n,0)], $$
$$ [(m,0)]\,[(n,0)]=[(mn,0)] $$
である。順序の保存は次節の定義から直ちに従う。

条件 $a+d+n=b+c$ は、形式的な差について $w-z$ が自然数 $n$ であることを表す。$(a,b)\sim(a',b')$、$(c,d)\sim(c',d')$ とすると、$a+b'=b+a'$ および $c+d'=d+c'$ である。$a+d+n=b+c$ なら
$$ \begin{aligned} a'+d'+n+b+c &=(a'+b)+(d'+c)+n\\ &=(a+b')+(d+c')+n\\ &=(b+c)+b'+c'. \end{aligned} $$
両辺から $b+c$ を消去して $a'+d'+n=b'+c'$ を得るので、この条件は代表元によらない。
反射律は $n=0$ で成り立つ。$z\le w$ と $w\le z$ の証人を $n,m$ とすると、二式を加えて自然数の消去律を用いることにより $n+m=0$ を得る。よって $n=m=0$ であり $z=w$ である。$z\le w$ と $w\le u$ の証人が $n,m$ なら、二式を加えることで $n+m$ が $z\le u$ の証人になるため推移律が成り立つ。
全比較について、自然数 $a+d$ と $b+c$ は比較可能である。$a+d\le b+c$ なら $a+d+n=b+c$ となる $n$ が存在して $z\le w$、逆なら $w\le z$ である。したがって全順序である。
$u=[(e,f)]$ を両辺に加えると、$z\le w$ を表す等式の両辺に $e+f$ が加わるので順序は加法で保たれる。$0\le z$、$0\le w$ なら $z=[(m,0)]$、$w=[(n,0)]$ と書け、積は $[(mn,0)]\ge0$ である。

1 について。$0< z$ なら $z$ は正の整数 $n\ge1$ であり、$1\le n$ なので $z< 1$ と両立しない。一般の $a$ については、$a< z< a+1$ の各辺から $a$ を引くと、thm-integer-ordered-ring の 1 により $0< z-a< 1$ となり、前半に帰着する。
2 について。$S$ が $b$ で下に有界、すなわちすべての $s\in S$ で $b\le s$ とする。$T:=\{s-b\mid s\in S\}$ の元はすべて $0$ 以上なので自然数であり、$T$ は空でない $\mathbb N$ の部分集合である。整列性により $T$ は最小元 $t_0$ をもつ。$s_0:=t_0+b\in S$ とおくと、任意の $s\in S$ で $s-b\ge t_0$ だから $s\ge s_0$ であり、$s_0$ は $S$ の最小元である。上に有界な $S$ については、$-S:=\{-s\mid s\in S\}$ が下に有界になる。$z\le w$ と $-w\le-z$ は同値なので（両辺に $-z-w$ を加える）、$-S$ の最小元 $m$ に対して $-m$ が $S$ の最大元である。
3 について。$z,w$ の符号で場合を分ける。def-integer-operations から
$$ [(m,0)][(n,0)]=[(mn,0)],\quad [(m,0)][(0,n)]=[(0,mn)],\quad [(0,m)][(0,n)]=[(mn,0)] $$
であり、どの場合も積の絶対値は $mn=\lvert z\rvert\,\lvert w\rvert$ である。$z$ または $w$ が $0$ なら両辺とも $0$ である。$zw=1$ なら $\lvert z\rvert\,\lvert w\rvert=1$ であり、自然数の積が $1$ になるのは両方が $1$ のときに限るので $\lvert z\rvert=\lvert w\rvert=1$、すなわち $z,w\in\{1,-1\}$ である。上の 3 つの式から、積が $1=[(1,0)]$ になるのは符号が等しい場合、すなわち $z=w=1$ または $z=w=-1$ の場合に限る。$\square$

$n\in\mathbb N$ に対して、$n\cdot1_R$ を $1_R$ の $n$ 回の和とし、
$$ \varphi_R([(a,b)]):=a\cdot1_R-b\cdot1_R $$
と定める。$(a,b)\sim(c,d)$ なら $a+d=b+c$ なので、$R$ の加法群で移項して
$$ a\cdot1_R-b\cdot1_R =c\cdot1_R-d\cdot1_R. $$
よってwell-definedである。定義から加法を保つ。さらに整数倍の単位元は $R$ の中心にあり、
$$ \begin{aligned} \varphi_R([(a,b)]\,[(c,d)]) &=(ac+bd-ad-bc)\cdot1_R\\ &=(a\cdot1_R-b\cdot1_R)(c\cdot1_R-d\cdot1_R) \end{aligned} $$
なので乗法も保つ。また $\varphi_R(1)=1_R$ である。
一意性を示す。単位元を保つ環準同型 $\psi:\mathbb Z\to R$ は $\psi(1)=1_R$ を満たす。加法性から $\psi(n)=n\cdot1_R$、$\psi(-n)=-n\cdot1_R$ でなければならない。すべての整数は $n$ または $-n$ の形なので $\psi=\varphi_R$ である。