分割位相

1. 類の合併 $\bigcup\mathcal{Q}$ の補集合は残りの類の合併 $\bigcup(\mathcal{P}\setminus\mathcal{Q})$ であり、開集合である。
2. 各点 $x$ の開近傍はすべて $C_x$ を含み、$C_x$ 自身が開近傍なので、$x\in\overline{A}$ と $C_x\cap A\neq\emptyset$ は同値であり、$x\in\operatorname{int}A$ と $C_x\subset A$ は同値である。
3. 類 $C$ の相対開集合は $\bigcup\mathcal{Q}\cap C$ の形で、$C\in\mathcal{Q}$ なら $C$、そうでなければ空集合である。密着空間は連結であり、どの写像も連続なので弧状連結でもある（相異なる二点 $a,b$ に対し、$t<1$ で $a$、$t=1$ で $b$ をとる写像が道になる）。二つの類と交わる集合 $S$ は、一方の類 $C$ について $S\cap C$ と $S\setminus C$ という空でない相対開集合に分かれ、連結でない。よって類は極大な連結集合であり、弧状連結成分も類に一致する。
4. $\mathcal{P}$ の任意の部分集合 $\mathcal{Q}$ について $\pi^{-1}(\mathcal{Q})=\bigcup\mathcal{Q}$ は開集合なので、$\mathcal{Q}$ は商位相で開集合である。
5. $f$ が各類の上で定数なら、$Y$ の開集合 $V$ の逆像は $V$ に入る値をとる類の合併なので開集合である。逆に $f$ が連続で $y\in C_x$ とする。$f(y)$ を含む開集合 $V$ について、$f^{-1}(V)$ は $y$ を含む開集合なので $C_y=C_x$ を含み、$f(x)\in V$ である。$x$ と $y$ の役割を入れ替えても同じなので、$f(x)$ と $f(y)$ は同じ開集合に属し、$Y$ が $T_0$ なら $f(x)=f(y)$ である。$\square$

開集合がすべて閉なら、閉集合もすべて開である（閉集合 $F$ の補集合は開集合なので閉集合でもあり、$F$ はその補集合として開集合になる）。開集合の任意個の共通部分は閉集合の共通部分なので閉集合であり、したがって開集合である。よって $C_x$ は $x$ を含む最小の開集合である。
$y\in C_x$ なら $C_y=C_x$ であることを示す。$C_x$ は $y$ を含む開集合なので $C_y\subset C_x$ である。$x\notin C_y$ と仮定すると、$C_y$ は閉集合でもあるので $X\setminus C_y$ は $x$ を含む開集合であり、$C_x\subset X\setminus C_y$ となるが、これは $y\in C_x\cap C_y$ に反する。よって $x\in C_y$、$C_x\subset C_y$ である。
したがって二つの集合 $C_x,C_y$ は一致するか交わらず、$\{C_x\mid x\in X\}$ は分割である。任意の開集合 $U$ は $U=\bigcup_{x\in U}C_x$ と類の合併で書け、逆に類の合併は開集合の合併なので開集合である。$\square$

1. 二点 $x\neq y$ が同じ類に入れば、どちらかを含む開集合は類を含むので両方を含み、区別できない。類がすべて一点なら離散空間である。
2. 閉集合 $A$ と $b\notin A$ について、$A$ は類の合併なので $C_b\cap A=\emptyset$ であり、$C_b$ と $A$ が互いに素な開集合として分ける。$A$ 上で $1$、$X\setminus A$ 上で $0$ をとる関数は各類の上で定数なので連続であり（thm-partition-basic の 5）、完全正則性条件の関数になる。互いに素な閉集合はそれ自身が互いに素な開集合である。$A,B$ が分離されている（$\overline{A}\cap B=A\cap\overline{B}=\emptyset$）とき、$\overline{A}$ は $A$ と交わる類の合併なので $B$ と交わる類を含まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ は $A,B$ を含む互いに素な開集合である。$\square$

$d$ は対称で非負、$d(x,x)=0$ である。三角不等式 $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ は、$C_x=C_z$ なら左辺が $0$、$C_x\neq C_z$ なら $y$ は $C_x$ と $C_z$ の少なくとも一方に入らないので右辺が $1$ 以上となって成り立つ。開球 $B(x,\varepsilon)$ は $0<\varepsilon\le1$ なら $C_x$、$\varepsilon>1$ なら $X$ なので、開球の合併として書ける集合は類の合併に一致する。二点以上の類があれば $X$ は $T_0$ でない（prop-partition-separation の 1）が、距離空間は Hausdorff なので $T_0$ であり、$X$ は距離化可能でない。$\square$

1. 類は可算個なので、開基 $\mathcal{P}$ は可算である。第2可算空間は第1可算、可分、Lindelöf である（第2可算公理 の命題「三つの帰結」）。
2. 空でない $A$ の点 $a$ をとり、$a$ と同じ類の別の点 $a'$ をとる（類はどれも二点以上をもつ）。$a'$ の開近傍はすべて類 $C_{a'}$ を含み、$a'$ と異なる $A$ の点 $a$ を含むので、$a'$ は $A$ の集積点である。
3. 類の族 $\mathcal{P}$ は可算な開被覆で、類は互いに交わらないので有限部分被覆をもたない。点列コンパクトな空間は可算コンパクトである（可算コンパクト空間 の命題「点列コンパクト空間は可算コンパクト」）から、点列コンパクトでもない。
4. 点 $x$ の最小の開近傍 $C_x$ と $D$ はちょうど一点で交わる。したがって、任意の近傍が $D$ の点を無限個含むような点はない。
5. thm-partition-basic の 4・5 による。$\mathbb{Z}_{>0}$ の離散位相では、どの点も開近傍 $\{n\}$ をもつので、無限集合 $\mathbb{Z}_{>0}$ は集積点をもたない。$\square$