部分分数分解

$f$ を $f/b$ に置き換えれば $b=1$、すなわち $g$ はモニックとしてよい。$n:=\deg g$、$d_i:=\deg p_i$ とし、$V_m$ を次数が $m$ 未満の多項式（$0$ を含む）のなす $K$ 上のベクトル空間とする（$\dim V_m=m$）。$j\le e_i$ なので $g/p_i^{\,j}$ は多項式である。線形写像
$$ \Phi\colon W:=\prod_{i=1}^{r}\prod_{j=1}^{e_i}V_{d_i}\longrightarrow V_n,\qquad (a_{ij})_{i,j}\longmapsto\sum_{i,j}a_{ij}\,\frac{g}{p_i^{\,j}} $$
を考える。$\deg\bigl(a_{ij}g/p_i^{\,j}\bigr)\le(d_i-1)+n-jd_i\le n-1$ なので、値は確かに $V_n$ に入る。$\dim W=\sum_ie_id_i=\deg g=n=\dim V_n$ である。
段 1：$\Phi$ は単射である。 $\Phi((a_{ij}))=0$ で、ある $a_{ij}\ne0$ があるとする。そのような $i$ を 1 つ固定し、$a_{ij}\ne0$ となる最大の $j$ を $j_0$ とし、$s:=e_i-j_0+1\ge1$、$G_i:=g/p_i^{\,e_i}=\prod_{i'\ne i}p_{i'}^{\,e_{i'}}$ とおく。和 $\sum a_{i'j}g/p_{i'}^{\,j}=0$ の各項を見ると、

• $i'\ne i$ の項は、$g/p_{i'}^{\,j}$ が $p_i^{\,e_i}$ を因子にもつので $p_i^{\,s}$ で割り切れる。
• $i'=i$、$j< j_0$ の項は、$g/p_i^{\,j}=G_ip_i^{\,e_i-j}$ で $e_i-j\ge s$ なので $p_i^{\,s}$ で割り切れる。$j>j_0$ の項は $a_{ij}=0$ である。
  したがって残りの項 $a_{ij_0}G_ip_i^{\,e_i-j_0}=a_{ij_0}G_ip_i^{\,s-1}$ も $p_i^{\,s}$ で割り切れ、$K[x]$ が整域であることから $p_i\mid a_{ij_0}G_i$ となる。$p_i$ は $G_i=\prod_{i'\ne i}p_{i'}^{\,e_{i'}}$ を割り切らない（割り切るなら、下の Euclid の補題によりある $p_{i'}$（$i'\ne i$）を割り切り、どちらもモニックな既約多項式なので $p_i=p_{i'}$ となって、$p_i$ が相異なることに反する）。多項式環 の記事の命題「既約多項式に関する Euclid の補題」により $p_i\mid a_{ij_0}$ となるが、$\deg a_{ij_0}< d_i$ なので $a_{ij_0}=0$ である。これは $j_0$ のとり方に反する。

段 2：$\Phi$ は全単射である。 段 1 と $\dim W=\dim V_n$ から、単射な線形写像 $\Phi$ は全単射である（線形写像 の記事の定理「次元定理の言明」により、核が $0$ なら像の次元は $\dim W=\dim V_n$ に等しい）。
存在。 $f$ を $g$ で割って $f=hg+r$（$\deg r< n$）とする（多項式 の記事の定理「多項式の除法」）。段 2 により $r=\Phi((a_{ij}))$ となる $(a_{ij})\in W$ がある。両辺を $g$ で割れば $f/g=h+\sum_{i,j}a_{ij}/p_i^{\,j}$ である。
一意性。 2 つの表示 $h+\sum a_{ij}/p_i^{\,j}=h'+\sum a'_{ij}/p_i^{\,j}$ があれば、両辺に $g$ を掛けて $(h-h')g=\Phi((a'_{ij}-a_{ij}))\in V_n$ を得る。$h\ne h'$ なら左辺の次数は $n$ 以上なので、$h=h'$ である。すると $\Phi((a'_{ij}-a_{ij}))=0$ であり、段 1 により $a_{ij}=a'_{ij}$ である。
最後に、存在の構成で $h$ は $f$ を $g$ で割った商だったので、一意性によりどの部分分数分解の $h$ もこの商である。$\deg f< \deg g$ なら商は $0$ である。$\square$

1. 部分分数分解の両辺に $g$ を掛けると
   $$ f=\sum_{i'=1}^{r}\sum_{k=1}^{m_{i'}}c_{i'k}\,\frac{g}{(x-\alpha_{i'})^k} $$
   である。$i'\ne i$ の項の $g/(x-\alpha_{i'})^k$ は $(x-\alpha_i)^{m_i}$ を因子にもつ。$i'=i$ の項は $g/(x-\alpha_i)^k=G_i(x-\alpha_i)^{m_i-k}$ なので、それらの和は $G_iP_i$ である。よって $f\equiv G_iP_i\pmod{(x-\alpha_i)^{m_i}}$ で、$\deg P_i< m_i$ である。逆に $P$ も同じ条件を満たすとすると、$(x-\alpha_i)^{m_i}$ が $G_i(P-P_i)$ を割り切る。$G_i(\alpha_i)\ne0$ なので既約多項式 $x-\alpha_i$ は $G_i$ を割り切らず、Euclid の補題（多項式環 の記事の命題「既約多項式に関する Euclid の補題」）を $m_i$ 回使うと $(x-\alpha_i)^{m_i}\mid P-P_i$ を得る。$\deg(P-P_i)< m_i$ なので $P=P_i$ である。
2. 1 の合同式に $x=\alpha_i$ を代入すると（$(x-\alpha_i)^{m_i}$ の倍数は $\alpha_i$ で $0$ になる）、$f(\alpha_i)=G_i(\alpha_i)P_i(\alpha_i)=G_i(\alpha_i)c_{i,m_i}$ である。$m_i=1$ なら $g=(x-\alpha_i)G_i$ で、積の微分により $g'(\alpha_i)=G_i(\alpha_i)$ である。
3. 1 により $f-G_iP_i=(x-\alpha_i)^{m_i}R$ となる多項式 $R$ があり、$\alpha_i$ の近くで $G_i\ne0$ だから、そこで
   $$ \varphi_i-P_i=\frac{f-G_iP_i}{G_i}=(x-\alpha_i)^{m_i}\,\psi,\qquad\psi:=\frac{R}{G_i} $$
   である。$\psi$ は $\alpha_i$ の近くで何回でも微分できる。Leibniz の公式により、$s< m_i$ のとき $\bigl((x-\alpha_i)^{m_i}\psi\bigr)^{(s)}$ の各項は $(x-\alpha_i)^{m_i-t}$（$t\le s$）を因子にもち、$\alpha_i$ で $0$ になる。よって $\varphi_i^{(s)}(\alpha_i)=P_i^{(s)}(\alpha_i)$ であり、$P_i=\sum_{s=0}^{m_i-1}c_{i,m_i-s}(x-\alpha_i)^{s}$ から $P_i^{(s)}(\alpha_i)=s!\,c_{i,m_i-s}$ である。$k=m_i-s$ とおけば主張を得る。$\square$

すべての根が単根なので、thm-pf-coefficients の 2 から 1 つ目の式が従う。積の微分により $g'(\alpha_i)=\prod_{j\ne i}(\alpha_i-\alpha_j)$ であり、1 つ目の式の両辺に $g$ を掛けると $g/(x-\alpha_i)=\prod_{j\ne i}(x-\alpha_j)$ なので 2 つ目の式になる。$\square$

prf-pf-coefficients の 1 の最初の式 $f=\sum_{i,k}c_{ik}\,g/(x-\alpha_i)^k$ で、$g/(x-\alpha_i)^k$ は次数 $n-k$、最高次の係数 $b$ の多項式である。$x^{n-1}$ の係数に寄与するのは $k=1$ の項だけで、その寄与は $c_{i1}b$ である。よって $f_{n-1}=b\sum_ic_{i1}$ である。$\square$

$f=x^k$ とすると $\deg f\le n-1$ である。すべての根が単根なので、thm-pf-coefficients の 2 により $c_{i1}=\alpha_i^{\,k}/g'(\alpha_i)$ である。prop-pf-residue-sum で $b=1$ とすると、和は $x^k$ の $x^{n-1}$ の係数、すなわち $k=n-1$ なら $1$、そうでなければ $0$ に等しい。$\square$