幾何的被約性
概要
幾何的被約性（geometric reducedness）とは、体 $k$ 上の代数 $A$ について、任意の体拡大 $K/k$ で $A\otimes_kK$ が被約となる性質である。有限次体拡大 $L/k$ ではこれは分離性と同値で、分離なら基底変換は有限個の体の積になる。完全体上では、Noether性や有限型性を仮定せずに被約性と同値であり、この性質は局所化・有限積・基礎体の拡大で保たれ、忠実平坦な準同型に沿って降下する。非完全体上の純非分離拡大は体であっても幾何的に被約でなく、逆に $k[u,v]/(uv)$ は幾何的に被約だが原点で正則でない。
幾何的被約性（geometric reducedness）とは、基礎体を拡大しても非零の冪零元が現れないという代数の性質である。環自身が被約であることに加え、その環が基礎体からどのように係数を受け取るかを調べる。非完全体上では、もとの環が体であっても、係数を拡大した後に冪零元が生じることがある。
たとえば標数 $p$ で $a$ が基礎体の $p$ 乗でないなら、$T^p-a$ を使って有限拡大体を作れる。この体は被約だが、$a$ の $p$ 乗根を含む係数体へ移すと同じ方程式が $(T-\alpha)^p$ となる。方程式の根が増えるだけでなく、その重なりが環の中に冪零元として残る。幾何的被約性はこの現象を排除する。
任意の体上代数としての定義
環は単位元をもつ可換環とする。$k$ は任意の体、$A$ は $k$ 代数である。$A$ の Noether 性、有限型性、有限表示性を仮定しない。被約とは $x^n=0$、$n\ge1$ なら $x=0$ となることをいい、零環も被約とする。
$A$ が $k$ 上幾何的に被約であるとは、任意の体拡大 $K/k$ に対して $A\otimes_k K$ が被約であることをいう。有限次拡大だけでなく、超越拡大と無限次拡大もここでの定義には含める。
恒等拡大 $K=k$ を取れば、幾何的に被約な代数自身は被約である。逆は一般には成り立たず、後の純非分離体が反例となる。基礎体も定義の一部である。同じ環 $L$ でも $L$ 自身を基礎体と見れば、$L\otimes_L K=K$ なので幾何的に被約だが、別の部分体上ではそうでないことがある。
有限拡大による判定と任意拡大による判定を混同しない。本記事の有限体拡大 $L/k$ の主定理では、分離の場合に任意の $K/k$ での被約性を実際に証明し、非分離の場合には有限な $K$ だけで反例を作る。一般の任意代数について、純非分離拡大だけを検査すれば十分という別の判定定理は用いない。
有限体拡大は分離性で決まる
有限次体拡大 $L/k$ について、$L$ が $k$ 上幾何的に被約であることと $L/k$ が分離拡大であることは同値である。分離の場合、任意の体拡大 $K/k$ に対して $L\otimes_k K$ は有限個の体の積となる。
分離の場合。 有限個の生成元を選んで $L_i=k(\alpha_1,\ldots,\alpha_i)$、$L_0=k$、$L_s=L$ とする。$L/k$ が分離なら、$\alpha_i$ の $L_{i-1}$ 上の最小多項式 $f_i$ は分離である。$k$ 上の分離な最小多項式を $L_{i-1}$ 上で因数分解した因子であり、重根を新たに作らないからである。
任意の体拡大 $K/k$ を固定する。$L_0\otimes_k K=K$ は体である。帰納的に $L_{i-1}\otimes_k K=\prod_j F_j$ が有限個の体の積とする。多項式による単純拡大とテンソル積を計算すると
$$
L_i\otimes_k K\cong\prod_j F_j[T]/(f_{i,j})
$$
となる。$f_{i,j}$ は係数を $F_j$ へ送ったものだ。最小多項式の分離性から $u f_i+v f_i'=1$ という Bézout 等式がある。この等式は係数を送った後も成立するので $f_{i,j}$ は微分と互いに素である。したがって既約因子分解に重複がない。
相異なるモニック既約因子を $q_1,\ldots,q_r$ とすると、その生成するイデアルは二つずつ互いに素である。中国剰余定理により $F_j[T]/(f_{i,j})\cong\prod_h F_j[T]/(q_h)$ で、各因子は体である。全生成元に繰り返して結論を得る。体の有限積には非零冪零元がないので被約である。この議論で $K/k$ の有限性や分離性を仮定していない。
非分離の場合。 $L/k$ が分離でないなら、ある $\alpha\in L$ の $k$ 上の最小多項式 $f$ が重根をもつ。既約多項式なので $f'=0$、従って標数は素数 $p$ である。$f(T)=f_0(T^{p^e})$、$e\ge1$ と書き、$e$ を最大に取る。$f_0$ は既約で微分が零でないから分離である。
$f$ の分解体 $K$ を取る。根を有限個付加して得られるので $K/k$ は有限次である。$K[T]$ では、相異なる $c_1,\ldots,c_r$ によって
$$
f(T)=\prod_{j=1}^r(T-c_j)^{p^e}
$$
と書ける。$h(T)=\prod_j(T-c_j)$ の類は $K[T]/(f)$ で非零であり、$h^{p^e}=0$ である。次数が $f$ より小さいので零にはならない。
包含 $k(\alpha)\hookrightarrow L$ は $k$ ベクトル空間として基底を延長して分裂できるため、$K$ をテンソルしても単射である。したがって
$$
K[T]/(f)\cong k(\alpha)\otimes_k K\hookrightarrow L\otimes_k K
$$
の中の非零冪零元は、右辺でも非零のまま残る。よって $L$ は幾何的に被約でない。$\square$
この証明は原始元定理を必要としない。分離拡大を有限個の単純拡大の塔に分け、各段で全ての基底変換を計算したからである。同じ体の計算は 幾何的正則性 でも必要になるが、本記事では局所環の次元や極大イデアルの生成元数を使わない。冪零元があるかどうかだけで判定が完了する。
$L=\mathbb Q(\sqrt2)$ とすると
$$
L\otimes_{\mathbb Q}L\cong L[T]/(T^2-2)\cong L\times L.
$$
二つの一次因子 $T-\sqrt2,T+\sqrt2$ の差 $2\sqrt2$ は単元なので、この積表示が得られる。積環は整域ではなく $(1,0)(0,1)=0$ だが、非零冪零元はない。幾何的に被約であることを、基底変換後も整域であることと取り違えてはいけない。
$k=\mathbb F_p(s)$、$L=k(\alpha)$、$\alpha^p=s$ とする。$s\notin k^p$ である。有理関数の分子・分母に含まれる既約元 $s$ の指数差を取ると、$p$ 乗の指数差は $p$ の倍数だが $s$ 自身の指数差は一だからである。
$T^p-s$ は既約である。もし $\alpha$ の最小多項式の次数が $p$ 未満なら、代数閉包ではその多項式は $(T-\alpha)^r$、$1\le r< p$ の形となる。$T^{r-1}$ の係数 $-r\alpha$ が $k$ に入り、$r$ は標数 $p$ で可逆なので $\alpha\in k$ となって矛盾する。よって $[L:k]=p$ である。
基礎体を $L$ に拡大すると
$$
L\otimes_k L\cong L[\varepsilon]/(\varepsilon^p),\qquad\varepsilon=T-\alpha.
$$
基底 $1,\varepsilon,\ldots,\varepsilon^{p-1}$ により $\varepsilon\ne0$、一方 $\varepsilon^p=0$ である。元の環 $L$ は体なので被約、正則、整域であるが、$k$ 上幾何的に被約ではない。$L$ 上の代数としては幾何的に被約である。
局所化・有限積・基礎体の拡大
$A$ が $k$ 上幾何的に被約なら、その任意の局所化もそうである。また体拡大 $k'/k$ に対して $A\otimes_k k'$ は $k'$ 上幾何的に被約である。有限個の $k$ 代数 $A_1,\ldots,A_n$ の積が幾何的に被約であることと、各因子がそうであることは同値である。
被約環 $R$ の局所化が被約であることを先に確認する。$(x/s)^m=0$ なら、ある分母 $t$ について $tx^m=0$ である。すると $(tx)^m=t^m x^m=0$ となり、被約性から $tx=0$、従って $x/s=0$ である。
乗法的集合 $S\subset A$ と任意の $K/k$ に対して
$$
(S^{-1}A)\otimes_k K\cong (S\otimes1)^{-1}(A\otimes_k K)
$$
である。$(a/s)\otimes c$ を $(a\otimes c)/(s\otimes1)$ に送る写像と、左辺で $s\otimes1$ が可逆であることによる逆写像は互いに逆となる。前の被約性の計算を適用して局所化の主張を得る。
体拡大後の主張は、任意の $K/k'$ に対して $(A\otimes_k k')\otimes_{k'}K\cong A\otimes_k K$ となることから従う。有限積については、有限個の直積は加群として有限直和でもあるので、$(\prod_i A_i)\otimes_k K\cong\prod_i(A_i\otimes_k K)$ となる。積環の冪零元は各成分で冪零であり、有限積が被約なら各因子に冪零元を一成分だけ入れても零となる。これで両方向が分かる。$n=0$ の空積は零環として扱える。$\square$
局所化のとき、分母が基底変換後に零になると局所化が零環になることもある。その場合も零環を被約とする規約と一致する。有限積の主張を無限積へ移す際には、テンソル積が無限積と一般に交換しないことを別に考える必要があり、本命題は有限族に限定している。
忠実平坦性による降下
$A\to B$ を $k$ 代数の忠実平坦準同型とする。$B$ が $k$ 上幾何的に被約なら $A$ もそうである。特に体拡大 $k'/k$ の後に $A\otimes_k k'$ が $k'$ 上幾何的に被約となれば、$A$ は $k$ 上幾何的に被約である。
忠実平坦準同型が単射であることを確認する。核を $J$ とすると、単射 $J\hookrightarrow A$ は平坦性により $J\otimes_A B\hookrightarrow B$ へ移る。この写像は $j\otimes b\mapsto f(j)b=0$ なので、$J\otimes_A B=0$ である。忠実性は非零加群のテンソル積が零にならないという条件なので $J=0$ となる。
任意の $K/k$ を取り、$C=A\otimes_k K$、$D=B\otimes_k K$ とする。$D\cong C\otimes_A B$ である。$C$ 加群間の単射を $D$ とテンソルする操作は、元の $A$ 加群の単射を $B$ とテンソルする操作と同じなので平坦である。非零 $C$ 加群は $A$ 加群と見ても非零だから、$B$ とのテンソル積が零にならず、忠実性も残る。従って $C\to D$ は忠実平坦であり、前の段から単射である。
$C$ 内の冪零元は $D$ 内でも冪零である。仮定から $D$ は被約なので、その像は零になる。単射により元も零である。これを全ての $K$ について適用して結論を得る。
特に $A\to A\otimes_k k'$ は忠実平坦である。体拡大 $k'/k$ は非零自由 $k$ 加群なので、任意の $A$ 加群のテンソルは、$k$ ベクトル空間として $k'$ をテンソルすることと同じであり、完全性と非零性を保つ。ただし最後の主張に上の定理を直接使うには基礎体が異なるので、任意の $K/k$ に対して $K\otimes_k k'$ の代わりに、その環から得る体へ写す方法を用いる。$K\otimes_k k'$ は非零環なので素イデアルを一つ取り、その素商の商体 $H$ を取る。$K,k'$ は体だから両方が $H$ に単射で入る。仮定により $A\otimes_k H\cong(A\otimes_k k')\otimes_{k'}H$ は被約である。$A\otimes_k K\to A\otimes_k H$ は $K$ ベクトル空間の忠実な係数拡大なので単射であり、その部分環も被約となる。$\square$
体拡大の後に環自体が被約というだけでは、最後の帰結の仮定と同じではない。必要なのは、その拡大された体上でさらに全ての体拡大後にも被約であることだ。幾何的被約性は一回だけの係数拡大の結果を述べる条件ではない。
完全体上では被約性で十分
$k$ が完全体なら、任意の $k$ 代数 $A$ が幾何的に被約であることと、$A$ が被約であることは同値である。Noether 性と有限型性は要求しない。
逆向きの必要性は恒等体拡大による。以下、$A$ が被約であると仮定する。
標数 $p$ の場合。 完全体 $k$ 上で、被約な $k$ 代数 $A$ をその完全化 $P$ に含める。具体的には、記号 $a^{1/p^n}$ を有限段ごとに加え、$(a^{1/p^{n+1}})^p=a^{1/p^n}$ として直極限を取る。これは Frobenius $a\mapsto a^p$ による直系でもある。$A$ の Frobenius は被約性により単射なので各段の包含は単射、$P$ の Frobenius は単射かつ全射となる。$k$ は完全なので、係数 $c\in k$ の根 $c^{1/p^n}$ を使って各段の $k$ 構造を整合させられる。
任意の体拡大 $K/k$ もその完全化 $K^{\mathrm{perf}}$ に単射で含まれる。体上の単射をテンソルする操作はベクトル空間の基底により単射を保つので
$$
A\otimes_k K\hookrightarrow P\otimes_k K^{\mathrm{perf}}
$$
は単射である。右辺は完全な環である。Frobenius の逆は単純テンソル上 $a\otimes b\mapsto a^{1/p}\otimes b^{1/p}$ で定まる。係数の関係 $ca\otimes b=a\otimes cb$ について両方の根は $c^{1/p}$ の移動で一致するため、これは well-defined な加法的乗法的写像である。Frobenius と両側で合成すると恒等写像になる。従って右辺の Frobenius は単射であり、冪零元があれば十分高い $p$ 冪で零になるので、その元自身が零となる。部分環 $A\otimes_k K$ も被約である。
標数零の場合。 まず任意の体拡大 $F/k$ と $K/k$ に対して $F\otimes_k K$ が被約であることを示す。冪零元の式に現れる有限個の $F$ の係数を含む有限生成部分体 $F_0$ を取る。包含 $F_0\otimes_k K\hookrightarrow F\otimes_k K$ は単射なので、元が冪零であることも $F_0$ の段で確認できる。
$F_0/k$ の有限超越基底 $t_1,\ldots,t_r$ を取り、$H=k(t_1,\ldots,t_r)$ とする。$F_0/H$ は有限代数拡大で、標数零だから分離である。$H\otimes_k K$ は $K[t_1,\ldots,t_r]$ の $k[t_1,\ldots,t_r]\setminus\{0\}$ による局所化であり、整域 $D$ である。有限 $H$ 基底から $F_0\otimes_H D=F_0\otimes_k K$ は有限自由 $D$ 加群となるので、$Q=\operatorname{Frac}(D)$ への係数拡大で単射になる。$F_0/H$ が分離なので、先の有限体拡大の証明により $F_0\otimes_H Q$ は体の有限積である。その部分環 $F_0\otimes_k K$ は被約となり、元の有限係数の段で冪零元は零である。
最後に被約な一般の $A$ を体の積へ入れる。被約環では全素イデアルの交叉が零である。この基礎事実は次の Zorn の議論で確認できる。非冪零元 $a$ に対し $\{1,a,a^2,\ldots\}$ と交わらないイデアルの包含極大元 $\mathfrak p$ を取る。$xy\in\mathfrak p$、$x,y\notin\mathfrak p$ なら、$\mathfrak p+(x)$ と $\mathfrak p+(y)$ はそれぞれ $a$ の冪を含む。その積が $\mathfrak p$ に入るので別の冪も $\mathfrak p$ に入り矛盾する。よって $\mathfrak p$ は素で、$a\notin\mathfrak p$ である。
各素イデアルについて $A/\mathfrak p$ をその商体 $F_{\mathfrak p}$ に含める。$A\otimes_k K$ の元を $z=\sum_i a_i\otimes c_i$ と書き、$c_i$ を $k$ 上一次独立に選ぶ。全ての $F_{\mathfrak p}\otimes_k K$ への像が零なら、その一次独立性から全 $a_i$ が全素イデアルに入り、零となる。従ってこれらの環への写像の族は共同で単射である。各 $F_{\mathfrak p}\otimes_k K$ は前段から被約なので、$z$ が冪零なら全ての像が零、従って $z=0$ である。無限積とテンソル積の交換を仮定せず、有限個の係数の一次独立性でこの単射を確かめた。$\square$
標数 $p$ の証明では、基礎体の完全性がテンソル積上の Frobenius の逆を well-defined にする。非完全体では同じ係数 $c$ の $p$ 乗根が基礎体にないため、二つの因子の根を移動させる計算がそのまま成立しない。純非分離反例はまさにこの仮定の必要性を示している。
多項式環と被約だが特異な環
任意の体 $k$ と任意の集合 $I$ に対し、$k[X_i\mid i\in I]$ は $k$ 上幾何的に被約であり、その任意の局所化もそうである。
任意の $K/k$ に対して、単項式を基底として $k[X_i]\otimes_k K\cong K[X_i]$ を得る。各元は有限個の変数だけを含むので、非零多項式二つの積は有限変数多項式環で計算され、零でない。従って $K[X_i]$ は整域であり被約である。局所化の結論は前の保存命題による。変数集合が空なら $k$ 自身となる。$\square$
無限変数の場合は一般に Noether ではないが、本記事はその仮定を要求しないため定義の範囲内である。これに対して 幾何的正則性 は Noether な代数を対象としており、無限変数多項式環はその定義の対象に入らない。
任意の体 $k$ に対し $A=k[u,v]/(uv)$ を取る。任意の $K/k$ でも同じ式の商となり、その元は $c+u f(u)+v g(v)$ と一意に書ける。$u\mapsto(u,0)$、$v\mapsto(0,v)$、$c\mapsto(c,c)$ により $K[u]\times K[v]$ に単射で入る。積環は被約なので、全ての $K$ でこの商も被約となる。
一方、原点 $(u,v)$ での局所環は正則でない。素イデアルは $uv=0$ より $u$ または $v$ を含み、それぞれの枝の商は一変数多項式環である。原点の下には $(u)$、$(v)$ があり、局所次元は一である。極大イデアルをその平方で割ると $u,v$ は独立で、関係 $uv$ は一次の関係を与えない。したがって生成元数は二で次元一に一致しない。幾何的被約性は、成分が交わる特異点を排除する条件ではない。
零環も定義に入る。全ての係数拡大後が零環なので幾何的に被約である。有限積の因子に零環を入れても他の因子だけを調べればよい。また $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ は恒等体拡大の段ですでに被約でないため、基礎体が完全かどうかに関わらず幾何的に被約ではない。
他の幾何的条件との違い
幾何的被約性は、拡大後に冪零元がないという条件である。幾何的整域性は拡大後に零因子もないという強い条件であり、分離二次体が二つの体に分裂する例が両者を区別する。幾何的正則性は、さらに各局所環の次元とパラメータの数を調べる。節点型の例は冪零元がなくても局所環が正則でないことを示した。
正則環準同型は一般の始域の全剰余体ファイバーを調べ、平坦性も含む概念である。本記事の対象は一つの基礎体を指定した代数で、忠実平坦性は降下の定理の仮定として現れた。概念の名称を同義語としてまとめない。有限型の滑らかさ、形式的滑らかさ、正規性との一般比較も、それぞれ追加の仮定を確認する必要がある。
定義から直接使える判定としては、非零冪零元を一つの体拡大後に見つければ幾何的被約性を否定できる。肯定するには全拡大を扱う証明が必要であり、本記事では有限分離体の塔、完全体上の被約代数、多項式環、局所化、有限積、忠実平坦降下をそのために証明した。特定の一つの拡大後に被約であったことだけで全拡大を検査したことにはならない。
体上の幾何的条件は MatCRT §28 に対応する。有限次体拡大の分離・非分離の基本計算は 幾何的正則性 と共通する。完全体上の任意代数についての定理は、Frobenius 完全化と有限係数の分離塔による証明で示したとおり、Noether 性を必要としない。
関連項目
参考文献
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