正の直線束
概要
正の直線束（positive line bundle）とは、複素多様体の上の正則直線束 $L$ で、Hermite 計量であって Chern 曲率 $\Theta$ について $i\Theta$ が各点で正の $(1,1)$ 形式になるものをもつものであり、局所的な重みが強多重劣調和にとれることを意味する。コンパクトな複素多様体の上では、$c_1(L)$ の実係数の類が正の閉 $(1,1)$ 形式で代表されることと同値であり、連結なコンパクト曲線の上では次数が正であることと同値になる。コンパクトな複素多様体の上の負の直線束は $0$ でない正則切断をもたない。小平の消滅定理・埋め込み定理の仮定であり、コンパクトな複素多様体の上では、ある冪が非常に豊富であることと同値である。
正の直線束（positive line bundle）とは、複素多様体 $X$ の上の正則直線束 $L$ で、Hermite 計量 $h$ であって Chern 曲率 $\Theta(L,h)$ について実 $(1,1)$ 形式 $i\Theta(L,h)$ が各点で正になるものをもつものである。$0$ にならない局所的な正則切断 $e$ について $|e|_h^2=e^{-\varphi}$ と書くと $i\Theta(L,h)=i\partial\bar\partial\varphi$ なので、正であるとは局所的な重み $\varphi$ を強多重劣調和にとれることである。双対が正である直線束を負という。複素射影空間の $\mathcal O(1)$ が代表的な例である。
$X$ がコンパクトなら、$L$ が正であることは、第 1 Chern 類 $c_1(L)$ の実係数の類が正の閉 $(1,1)$ 形式で代表されることと同値になる。したがって正値性はコホモロジー類だけで決まり、連結な曲線の上では「次数が正」と同じである。正の直線束は小平邦彦（Kunihiko Kodaira）の消滅定理（小平の消滅定理）と埋め込み定理（小平の埋め込み定理）の仮定であり、コンパクトな複素多様体の上では、正であることとある冪が非常に豊富であることが同値になる。
この記事では、コホモロジーによる特徴づけを $\partial\bar\partial$-補題を使って完全に証明する。あわせて、曲線の場合、正則曲線への引き戻しの次数が正になること、負の直線束が $0$ でない正則切断をもたないことを示し、射影空間と $\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ の上の直線束の正値性を決める。
定義
$X$ を複素次元 $n$ の複素多様体、$L$ を $X$ の上の正則直線束とする。Hermite 計量 $h$ の Chern 接続の曲率を $\Theta(L,h)$ と書き（Chern接続）、
$$
c_1(L,h):=\frac i{2\pi}\Theta(L,h)
$$
とおく。$c_1(L,h)$ は閉じた実 $(1,1)$ 形式であり（Chern接続 の系「直線束の Chern 曲率」）、その de Rham 類は $c_1(L)$ の $H^2(X;\mathbb R)$ への像 $c_1(L)_{\mathbb R}$ に等しい（第1Chern類 の定理「3つの定義の一致」）。実 $(1,1)$ 形式が正であることは Kähler形式 の定義「正の $(1,1)$ 形式と Kähler 形式」の意味（$u\ne0$ なら $\omega(u,Ju)>0$）とし、$\omega(u,Ju)\ge0$ のとき半正という。
$L$ の Hermite 計量 $h$ で $c_1(L,h)$ が各点で正になるものがあるとき、$L$ は正であるという。双対 $L^\vee$ が正のとき、$L$ は負であるという。
これは 小平の消滅定理 の定義「正の直線束と負の直線束」と同じ定義である。$\Theta(L^\vee,h^\vee)=-\Theta(L,h)$ なので、$L$ が負であることは、ある計量について $-c_1(L,h)$ が正になることと同じである。
- $L$、$M$ が正なら $L\otimes M$ は正である。$k\ge1$ について、$L$ が正であることと $L^{\otimes k}$ が正であることは同値である。
- $f\colon Y\to X$ が正則なはめ込み（各点で微分が単射）で $L$ が正なら、$f^*L$ は正である。一般の正則写像 $f$ については、$f^*c_1(L,h)$ は半正で、$df_y$ が単射な点 $y$ では正である。
- $L$ が正なら、$c_1(L,h)$ は $X$ の Kähler 形式である。とくに正の直線束をもつ複素多様体は Kähler 多様体である。
要点：曲率形式はテンソル積で和になり、正則な引き戻しと可換である。
証明を開く
1．Chern接続 の系「直線束の Chern 曲率」の 3 により $c_1(L\otimes M,h\otimes h')=c_1(L,h)+c_1(M,h')$ で、正の形式の和は正である。逆に $L^{\otimes k}$ の計量 $h_k$ について、局所的な枠 $e$ で $|e^{\otimes k}|_{h_k}^2=e^{-\psi}$ と書き、$L$ に $|e|^2:=e^{-\psi/k}$ で計量を入れる（枠を $ge$ に替えると両辺が $|g|^2$ 倍、$|g|^{2k}$ 倍になるので well-defined）と、$c_1(L,h)=\frac1kc_1(L^{\otimes k},h_k)$ は正である。
2．$f^*L$ に計量 $f^*h$ を入れると、枠 $f^*e$ について $|f^*e|^2=e^{-\varphi\circ f}$ で、$f$ が正則なので $i\partial\bar\partial(\varphi\circ f)=f^*(i\partial\bar\partial\varphi)$、すなわち $c_1(f^*L,f^*h)=f^*c_1(L,h)$ である。$df$ は $J$ と可換なので $(f^*\omega)(u,Ju)=\omega(df\,u,J\,df\,u)$ であり、これは $\omega$ が正なら $\ge0$、$df\,u\ne0$ なら $>0$ である。
3．$c_1(L,h)$ は閉じた正の実 $(1,1)$ 形式なので、定義により Kähler 形式である。$\square$
主定理：コホモロジーによる特徴づけ
$X$ をコンパクトな複素多様体、$L$ を $X$ の上の正則直線束とする。次は同値である。
- $L$ は正である。
- $c_1(L)_{\mathbb R}\in H^2(X;\mathbb R)$ は、ある正の閉じた実 $(1,1)$ 形式の de Rham 類である。
さらに 2 の形式 $\omega$ を 1 つ固定すると、$c_1(L,h)=\omega$ となる Hermite 計量 $h$ がとれる。
1 ⇒ 2．$c_1(L,h)$ が正となる計量 $h$ をとれば、$c_1(L,h)$ は正の閉じた実 $(1,1)$ 形式で、その de Rham 類は $c_1(L)_{\mathbb R}$ である（定義の節）。
2 ⇒ 1．$\omega$ を $c_1(L)_{\mathbb R}$ を代表する正の閉じた実 $(1,1)$ 形式とする。$\omega$ は Kähler 形式なので、$X$ は Kähler 多様体である。$X$ はコンパクトなので連結成分は有限個であり、各連結成分ごとに議論すればよいから、$X$ は連結とする。
$L$ に Hermite 計量 $h_0$ を 1 つとる（Hermite計量 の定理「Hermite 計量の存在」）。$c_1(L,h_0)$ と $\omega$ はともに $c_1(L)_{\mathbb R}$ を代表するので、差 $\alpha:=\omega-c_1(L,h_0)$ は $d$ 完全な実 $(1,1)$ 形式である。∂∂̄-補題 の系「実 $(1,1)$ 形式の $\partial\bar\partial$-補題」により、実数値の $C^\infty$ 級関数 $\psi$ で
$$
\alpha=i\partial\bar\partial\psi
$$
となるものがある。新しい計量 $h:=e^{-2\pi\psi}h_0$ を考える。局所的な正則な枠 $e$ について $|e|_{h_0}^2=e^{-\varphi}$ なら $|e|_h^2=e^{-(\varphi+2\pi\psi)}$ なので、Chern接続 の系「直線束の Chern 曲率」の 1 により
$$
c_1(L,h)=\frac i{2\pi}\,\partial\bar\partial(\varphi+2\pi\psi)=c_1(L,h_0)+i\partial\bar\partial\psi=c_1(L,h_0)+\alpha=\omega
$$
である。$\omega$ は正なので、$L$ は正である。最後の主張もこの構成から従う。$\square$
これは Wel08 Ch. VI Proposition 2.2（p. 223）で、そこでは調和形式の理論と Kähler の恒等式から直接に $\alpha$ のポテンシャルを作っている。Wel08 Ch. VI Definition 2.1（p. 223）は 2 を正値性の定義にしている。コンパクトな $X$ では、この定理により 2 つの定義は一致する。
$X$ が連結なコンパクト複素多様体で $L$ が正なら、$\displaystyle\int_Xc_1(L,h)^n>0$、すなわち $\langle c_1(L)^n,[X]\rangle>0$ である。
$\omega:=c_1(L,h)$ は Kähler 形式なので、$\omega^n/n!$ は $\omega$ の定める Kähler 計量の体積形式であり（Kähler形式 の定理「コンパクトな複素部分多様体の体積」で部分多様体を $X$ 自身としたもの）、その積分は正である。de Rham の定理により左辺の積分は $\langle c_1(L)^n,[X]\rangle$ に等しい。$\square$
曲線と曲線への制限
$X$ を連結なコンパクト Riemann 面とする。正則直線束 $L$ が正であることと、$\deg L>0$ は同値である。
⇒．第1Chern類 の定理「曲線上の第1Chern類と次数」により $\deg L=\int_Xc_1(L,h)$ である。正の実 $(1,1)$ 形式は、局所座標 $z=x+iy$ で $\rho\,dx\wedge dy$（$\rho=\omega(\partial_x,J\partial_x)>0$）と書けるので、複素構造の向きについての積分は正である。
⇐．（小平の消滅定理 の例「コンパクト Riemann 面」は Poisson 方程式で同じことを示している。ここでは主定理から示す。）$X$ に Hermite 計量を入れ（Hermite計量 の命題「概複素多様体の Hermite 計量の存在」）、その基本形式を全体の積分が $1$ になるよう正の定数倍したものを $\omega_0$ とする。$\omega_0$ は正の実 $(1,1)$ 形式で、最高次なので閉じている。$L$ に Hermite 計量 $h_0$ を 1 つとり（Hermite計量 の定理「Hermite 計量の存在」）、$d:=\deg L>0$ とおくと、$\omega:=d\,\omega_0$ も正で、$\int_X(\omega-c_1(L,h_0))=d-d=0$ である。∂∂̄-補題 の例「コンパクト Riemann 面の $(1,1)$ 形式」により $\omega-c_1(L,h_0)$ は $d$ 完全なので、$\omega$ は $c_1(L)_{\mathbb R}$ を代表する。thm-plb-cohomological により $L$ は正である。$\square$
$X$ を複素多様体、$L$ を正の直線束、$C$ を連結なコンパクト Riemann 面、$f\colon C\to X$ を定数でない正則写像とする。このとき $\deg f^*L>0$ である。
prop-plb-basic の 2 により $c_1(f^*L,f^*h)=f^*c_1(L,h)$ は半正で、$df_y\ne0$ となる点 $y$ では正である。$f$ は定数でないので、局所座標で $f$ の微分が恒等的に $0$ になる開集合はなく（一致の定理）、$df_y\ne0$ となる点は空でない開集合をなす。よって $\deg f^*L=\int_Cf^*c_1(L,h)>0$ である（第1Chern類 の定理「曲線上の第1Chern類と次数」）。$\square$
負の直線束の切断
$X$ をコンパクトな複素多様体、$L$ を負の直線束とする。このとき $L$ の正則な大域切断は $0$ だけである。とくに $L$ が正なら、$k\ge1$ について $H^0(X,L^{\otimes(-k)})=0$ である。
$-c_1(L,h)$ が正になる計量 $h$ をとる。正則切断 $s\ne0$ があったとする。$X$ はコンパクトなので連続関数 $|s|_h^2$ は最大値 $m>0$ をある点 $x$ でとり、$s(x)\ne0$ である。$x$ の近くで $s=g\,e$（$e$ は正則な枠、$g$ は $0$ にならない正則関数）、$|e|_h^2=e^{-\varphi}$ と書くと、$u:=\log|s|_h^2=\log|g|^2-\varphi$ は $x$ の近くで $C^\infty$ 級で、$x$ で最大になる。$\log|g|^2$ は局所的に正則関数の実部の $2$ 倍なので $\partial\bar\partial\log|g|^2=0$ であり、
$$
i\partial\bar\partial u=-i\partial\bar\partial\varphi=-2\pi\,c_1(L,h)
$$
は $x$ で正である。$x$ の周りの正則座標で、$0\ne v\in\mathbb C^n$ の方向の複素直線 $\zeta\mapsto x+\zeta v$ に $u$ を制限した関数 $w(\zeta)$ を考えると、$i\partial\bar\partial w=\frac12(\Delta w)\,d\xi\wedge d\eta$（$\zeta=\xi+i\eta$）は正の形式の引き戻しなので $\Delta w(0)>0$ である。一方 $w$ は $\zeta=0$ で最大になるので $\partial_\xi^2w(0)\le0$、$\partial_\eta^2w(0)\le0$ で、$\Delta w(0)\le0$ となり矛盾する。よって $s=0$ である。後半は $L^{\otimes(-k)}=(L^\vee)^{\otimes k}$ が負であること（prop-plb-basic の 1）による。$\square$
コンパクトでない多様体では成り立たない（下の反例の表）。この命題は、小平の消滅定理の Serre 双対の形「負の直線束 $L$ について $H^q(X,L)=0$（$q< n$）」の $q=0$ の場合を、曲率の符号だけから直接に示したものになっている。
例
$\mathbb P^n$ の上の $\mathcal O(k)$ が正であることと $k>0$ は同値であり、負であることと $k< 0$ は同値である。実際、$\mathcal O(1)$ は $\mathbb C^{n+1}$ の標準的な Hermite 内積から誘導される計量について $c_1$ が各点で正である（Chern接続 の命題「射影空間の $\mathcal O(-1)$ と $\mathcal O(1)$ の曲率」）ので、prop-plb-basic の 1 により $k>0$ なら $\mathcal O(k)$ は正、$k< 0$ なら $\mathcal O(k)=\mathcal O(-k)^\vee$ は負である。逆に、直線 $\iota\colon\mathbb P^1\hookrightarrow\mathbb P^n$ への引き戻しは次数 $k$ である（第1Chern類 の例「射影空間の超平面束」により $c_1(\mathcal O(k))=kh$、$\langle h,[\mathbb P^1]\rangle=1$）。prop-plb-curve-restriction により、正なら $k>0$、負なら（双対を考えて）$k< 0$ である。$k=0$ の自明束は正でも負でもない。
$X=\mathbb P^1\times\mathbb P^1$、$p_1,p_2$ を射影とし、$\mathcal O(a,b):=p_1^*\mathcal O(a)\otimes p_2^*\mathcal O(b)$ とおく。$\mathcal O(a,b)$ が正であることと、$a>0$ かつ $b>0$ は同値である。
$a,b>0$ なら、$\mathcal O(a)$、$\mathcal O(b)$ に ex-plb-projective の正の計量を入れて積の計量をとると、$c_1=a\,p_1^*\omega_1+b\,p_2^*\omega_2$（$\omega_j$ は $\mathcal O(1)$ の正の曲率形式）である。接ベクトル $u=(u_1,u_2)\ne0$ について $c_1(u,Ju)=a\,\omega_1(u_1,Ju_1)+b\,\omega_2(u_2,Ju_2)>0$ なので正である。逆に、ファイバー $\{q\}\times\mathbb P^1$ と $\mathbb P^1\times\{q\}$ への制限はそれぞれ $\mathcal O(b)$ と $\mathcal O(a)$ なので、prop-plb-curve-restriction により $a,b>0$ が必要である。
$\mathcal O(1,0)$ は、上の積の計量について $c_1=p_1^*\omega_1$ が各点で半正であるが、ファイバー方向で $0$ になり、どの計量をとっても正にならない。また $H^2(X;\mathbb Z)$ は $p_1^*h$、$p_2^*h$ で張られ、$\langle(p_1^*h)(p_2^*h),[X]\rangle=1$、$(p_j^*h)^2=0$ である（Künnethの公式）から、$\langle c_1(\mathcal O(a,b))^2,[X]\rangle=2ab$ となる。$\mathcal O(-1,-1)$ ではこれが $2>0$ であるが、負の直線束である。したがって cor-plb-volume の逆は成り立たない。
豊富性との関係
$X$ を複素多様体、$\Phi\colon X\to\mathbb P^N$ を正則なはめ込み、$k\ge1$ とし、$L^{\otimes k}\cong\Phi^*\mathcal O(1)$ とする。このとき $L$ は正である。
$\mathcal O(1)$ は正なので、prop-plb-basic の 2 により $\Phi^*\mathcal O(1)\cong L^{\otimes k}$ は正であり、同じ命題の 1 により $L$ は正である。$\square$
逆に、$X$ がコンパクトで $L$ が正なら、十分大きい $k$ について $L^{\otimes k}$ の切断が $X$ の射影空間への正則な埋め込みを与える（小平の埋め込み定理 の定理「小平の埋め込み定理」。この記事では証明しない）。したがってコンパクトな複素多様体の上では、正であることと、ある冪が非常に豊富であること（非常に豊富な可逆層）は同値であり、射影代数多様体の上では、正則直線束を代数的な可逆層と同一視すると（GAGA。この記事では証明しない）、正の直線束は豊富な直線束（豊富な可逆層）と同じものである。正の直線束をもつコンパクトな複素多様体は射影代数多様体である。
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $L$ が負であること（prop-plb-negative-sections） | $X=\mathbb P^1$、自明束 $L=\mathcal O$ | $H^0(X,L)=0$ |
| $X$ のコンパクト性（同） | $X=\mathbb C$、自明束に計量 $h(1,1)=e^{\vert z\vert^2}$ | $H^0(X,L)=0$ |
| 各点で正であること（prop-plb-curve-restriction） | $\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ の $\mathcal O(1,0)$ と積の計量（半正） | ファイバー $\{q\}\times\mathbb P^1$ への引き戻しの次数が正 |
1 行目：定数 $1$ が $0$ でない切断である。自明束は計量 $h(1,1)=1$ で曲率 $0$ であり、負ではない。
2 行目：$\varphi=-|z|^2$ なので $c_1(L,h)=\frac i{2\pi}\partial\bar\partial\varphi=-\frac i{2\pi}dz\wedge d\bar z$ で、$L$ は負である（Chern接続 の例「重みの付いた自明直線束」と符号が逆の計量）。それでも定数 $1$ は $0$ でない正則切断である。$|1|_h^2=e^{|z|^2}$ は最大値をとらない。
3 行目：引き戻しは自明束で次数 $0$ である。曲率が各点で半正なだけでは正にならない。
コンパクト性と特徴づけ．thm-plb-cohomological の 2 ⇒ 1 は、$\partial\bar\partial$-補題を使うために $X$ のコンパクト性を使っている。コンパクトでない $X$ では、曲率による定義（def-plb-main）と類による定義は別のものとして扱う。
ベクトル束の正値性．階数 $2$ 以上の正則ベクトル束では、Chern 曲率が $\operatorname{End}(E)$ 値の形式になり、正値性には Griffiths の意味と中野茂男（Shigeo Nakano）の意味の 2 つがある。小平の消滅定理のベクトル束への一般化（中野の消滅定理）には中野の意味の正値性が要る（小平の消滅定理 の節「反例と注意」）。
半正と豊富でない場合．小平の消滅定理 の反例の表の 4 行目（$\mathbb P^3$ の 1 点の爆発の上の $\pi^*\mathcal O(1)$）のように、半正でどこかで正の直線束でも、小平–中野型の消滅は一般には成り立たない。
関連項目
参考文献
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