基本亜群

合成が代表の道の取り方によらないことは 基本群 の命題「道の積はホモトピー類の上で矛盾なく定まる」の 1 による。結合律、$[c_x]$ が両側の単位であること、$[\gamma\cdot\bar\gamma]=[c_x]$ と $[\bar\gamma\cdot\gamma]=[c_y]$ は、同じ記事の定理「基本亜群の公理と基本群の群構造」の 1・2・3 である。$\square$

関手であることは、基本群 の命題「道の積はホモトピー類の上で矛盾なく定まる」の 3（連続写像の合成が道の積と類を保つこと）による。対象の上では全単射である。射の上の全射性：$\alpha\colon x\to x'$、$\beta\colon y\to y'$ が道なら、$(\alpha,\beta)\colon I\to X\times Y$ は連続な道で、射影すると $\alpha,\beta$ に戻る。単射性：$X\times Y$ の道 $\gamma,\gamma'$ について $p\circ\gamma\simeq p\circ\gamma'$ を $H_1$、$q\circ\gamma\simeq q\circ\gamma'$ を $H_2$ が与えるなら、$(H_1,H_2)$ が $\gamma$ から $\gamma'$ への端点を固定したホモトピーである。$\square$

$I\times I$ の中の二つの道 $\beta_1:=\beta_b\cdot\beta_r$、$\beta_2:=\beta_l\cdot\beta_u$ を考える。ここで $\beta_b(s)=(s,0)$、$\beta_r(t)=(1,t)$、$\beta_l(t)=(0,t)$、$\beta_u(s)=(s,1)$ であり、どちらも $(0,0)$ から $(1,1)$ への道である。$I\times I$ は凸なので、$G(s,v):=(1-v)\beta_1(s)+v\beta_2(s)$ は $I\times I$ に値をもつ端点を固定したホモトピーである。$K\circ\beta_1=b\cdot r$、$K\circ\beta_2=l\cdot u$ なので、$K\circ G$ が求めるホモトピーである。$\square$

1：$h_x$ は亜群の射なので同型である。自然性を示す。$\gamma$ を $x$ から $y$ への道とし、$K(s,t):=H(\gamma(s),t)$ に lem-fg-square を使う。四辺は $b=f\circ\gamma$、$u=g\circ\gamma$、$l=H(x,\cdot)$、$r=H(y,\cdot)$ なので、$(f\circ\gamma)\cdot H(y,\cdot)\simeq H(x,\cdot)\cdot(g\circ\gamma)$ である。合成の記号で書けば
$$ h_y\circ f_*[\gamma]=g_*[\gamma]\circ h_x $$
であり、これが自然性の四角形である。
2：$k\colon Y\to X$ をホモトピー逆写像とする。1 により $k_*\circ f_*=(k\circ f)_*\cong(\mathrm{id}_X)_*=\mathrm{id}$、$f_*\circ k_*\cong\mathrm{id}$ なので、$f_*$ は圏同値である。後半は、亜群 の定理「亜群の圏同値の判定」の (R1) から (R2) への方向による。$f_*$ が誘導する自己同型群の準同型 $\Pi_1(X)(x,x)\to\Pi_1(Y)(f(x),f(x))$ は、集合としては基本群の誘導準同型 $[\gamma]\mapsto[f\circ\gamma]$ と同じ写像なので、これも同型である。$\square$

$X$ の各点 $y$ は、同じ弧状連結成分にある $A$ の点と道で結ばれるので、$\Pi_1(X)$ の中で $A$ の点と同型である。$\Pi_1(X,A)$ は充満部分圏なので、充満部分圏 の命題「代表を含む充満部分圏の包含は圏同値である」により、包含は圏同値である。$\square$

分割．道 $\gamma\colon I\to X$ について、$\{\gamma^{-1}(U)\}_{U\in\mathcal O}$ はコンパクト距離空間 $I$ の開被覆なので、Lebesgue数の補題により、分点 $0=s_0< s_1<\dots< s_m=1$ と $U_i\in\mathcal O$ を $\gamma([s_{i-1},s_i])\subset U_i$ となるようにとれる。$\gamma_i(s):=\gamma((1-s)s_{i-1}+ss_i)$ を $i$ 番目の片という。これを $\gamma$ の分割とよぶ。
対象と道の上の定義．$x\in U$ のとき $\tilde\eta(x):=\eta_U(x)$ とおく。$x\in U\cap U'$ なら $W:=U\cap U'\in\mathcal O$ で、$\eta_U(x)=\eta_U(\iota_{W,U}x)=\eta_W(x)=\eta_{U'}(x)$ なので $U$ によらない。道 $\gamma$ と分割に対し
$$ \tilde\eta(\gamma):=\eta_{U_m}[\gamma_m]\circ\cdots\circ\eta_{U_1}[\gamma_1] $$
とおく。片の終点と次の片の始点で上の対象の定義が一致するので、合成は定義される。
(a) 分割によらない．片 $\gamma_i$ が $U_i$ と $U_i'$ の両方に入れば、$W=U_i\cap U_i'$ に入り、$\eta_{U_i}[\gamma_i]=\eta_W[\gamma_i]=\eta_{U_i'}[\gamma_i]$ である。分点を一つ足して片 $\gamma_i$ を二つの片 $\gamma_i',\gamma_i''$ に分けると、$\gamma_i\simeq\gamma_i'\cdot\gamma_i''$ が $U_i$ の中で成り立つ（基本群 の補題「径数の取り替え」）ので、$\eta_{U_i}[\gamma_i]=\eta_{U_i}[\gamma_i'']\circ\eta_{U_i}[\gamma_i']$ であり値は変わらない。二つの分割には共通の細分があるので、$\tilde\eta(\gamma)$ は分割によらない。
(b) 道の積．$\gamma$ と $\delta$ の分割を $[0,\frac12]$ と $[\frac12,1]$ に縮めて並べると $\gamma\cdot\delta$ の分割になり、片は写像として元の片と一致する。よって $\tilde\eta(\gamma\cdot\delta)=\tilde\eta(\delta)\circ\tilde\eta(\gamma)$ である。定値道 $c_x$ は一つの片からなり、$\tilde\eta(c_x)=\mathrm{id}$ である。
(c) ホモトピー不変性．$H\colon I\times I\to X$ を $\gamma$ から $\delta$ への端点を固定したホモトピーとする。Lebesgue 数の補題により、$n$ を大きくとれば、正方形 $Q_{ij}:=[\frac{i-1}n,\frac in]\times[\frac{j-1}n,\frac jn]$ はそれぞれある $U_{ij}\in\mathcal O$ に $H$ で写る。格子の各辺を $H$ で写した道に $\tilde\eta$ を施し、lem-fg-square を $U_{ij}$ の中で各正方形に使って一列ずつ動かすと、$\tilde\eta(\gamma)=\tilde\eta(\delta)$ が得られる。