群の拡大

単射：$\varphi(e)=1$ とすると $\pi(e)=\pi'(\varphi(e))=1$ なので $e=\iota(n)$（$n\in N$）と書け、$\iota'(n)=\varphi(\iota(n))=1$ から $n=1$、$e=1$ である。全射：$e'\in E'$ について $\pi$ は全射なので $\pi(e)=\pi'(e')$ となる $e$ がある。$\pi'(\varphi(e)^{-1}e')=1$ なので $\varphi(e)^{-1}e'=\iota'(n)=\varphi(\iota(n))$ と書け、$e'=\varphi(e\,\iota(n))$ である。$\square$

$\iota(A)=\ker\pi$ は正規なので $e\,\iota(a)\,e^{-1}\in\iota(A)$ であり、$\iota$ の単射性から $q\cdot a$ が定まる。別の持ち上げは $e'=e\,\iota(b)$ と書け、$e'\iota(a)e'^{-1}=e\,\iota(b+a-b)\,e^{-1}=e\,\iota(a)\,e^{-1}$ である。$a\mapsto q\cdot a$ は共役なので準同型である。$1\in Q$ の持ち上げに $1\in E$ をとれば $1\cdot a=a$、$p,q$ の持ち上げ $e,f$ の積 $ef$ は $pq$ の持ち上げなので $(pq)\cdot a=p\cdot(q\cdot a)$ である。同値 $\varphi$ があれば、$\varphi(e)$ は $\pi'$ で $q$ に移り、$\varphi(e)\iota'(a)\varphi(e)^{-1}=\varphi(e\,\iota(a)\,e^{-1})=\iota'(q\cdot a)$ である。$\square$

1、2：$s(p)$ は $p$ の持ち上げなので、prop-gext-action により $s(p)\iota(b)s(p)^{-1}=\iota(p\cdot b)$ である。これを使うと、$(s(p)s(q))s(r)=\iota(f(p,q))\,s(pq)s(r)=\iota\bigl(f(p,q)+f(pq,r)\bigr)s(pqr)$、$s(p)(s(q)s(r))=s(p)\iota(f(q,r))s(p)^{-1}\cdot s(p)s(qr)=\iota\bigl(p\cdot f(q,r)+f(p,qr)\bigr)s(pqr)$ である。結合法則で両者は等しく、$\iota$ は単射なので $f(p,q)+f(pq,r)=p\cdot f(q,r)+f(p,qr)$、すなわちコサイクル条件 (2) が成り立つ。また $s_1(p)s_1(q)=\iota(g(p))s(p)\iota(g(q))s(q)=\iota\bigl(g(p)+p\cdot g(q)+f(p,q)\bigr)s(pq)=\iota\bigl(g(p)+p\cdot g(q)-g(pq)+f(p,q)\bigr)s_1(pq)$ なので、$s_1$ の因子団は $f+d^1g$ である（群コホモロジー の節「2 次コホモロジーと群の拡大」と同じ計算）。正規化は $s(1)=1$ から $s(1)s(q)=s(q)$、$s(q)s(1)=s(q)$ となることによる。別の正規化された切断 $s_1$ については $s_1(p)s(p)^{-1}\in\ker\pi$ なので $s_1(p)=\iota(g(p))s(p)$ と書け、$s_1(1)=s(1)=1$ から $g(1)=0$ である。

3：$\pi'\circ\varphi\circ s=\pi\circ s=\mathrm{id}$、$\varphi(s(1))=1$ であり、定義の式に $\varphi$ を施すと $\varphi(s(p))\varphi(s(q))=\iota'(f(p,q))\,\varphi(s(pq))$ となる。

4：コサイクル $f$ をとり $c=f(1,1)$ とおく。(2) に $p=q=1$ を入れると $f(1,r)=c$、$q=r=1$ を入れると $f(p,1)=p\cdot c$ である。定数写像 $g\equiv c$ について $(d^1g)(p,q)=p\cdot c$ なので、$f-d^1g$ は $f$ と同じ類の正規化されたコサイクルである。$\square$

結合法則：両辺の第 2 成分は $pqr$ で、第 1 成分は

$$((a,p)(b,q))(c,r)\colon\ a+p\cdot b+f(p,q)+pq\cdot c+f(pq,r),$$

$$(a,p)((b,q)(c,r))\colon\ a+p\cdot b+pq\cdot c+p\cdot f(q,r)+f(p,qr)$$

であり、差は (2) の左辺なので $0$ である。単位元：$f(1,q)=f(p,1)=0$ から $(0,1)(b,q)=(b,q)$、$(a,p)(0,1)=(a,p)$ である。逆元：$(x,p^{-1})(a,p)=(x+p^{-1}\cdot a+f(p^{-1},p),1)$ なので $x=-p^{-1}\cdot a-f(p^{-1},p)$ とすれば左逆元になる。単位元をもつ結合的な積で、すべての元が左逆元をもてば群である（$ya=1$、$zy=1$ なら $a=(zy)a=z(ya)=z$ なので $ay=zy=1$）。

$\pi_f$ は準同型で全射、核は $A\times\{1\}$、$\iota_f$ は単射準同型（$(a,1)(b,1)=(a+b,1)$）である。$(0,p)(a,1)=(p\cdot a,p)=(p\cdot a,1)(0,p)$ なので作用は $p\cdot a$ に一致し、$(0,p)(0,q)=(f(p,q),pq)=(f(p,q),1)(0,pq)$ なので $s_f$ の因子団は $f$ である。$f=0$ の積 $(a+p\cdot b,pq)$ は、半直積 の定義の積を加法で書いたものである。$\square$

$n=1$ では $\mathcal{E}(Q,A)$ も $A/nA$ も 1 点なので $n\ge2$ とする。$\pi(e^n)=q^n=1$ なので $e^n\in\iota(A)$ である。別の持ち上げ $\iota(a)e$ については、$\iota(a)$ が中心にあるので $(\iota(a)e)^n=\iota(na+c)$ となり、類は変わらない。同値 $\varphi$ があれば $\varphi(e)$ は $q$ の持ち上げで $\varphi(e)^n=\iota'(c)$ である。

$s(q^i)=e^i$（$0\le i< n$）は正規化された切断で、$0\le i,j< n$ について $e^ie^j=e^{i+j}$ は、$i+j< n$ なら $s(q^{i+j})$、$i+j\ge n$ なら $\iota(c)\,e^{i+j-n}=\iota(c)\,s(q^{i+j})$ である。よって因子団は

$$f_c(q^i,q^j)=\begin{cases}0&(i+j< n)\\ c&(i+j\ge n)\end{cases}$$

で、$c$ だけで決まる。単射：2 つの中心拡大の $c$、$c'$ が $c'=c+na$ をみたせば、$E'$ の側の持ち上げを $\iota'(-a)e'$ に取り替えて $c'=c$ にでき、両者は同じ因子団 $f_c$ をもつ切断をもつので、thm-gext-classification の単射性の議論により同値である。全射：$c\in A$ について $f_c$ は正規化されたコサイクルである（自明な作用では (2) は $f(p,q)+f(pq,r)=f(q,r)+f(p,qr)$ となる。$p,q,r$ に $q^i,q^j,q^k$（$0\le i,j,k< n$）を代入すると、両辺とも $i+j+k$ を 2 回に分けて足すときの繰り上がりの回数に $c$ を掛けたもので、どちらも $c\cdot\lfloor(i+j+k)/n\rfloor$ に等しい）。$E_{f_c}$ で $e=(0,q)$ をとると、$1\le i< n$ について $e^i=(0,q^i)$ であり、$e^n=(f_c(q^{n-1},q),1)=(c,1)$ である。$\square$