単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理

$n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $N=0$ である。$n\ge1$ とし、最後の座標への射影 $\pi\colon A^{n}\to A$ を考える。$\pi(N)$ は $A$ のイデアルなので $\pi(N)=(a)$ と書ける。$N':=N\cap(A^{n-1}\oplus0)=N\cap\ker\pi$ は帰納法の仮定により階数 $n-1$ 以下の自由加群である。$a=0$ なら $N=N'$ で終わる。$a\ne0$ なら $\pi(v)=a$ となる $v\in N$ をとる。任意の $x\in N$ について $\pi(x)=ca$ と書くと $x-cv\in N'$ なので、$N=N'+Av$ である。$y+cv=0$（$y\in N'$）なら $\pi$ を当てて $ca=0$、$A$ は整域なので $c=0$、したがって $y=0$ である。よって $N=N'\oplus Av$ で、$Av\cong A$（$cv=0$ なら $ca=0$ より $c=0$）だから、$N$ は階数 $\le n$ の自由加群である。$\square$

$a\ne0$ と $x\in M$ で $a\bar x=0$（$\bar x$ は $M/T(M)$ での像）とすると $ax\in T(M)$ なので、ある $b\ne0$ で $bax=0$ である。$ba\ne0$ なので $x\in T(M)$、すなわち $\bar x=0$ である。よって $M/T(M)$ は捩れがない。
$F$ を生成元 $x_1,\dots,x_n$ をもつ捩れのない加群とする。$F=0$ なら自由である。そうでなければ、$x_1,\dots,x_n$ のうち $A$ 上 1 次独立な部分集合で極大なもの、たとえば $x_1,\dots,x_s$ をとる。各 $j>s$ について $x_1,\dots,x_s,x_j$ は 1 次従属なので、$a_jx_j\in Ax_1+\cdots+Ax_s$ となる $a_j\ne0$ がある（従属関係の $x_j$ の係数が $0$ なら $x_1,\dots,x_s$ の独立性に反する）。$a:=\prod_{j>s}a_j\ne0$ とおくと $aF\subset Ax_1\oplus\cdots\oplus Ax_s\cong A^{s}$ である。$F$ は捩れがないので $x\mapsto ax$ は単射で、$F\cong aF$ は lem-sfg-submodule-free により自由である。
$M/T(M)\cong A^{r}$ が自由なので、基底の逆像を 1 つずつ選べば全射 $M\to M/T(M)$ の切断 $s\colon A^{r}\to M$ が得られ、$M=T(M)\oplus s(A^{r})$ となる。$T(M)$ は射影 $M\to T(M)$ の像なので有限生成である。$\square$

生成元 $x_1,\dots,x_n$ の零化元 $b_i\ne0$ の積は $T$ 全体を零化するので、$\operatorname{Ann}(T)\ne0$ である。$a$ が単元なら $T=0$ である。$q_i:=a/p_i^{e_i}$ とおくと、$q_1,\dots,q_s$ の最大公約元は単元なので、$c_1q_1+\cdots+c_sq_s=1$ となる $c_i\in A$ がある。$x\in T$ に対し $x=\sum_ic_iq_ix$ で、$p_i^{e_i}(c_iq_ix)=c_iax=0$ なので $c_iq_ix\in\{\,y\mid p_i^{e_i}y=0\,\}$ である。和が直和であること：$y_i\in T$、$p_i^{e_i}y_i=0$、$\sum_iy_i=0$ とする。$j\ne i$ なら $p_i^{e_i}\mid q_j$ なので $q_jy_i=0$、よって $0=q_j\sum_iy_i=q_jy_j$ である。$q_j$ と $p_j^{e_j}$ の最大公約元は単元なので $\alpha q_j+\beta p_j^{e_j}=1$ と書け、$y_j=\alpha q_jy_j+\beta p_j^{e_j}y_j=0$ である。
最後に $\{\,x\mid p_i^{e_i}x=0\,\}$ が $p_i$ 準素成分 $T(p_i)$ に一致すること：$p_i^{f}x=0$ なら、$ax=0$ と合わせて $\gcd(p_i^{f},a)$ が $x$ を零化し、それは $p_i^{\min(f,e_i)}$ と同伴なので $p_i^{e_i}x=0$ である。同じ議論で、$p_i$ のどれとも同伴でない素元 $p$ について、$p^{f}x=0$ なら $\gcd(p^{f},a)=1$ が $x$ を零化し $x=0$ である。$\square$

「$n$ 個の元で生成される $N$ について主張が成り立つ」ことを $n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $N=0$ である。$n\ge1$ とし、$N$ を生成する $x_1,\dots,x_n$ をとる。各 $x_i$ の零化イデアルは $p^{e}$ を含むので $(p^{f})$（$0\le f\le e$）の形である。そのうち $f$ が最大のものを $x_1$ とし、$\operatorname{Ann}(x_1)=(p^{e_1})$ とすると、$p^{e_1}$ は $N$ 全体を零化する。$e_1\ge1$ としてよい（$e_1=0$ なら $N=0$）。
$\bar N:=N/Ax_1$ は $n-1$ 個の元 $\bar x_2,\dots,\bar x_n$ で生成され、$p^{e_1}\bar N=0$ なので、帰納法の仮定により $\bar N=A\bar y_1\oplus\cdots\oplus A\bar y_t$、$\operatorname{Ann}(\bar y_j)=(p^{f_j})$（$f_j\ge1$）と書ける。各 $\bar y_j$ の代表元 $y_j\in N$ をとると $p^{f_j}y_j\in Ax_1$ なので $p^{f_j}y_j=cx_1$ と書ける。$0=p^{e_1}y_j=p^{e_1-f_j}cx_1$（$f_j\le e_1$ に注意）なので $p^{e_1}\mid p^{e_1-f_j}c$、すなわち $c=p^{f_j}c'$ である。$z_j:=y_j-c'x_1$ とおくと、$z_j$ の像は $\bar y_j$ のままで、$p^{f_j}z_j=0$ である。$\operatorname{Ann}(z_j)\subset\operatorname{Ann}(\bar y_j)=(p^{f_j})$ なので $\operatorname{Ann}(z_j)=(p^{f_j})$ である。
$N=Ax_1\oplus Az_1\oplus\cdots\oplus Az_t$ を示す。$\bar N$ は $\bar z_j=\bar y_j$ で生成されるので $N=Ax_1+\sum_jAz_j$ である。$bx_1+\sum_jb_jz_j=0$ とすると、$\bar N$ で $\sum_jb_j\bar y_j=0$ なので直和性から $b_j\bar y_j=0$、すなわち $p^{f_j}\mid b_j$ で $b_jz_j=0$ となり、$bx_1=0$ も従う。$Ax_1\cong A/(p^{e_1})$、$Az_j\cong A/(p^{f_j})$ なので主張が成り立つ。$\square$

単因子形。 lem-sfg-torsion-split により $M\cong T(M)\oplus A^{r}$ で $T(M)$ は有限生成の捩れ加群である。lem-sfg-primary により $T(M)=\bigoplus_iT(M)(p_i)$ と分かれ、各 $T(M)(p_i)$ は直和因子として $T(M)$ の商なので有限生成で、$p_i^{e_i}$ で零化される。lem-sfg-p-cyclic を各成分に当てれば単因子分解を得る。$p$ と同伴な $p_j$ に対応する項の和が $M(p)$ であることは、$M(p)=T(M)(p)$（$p$ の冪で消える元は捩れ元）と lem-sfg-primary による。任意の単因子分解についても、$A^{r}$ と、$p$ と同伴でない $p_j$ の項 $A/(p_j^{e_j})$（$(p)+(p_j^{e_j})=A$ なので $p$ 倍は全単射）には $p$ の冪で消える $0$ でない元がないので、同型は $M(p)$ を $p$ と同伴な $p_j$ の項の直和に写す。
不変因子形。 単因子分解の互いに同伴でない素元を $\pi_1,\dots,\pi_s$ とし、$\pi_i$ の冪の単因子の指数を大きい順に $e_{i1}\ge e_{i2}\ge\cdots\ge e_{in_i}$ と並べる。$k:=\max_in_i$ とし、$j>n_i$ では $e_{ij}:=0$ とおいて
$$ d_{k+1-j}:=\pi_1^{e_{1j}}\pi_2^{e_{2j}}\cdots\pi_s^{e_{sj}}\qquad(j=1,\dots,k) $$
と定める。各 $j\le k$ である $i$ について $e_{ij}\ge1$ なので $d_{k+1-j}$ は単元でなく、指数が $j$ について単調減少なので $d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_k$ である。互いに同伴でない素元の冪 $x,y$ について $(x)+(y)=A$ なので、中国剰余定理により $A/(xy)\cong A/(x)\oplus A/(y)$ であり、これを繰り返して $A/(d_{k+1-j})\cong\bigoplus_iA/(\pi_i^{e_{ij}})$（$A/(1)=0$）を得る。$j$ について直和をとれば、単因子分解の捩れ部分は $\bigoplus_jA/(d_j)$ に同型である。$\square$

1：$a\mapsto p^{j-1}a$ は $A\to p^{j-1}A$ の同型で、$pA$ を $p^{j}A$ に写すので、$p^{j-1}A/p^{j}A\cong A/(p)=\kappa_p$ である。
2：$q^{e}$ を $p^{e}$ に取り替えてよい。$N=A/(p^{e})$ では $p^{i}N=((p^{i})+(p^{e}))/(p^{e})$ である。$j>e$ なら $p^{j-1}N=p^{j}N=0$ である。$j\le e$ なら $p^{j-1}N/p^{j}N\cong(p^{j-1})/(p^{j})$ で、1 と同じく $\kappa_p$ に同型である。
3：$(p)+(q^{e})=A$ なので $\alpha p+\beta q^{e}=1$ と書け、$N=A/(q^{e})$ 上で $p$ の掛け算は $\alpha$ の掛け算を逆にもつ全単射である。よって $p^{i}N=N$ がすべての $i$ で成り立ち、商は $0$ である。$\square$

自由階数と捩れ部分。 単因子分解または不変因子分解 $M\cong A^{r}\oplus T'$（$T'$ は巡回捩れ加群の直和）が与えられたとする。$K\otimes_AA/(d)=0$（$d\ne0$ は $K$ で単元）なので $K\otimes_AM\cong K^{r}$、すなわち $r=\operatorname{rank}M$ は分解によらない。また $A^{r}$ は捩れがなく $T'$ は捩れ加群なので、分解の同型は $T(M)$ を $T'$ に写し、$T(M)\cong T'$ である。$T(M)$ は $M$ だけで決まる。
単因子。 素元 $p$ を固定する。単因子分解の捩れ部分 $T'=\bigoplus_jA/(p_j^{e_j})$ に lem-sfg-count を当てると、$c_i(p;T(M))$ は「$p_j$ が $p$ と同伴で $e_j\ge i$ となる $j$ の個数」に等しい。左辺は $M$ だけで決まるので、$p$ と同伴な単因子のうち指数がちょうど $i$ のものの個数 $c_i(p;T(M))-c_{i+1}(p;T(M))$ も $M$ だけで決まる。$p$ を動かせば、単因子のイデアルの重複込みの集まりが決まる。
不変因子。 不変因子分解の $d_i$ をそれぞれ素元分解すると、中国剰余定理により $A/(d_i)$ は $d_i$ に現れる素元の冪 $A/(\pi^{e})$ の直和になるので、不変因子分解から単因子分解が得られる。したがって各 $d_i$ の素元 $\pi$ の指数 $v_\pi(d_i)$ を全部集めたもの（$0$ を除く）が、$\pi$ と同伴な単因子の指数の集まりであり、これは一意である。$d_1$ は単元でないので $d_1$ を割る素元 $\pi$ があり、$\pi$ はすべての $d_i$ を割るから、$\pi$ と同伴な単因子はちょうど $k$ 個ある。どの素元についても同伴な単因子は $k$ 個以下なので、$k$ は「同伴な単因子の個数の、素元についての最大値」として決まる。さらに $d_1\mid\cdots\mid d_k$ より各素元 $\pi$ について $v_\pi(d_1)\le\cdots\le v_\pi(d_k)$ なので、$v_\pi(d_k),v_\pi(d_{k-1}),\dots$ は $\pi$ と同伴な単因子の指数を大きい順に並べ、足りない分を $0$ で埋めた列に等しい。よって各 $v_\pi(d_i)$ が決まり、一意分解により $(d_i)$ が決まる。$\square$