Cartanの定理A・B

1：$x$ のまわりの座標 $z=(z_1,\dots,z_n)$ を $x$ が原点になるようにとり、その座標近傍を $U$ とする。$x$ で $0$ になる芽は 複素解析空間 の補題「Hadamard の補題」により $\sum z_ig_i$ と書けるので、$\mathfrak{m}_x$ は $z_1,\dots,z_n$ の芽で生成される。$y\in U$、$y\ne x$ では $z_i(y)\ne0$ となる $i$ があり、$z_i$ の芽は $\mathcal{O}_{X,y}$ の単元なので、$z_1,\dots,z_n$ の芽は $\mathcal{O}_{X,y}$ を生成する。よって $U$ 上で $\mathcal{I}_x$ は $z_1,\dots,z_n$ が生成し、$X\setminus\{x\}$ 上では $1$ が生成するので、$\mathcal{I}_x$ は有限型であり、連接層 $\mathcal{O}_X$ の有限型の部分層として連接である（連接層 の補題「有限型の像と部分層」）。同様に $U$ 上で $\mathcal{I}_x\mathcal{F}$ は射 $\mathcal{F}^{\oplus n}\to\mathcal{F}$、$(s_i)\mapsto\sum z_is_i$ の像であり、$X\setminus\{x\}$ 上では $\mathcal{F}$ に等しい。有限型の層の像は有限型なので、同じ補題により $\mathcal{I}_x\mathcal{F}$ は連接である。
2：$y\ne x$ では $(\mathcal{I}_x\mathcal{F})_y=\mathcal{F}_y$ なので商の茎は $0$、$x$ での茎は $\mathcal{F}_x/\mathfrak{m}_x\mathcal{F}_x$ である。茎が $x$ 以外で $0$ の層の切断は $x$ での芽で決まるので、写像は単射である。全射性：$x$ の近傍 $V$ 上の切断 $s$ は $V\setminus\{x\}$ 上で $0$ なので、$X\setminus\{x\}$ 上の $0$ と貼り合わせて大域切断になる。$\square$

短完全列 $0\to\mathcal{I}_x\mathcal{F}\to\mathcal{F}\to\mathcal{F}/\mathcal{I}_x\mathcal{F}\to0$ の長完全列と仮定 $H^1(X,\mathcal{I}_x\mathcal{F})=0$ から、$\Gamma(X,\mathcal{F})\to\Gamma(X,\mathcal{F}/\mathcal{I}_x\mathcal{F})$ は全射である。lem-cartan-point-ideal の 2 と合わせると、合成 $\Gamma(X,\mathcal{F})\to\mathcal{F}_x\to\mathcal{F}_x/\mathfrak{m}_x\mathcal{F}_x$ は全射である。大域切断の芽が生成する部分加群を $M\subset\mathcal{F}_x$ とすると、これは $M+\mathfrak{m}_x\mathcal{F}_x=\mathcal{F}_x$ を意味する。$\mathcal{F}$ は連接なので $\mathcal{F}_x$ は有限生成であり、有限生成加群 $N:=\mathcal{F}_x/M$ は $\mathfrak{m}_xN=N$ を満たす。局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ 上の Nakayamaの補題（定理「Nakayamaの補題」）により $N=0$、すなわち $M=\mathcal{F}_x$ である。後半は、$\mathcal{I}_x\mathcal{F}$ が連接であること（lem-cartan-point-ideal の 1）による。$\square$

$\alpha\colon\mathcal{O}_X^{\oplus N}\to\mathcal{F}$ を $(c_j)\mapsto\sum c_js_j$ で定め、像を $\mathcal{G}$、核を $\mathcal{K}$ とする。$\mathcal{G}$ と $\mathcal{K}$ は連接である（連接層 の系「連接層の射の核・像・余核」）。仮定は、各点で $s$ の芽が $\mathcal{G}_y$ に属すること、すなわち $s\in\Gamma(X,\mathcal{G})$ を意味する。短完全列 $0\to\mathcal{K}\to\mathcal{O}_X^{\oplus N}\to\mathcal{G}\to0$ の長完全列と定理 B による $H^1(X,\mathcal{K})=0$ から、$\Gamma(X,\mathcal{O}_X^{\oplus N})=\mathcal{O}(X)^{\oplus N}\to\Gamma(X,\mathcal{G})$ は全射である。$s$ の逆像 $(c_j)$ が求める係数である。$\square$

すべての $f\in\Gamma(X,\mathcal{J})$ が $f(z)=0$ を満たすなら、それらの芽はすべて $\mathfrak{m}_z$ に属し、生成する部分加群も $\mathfrak{m}_z\ne\mathcal{O}_{X,z}=\mathcal{J}_z$ に含まれる。これは定理 A に反する。$\square$

$m=0$ なら $\mathcal{F}\cong\mathcal{O}_X^{\oplus p_0}$ で、コホモロジーは直和と交換するので主張は仮定そのものである。$m\ge1$ とし、$\mathcal{K}_0:=\mathcal{F}$、$1\le i\le m$ について $\mathcal{K}_i$ を $\mathcal{O}_X^{\oplus p_i}\to\mathcal{O}_X^{\oplus p_{i-1}}$ の像とする。完全性から $\mathcal{K}_m\cong\mathcal{O}_X^{\oplus p_m}$ であり、$0\le i\le m-1$ について短完全列
$$ 0\to\mathcal{K}_{i+1}\to\mathcal{O}_X^{\oplus p_i}\to\mathcal{K}_i\to0 $$
がある。長完全列の一部 $H^q(X,\mathcal{O}_X^{\oplus p_i})\to H^q(X,\mathcal{K}_i)\to H^{q+1}(X,\mathcal{K}_{i+1})\to H^{q+1}(X,\mathcal{O}_X^{\oplus p_i})$ の両端は $q\ge1$ で $0$ なので、$H^q(X,\mathcal{K}_i)\cong H^{q+1}(X,\mathcal{K}_{i+1})$ である。これを繰り返すと、$q\ge1$ について
$$ H^q(X,\mathcal{F})\cong H^{q+1}(X,\mathcal{K}_1)\cong\cdots\cong H^{q+m}(X,\mathcal{K}_m)\cong H^{q+m}(X,\mathcal{O}_X)^{\oplus p_m}=0 $$
である。同じ議論で $H^1(X,\mathcal{K}_1)=0$ なので、$i=0$ の短完全列の長完全列から $\mathcal{O}(X)^{\oplus p_0}\to\Gamma(X,\mathcal{F})$ は全射である。$\square$

2 と最後の主張：∂̄方程式のL²評価 の系「擬凸領域の上の層コホモロジーの消滅」により、$q\ge1$ について $H^q(\Omega,\mathcal{O})=0$ である。よって thm-cartan-resolution が使え、$q\ge1$ で $H^q(\Omega,\mathcal{F})=0$ であり、$\mathcal{O}(\Omega)^{\oplus p_0}\to\Gamma(\Omega,\mathcal{F})$、$(c_i)\mapsto\sum c_is_i$ は全射である。
1：$\mathcal{O}^{\oplus p_0}\to\mathcal{F}$ は層の全射なので、各点 $x$ で茎の写像 $\mathcal{O}_x^{\oplus p_0}\to\mathcal{F}_x$ は全射である。$\mathcal{O}_x^{\oplus p_0}$ は標準基底の芽で生成されるから、$\mathcal{F}_x$ はその像、すなわち $s_1,\dots,s_{p_0}$ の芽で生成される。$\square$

擬凸開集合の上では $q\ge1$ について $H^q(\Omega,\mathcal{O})=0$ である（∂̄方程式のL²評価 の系「擬凸領域の上の層コホモロジーの消滅」）。$\Omega$ は連結なので、一致の定理 により $f$ の芽はどの点でも $0$ でなく、$\mathcal{O}_y$ は整域だから $f$ を掛ける写像 $\mathcal{O}\to\mathcal{O}$ は単射である。よって $0\to\mathcal{O}\xrightarrow{f}\mathcal{O}\to\mathcal{O}/f\mathcal{O}\to0$ は完全で、thm-cartan-resolution を $m=1$ で使えばよい。後半：$g_i$ の像は $U_i\cap U_j$ 上で一致するので貼り合わさり、$\Gamma(\Omega,\mathcal{O}/f\mathcal{O})$ の元を定める。その元の $\mathcal{O}(\Omega)$ への持ち上げを $G$ とすると、$U_i$ 上で $G$ と $g_i$ の像が一致する。$U_i$ 上で $G-g_i$ の像が $0$ なので、各点の近くで $G-g_i=fh$ と書け、$f$ を掛ける写像が単射なので局所的な $h$ は一意で、貼り合わさって $h\in\mathcal{O}(U_i)$ を与える。$\square$