p群

$|G|=p^n$ なら、各元の位数は $|G|$ を割る（Lagrangeの定理 の記事の系「元の位数」）ので $p$ の冪である。逆に $|G|$ が $p$ 以外の素数 $q$ で割り切れれば、Cauchy の定理（群の位数 の記事の定理「Cauchy の定理」：$|G|$ を割る素数 $q$ について位数 $q$ の元がある）により位数 $q$ の元があり、$G$ は $p$ 群でない。$|G|$ の素因数が $p$ だけなら $|G|$ は $p$ の冪である。$\square$

$X$ は軌道の互いに交わらない和集合である。軌道・安定化群定理（群の作用 の記事の定理「軌道・安定化群定理」）により、$x$ の軌道の大きさは安定化群の指数 $[P:P_x]$ であり、これは $|P|=p^n$ の約数なので $1$ か $p$ の倍数である。大きさ $1$ の軌道 $\{x\}$ は、$x$ が固定点であることにほかならない。よって $|X|=|X^P|+(\,p\text{ の倍数の和}\,)$ である。$|X|$ が $p$ で割り切れなければ $|X^P|\not\equiv0\pmod p$ なので $X^P\neq\emptyset$ である。$\square$

$n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $N_0=P=\{e\}$ でよい。$n\ge1$ とする。$Z(P)\neq\{e\}$（lem-pg-fixed-points の後の注意）で、$Z(P)$ は位数が $p$ の冪で $1$ でないから $p$ で割り切れる。Cauchy の定理（群の位数 の記事の定理「Cauchy の定理」）により、$Z(P)$ は位数 $p$ の元 $z$ をもつ。$N_1:=\langle z\rangle$ とおくと、$N_1$ の元はすべての元と可換なので $N_1$ は正規部分群で、$gxg^{-1}x^{-1}=e\in N_0$（$x\in N_1$）を満たす。
剰余群 $\bar P:=P/N_1$ は位数 $p^{n-1}$ なので、帰納法の仮定により正規部分群の列 $\{\bar e\}=M_0\subset M_1\subset\cdots\subset M_{n-1}=\bar P$ で、$|M_j|=p^j$ かつ $\bar g\bar y\bar g^{-1}\bar y^{-1}\in M_{j-1}$（$\bar g\in\bar P$、$\bar y\in M_j$）を満たすものがある。$\pi\colon P\to\bar P$ を標準的な全射とし、$1\le i\le n$ について $N_i:=\pi^{-1}(M_{i-1})$ とおく。

• $N_i$ は正規部分群の逆像なので $P$ の正規部分群であり、$N_1=\pi^{-1}(\{\bar e\})$ は上の $N_1$ に一致する。
• $\pi$ を $N_i$ に制限すると $M_{i-1}$ への全射で核は $N_1$ なので、$|N_i|=|M_{i-1}|\,|N_1|=p^{i-1}\cdot p=p^i$ である。
• $1\le i< n$、$g\in P$、$x\in N_{i+1}$ とすると、$\pi(x)\in M_i$ なので $\pi(gxg^{-1}x^{-1})=\pi(g)\pi(x)\pi(g)^{-1}\pi(x)^{-1}\in M_{i-1}$、すなわち $gxg^{-1}x^{-1}\in\pi^{-1}(M_{i-1})=N_i$ である。
  $i=0$ の場合は最初に確かめた。よって列 $N_0\subset N_1\subset\cdots\subset N_n$ は条件を満たす。最後の主張は $N_k$ と $N_{n-1}$ をとればよい。$\square$

$Z_i:=Z_i(P)$ と書く。$Z_i\ne P$ なら、$P/Z_i$ は自明でない有限 $p$ 群なので中心が自明でなく、$Z_{i+1}/Z_i=Z(P/Z_i)$ は位数 $p$ 以上である。よって $Z_i\neq P$ である限り $|Z_{i+1}|\ge p\,|Z_i|$ であり、$|Z_i|\ge p^i$ が続く。$|P|=p^n$ なので、ある $c\le n$ で $Z_c=P$ となる。
$n\ge2$ で冪零類がちょうど $n$ だとすると、上の不等式がすべて等号で $|Z_i|=p^i$（$0\le i\le n$）である。すると $P/Z_{n-2}$ は位数 $p^2$ の群なので可換（剰余群 の記事の系「位数が素数の平方の群」）であり、その中心は全体である。したがって $Z_{n-1}=P$ となり、$|Z_{n-1}|=p^{n-1}$ に矛盾する。$\square$

1：$n$ についての帰納法で示す。$Q$ は $V\setminus\{0\}$ に作用し、$|V\setminus\{0\}|=p^n-1$ は $p$ で割り切れないので、lem-pg-fixed-points により固定点 $v_1\neq0$ がある。すなわち $g\cdot v_1=v_1$（$g\in Q$）である。$n=1$ ならこれで終わる。$n\ge2$ なら、各 $g$ は $\langle v_1\rangle$ を保つので、商空間 $W:=V/\langle v_1\rangle$（$n-1$ 次元）に $g\cdot(v+\langle v_1\rangle):=g\cdot v+\langle v_1\rangle$ で線形に作用する。帰納法の仮定により、$W$ の基底 $w_2,\dots,w_n$ で $g\cdot w_j\in w_j+\langle w_2,\dots,w_{j-1}\rangle$ となるものがある。$w_j=v_j+\langle v_1\rangle$ となる $v_j\in V$ を選ぶと、$v_1,\dots,v_n$ は $V$ の基底であり、$g\cdot v_j\in v_j+\langle v_2,\dots,v_{j-1}\rangle+\langle v_1\rangle$ が成り立つ。
2：上三角単数行列の積は上三角単数行列であり（積の対角成分は対角成分の積、対角より下は $0$）、単位行列を含む。有限集合で積について閉じているので部分群である（部分群 の記事の命題「有限部分集合の判定」）。対角より上の $n(n-1)/2$ 個の成分を自由に選べるので、位数は $p^{n(n-1)/2}$ である。一方、正則行列は列が基底をなす行列なので、$j$ 列目（$j=1,\dots,n$）を最初の $j-1$ 列の張る空間（$p^{j-1}$ 元）の外から選ぶと考えて
$$ |\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)|=\prod_{j=1}^{n}(p^n-p^{j-1})=p^{0+1+\cdots+(n-1)}\prod_{k=1}^{n}(p^k-1) $$
であり、$p^k-1$ は $p$ で割り切れないので、$|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)|$ を割る最大の $p$ の冪は $p^{n(n-1)/2}$ である。最後に、$Q\le\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ は $\mathbb{F}_p^n$ に行列の積で線形に作用するので、1 の基底 $v_1,\dots,v_n$ を並べた行列 $S$ をとると、$S^{-1}gS$ は $g$ をこの基底で表した行列であり、上三角単数行列である。$\square$

$m:=|P|$ とする。Cayley の定理（群論 の記事の定理「対称群への埋め込み」）により $P$ は $S_m$ の部分群と同型である。置換 $\sigma\in S_m$ に、標準基底を $e_i\mapsto e_{\sigma(i)}$ と移す行列 $M_\sigma\in\mathrm{GL}_m(\mathbb{F}_p)$ を対応させると、$M_\sigma M_\tau e_i=e_{\sigma(\tau(i))}=M_{\sigma\tau}e_i$ なので $\sigma\mapsto M_\sigma$ は単射準同型である。よって $P$ は $\mathrm{GL}_m(\mathbb{F}_p)$ の $p$ 部分群 $Q$ と同型であり、thm-pg-unitriangular の 2 により $S^{-1}QS\subset U_m(\mathbb{F}_p)$ となる $S$ がある。$S^{-1}QS\cong Q\cong P$ である。$\square$