DG圏

同義語：dg圏微分次数付き圏dg categorydifferential graded category

概要

前提知識: 複体, 豊穣圏, 鎖ホモトピー, ホモトピー圏

DG圏（differential graded category、微分次数付き圏）は、2 対象の間の射全体が単なる集合や加群ではなく複体であり、合成がその微分と両立する圏である。複体の圏 $C(B)$ では、鎖写像だけでなく任意の次数の「次数付き写像」まで射として持っておくと、射の集まりが複体になり、その次数 $0$ のコホモロジーがホモトピー圏 $K(B)$ の射になる。DG圏はこの構造を抽象化したもので、三角圏では失われる写像錐の関手性や、関手の圏・テンソル積といった構成を保ったまま導来圏を扱う枠組みになる。
この記事では、DG圏・DG関手・準同値を定義し、複体の DG圏 $C_{\mathrm{dg}}(B)$ が実際に DG圏であることと、その $Z^0$・$H^0$ が複体の圏とホモトピー圏であることを証明する。

定義

以下、$k$ を可換環とし、$\otimes=\otimes_k$ と書く。複体はコホモロジー的な番号付け（微分は次数を $1$ 上げる）で書く。複体の記事のホモロジー的な番号付けとは $C^n=C_{-n}$ で対応する。
次数付き加群と Koszul の符号. 次数付き $k$ 加群とは $V=\bigoplus_{p\in\mathbb Z}V^p$ の形の $k$ 加群で、$V^p$ の元を次数 $p$ の斉次元といい、その次数を $|v|$ と書く。次数 $n$ の写像 $f\colon V\to W$ とは $f(V^p)\subset W^{p+n}$ を満たす $k$ 線形写像である。2 つの複体 $V,W$ のテンソル積は $(V\otimes W)^n=\bigoplus_{p+q=n}V^p\otimes W^q$ に微分
$$ d(v\otimes w)=dv\otimes w+(-1)^{|v|}v\otimes dw $$
を入れたものである。この $\otimes$ により $k$ 上の複体の圏 $C(k)$ はモノイダル圏になる（単位対象は次数 $0$ に置いた $k$）。

DG圏

$k$ 上のDG圏 $\mathcal A$ は次のデータからなる。

対象の集まり $\operatorname{ob}\mathcal A$。
対象 $X,Y$ ごとの複体 $\mathcal A(X,Y)$（射の複体）。その次数 $n$ の元を次数 $n$ の射という。
$k$ 双線形な合成 $\mathcal A(Y,Z)^m\times\mathcal A(X,Y)^n\to\mathcal A(X,Z)^{m+n}$、$(g,f)\mapsto gf$。
各対象 $X$ の次数 $0$ の恒等射 $1_X\in\mathcal A(X,X)^0$。
これらは、合成が結合的で $1_X$ が両側の単位であることと、Leibniz 則
$$ d(gf)=d(g)\,f+(-1)^{|g|}g\,d(f)\qquad(g,f\text{ は斉次}) $$
および $d(1_X)=0$ を満たすとする。

Leibniz 則は、合成 $\mathcal A(Y,Z)\otimes\mathcal A(X,Y)\to\mathcal A(X,Z)$ が上の微分について鎖写像であることと同じであり、$d(1_X)=0$ は単位 $k\to\mathcal A(X,X)$ が鎖写像であることと同じである。したがって DG圏とは、モノイダル圏 $(C(k),\otimes,k)$ で豊穣化された豊穣圏にほかならない（Kel06 §2.2、p. 3）。

DG関手と準同値

DG圏 $\mathcal A,\mathcal A'$ の間のDG関手 $F$ は、対象の対応 $X\mapsto FX$ と、次数を保ち微分と可換な $k$ 線形写像 $F\colon\mathcal A(X,Y)\to\mathcal A'(FX,FY)$ の族で、合成と恒等射を保つものである。DG関手 $F$ が準同値（quasi-equivalence）であるとは、すべての $X,Y$ で $F\colon\mathcal A(X,Y)\to\mathcal A'(FX,FY)$ が擬同型であり、誘導される関手 $H^0(F)\colon H^0(\mathcal A)\to H^0(\mathcal A')$（下の def-dg-z0-h0）が圏同値であることをいう（Kel06 §2.3、pp. 4–5）。

次数0の閉射の圏とホモトピー圏

DG圏 $\mathcal A$ について、$Z^0(\mathcal A)$ を、対象は $\mathcal A$ と同じで、射の集合を $Z^0\mathcal A(X,Y)=\ker\bigl(d\colon\mathcal A(X,Y)^0\to\mathcal A(X,Y)^1\bigr)$ とする圏とする。$H^0(\mathcal A)$ を、射の集合を $H^0\mathcal A(X,Y)=Z^0\mathcal A(X,Y)/d\,\mathcal A(X,Y)^{-1}$ とする圏とする。また $H^*(\mathcal A)$ は射を $\bigoplus_nH^n\mathcal A(X,Y)$ とする次数付きの圏である。

Leibniz 則により、閉射（$df=0$）の合成は閉射で、閉射と完全な射（$f=dh$）の合成は完全である（$g\,dh=(-1)^{|g|}d(gh)$、$(dh)f=d(hf)$）。よって $Z^0(\mathcal A)$・$H^0(\mathcal A)$ は実際に圏になり、DG関手は関手 $Z^0(F)$・$H^0(F)$ を誘導する。

直感

$H^0(\mathcal A)$ は「射をホモトピーで割った」圏で、三角圏として扱いたいのは通常こちらである。DG圏はその下に、ホモトピーそのもの（次数 $-1$ の射）や、ホモトピーの間のホモトピー（次数 $-2$ の射）を全部保持している。写像錐は $H^0$ では同型を除いてしか決まらないが、DG圏の中では射の複体から関手的に作れる（ex-dg-cone）。この「下にある鎖のデータ」を持っておくことを、三角圏のDG強化（enhancement）という。この考え方は Bondal と Kapranov にさかのぼる（Kel06 §1.1、p. 1）。

複体の DG圏

$B$ を $k$ 上の多元環とし、右 $B$ 加群の複体 $L=(L^p,d_L)$ を考える。

複体の DG圏

複体 $L,M$ と整数 $n$ について、$\operatorname{Hom}(L,M)^n$ を次数 $n$ の写像、すなわち $B$ 線形写像の族 $f=(f^p\colon L^p\to M^{p+n})_{p\in\mathbb Z}$ 全体とし、微分を
$$ d(f)=d_M\circ f-(-1)^nf\circ d_L $$
で定める。対象を右 $B$ 加群の複体全体、射の複体を $\operatorname{Hom}(L,M)$、合成を次数付き写像の合成とするものを $C_{\mathrm{dg}}(B)$ と書く（Kel06 §2.2、p. 3）。

複体の DG圏は DG圏である

$C_{\mathrm{dg}}(B)$ は DG圏である。すなわち $d(d(f))=0$、$d(1_L)=0$ であり、Leibniz 則が成り立つ。

$f$ を次数 $n$ とする。$d(f)$ は次数 $n+1$ なので
$$ d(d(f))=d_M\bigl(d_Mf-(-1)^nfd_L\bigr)-(-1)^{n+1}\bigl(d_Mf-(-1)^nfd_L\bigr)d_L =-(-1)^nd_Mfd_L+(-1)^nd_Mfd_L=0 $$
である（$d_M^2=0$、$d_L^2=0$ を使った）。$d(1_L)=d_L-d_L=0$ である。
$g\in\operatorname{Hom}(M,N)^m$、$f\in\operatorname{Hom}(L,M)^n$ とすると $gf$ は次数 $m+n$ で
$$ d(g)f+(-1)^mg\,d(f)=\bigl(d_Ng-(-1)^mgd_M\bigr)f+(-1)^mg\bigl(d_Mf-(-1)^nfd_L\bigr)=d_Ngf-(-1)^{m+n}gfd_L=d(gf) $$
である。結合性と単位性は写像の合成なので明らかである。$\square$

閉射とホモトピー

$Z^0(C_{\mathrm{dg}}(B))$ は複体と鎖写像の圏 $C(B)$ に等しく、$H^0(C_{\mathrm{dg}}(B))$ はホモトピー圏 $K(B)$ に等しい。

次数 $0$ の $f$ について $d(f)=d_Mf-fd_L$ なので、$d(f)=0$ は $f$ が鎖写像であることと同じである。次数 $-1$ の $h$ について $d(h)=d_Mh+hd_L$ なので、鎖写像 $f,g$ について $f-g=d(h)$ となる $h$ があることは、$h$ が $f$ から $g$ への鎖ホモトピーであること（鎖ホモトピー）と同じである。したがって $H^0$ の射は鎖写像の鎖ホモトピー類で、ホモトピー圏の定義「ホモトピー圏」の $K(\operatorname{Mod}B)$ に一致する。$\square$

この命題は Kel06 §2.2（p. 4）の例である。$H^n\operatorname{Hom}(L,M)$ は、次数を $n$ ずらした複体への鎖写像のホモトピー類、すなわち $K(B)$ の射 $L\to M[n]$ と同じものになる。実際、$M[n]^p=M^{p+n}$、$d_{M[n]}=(-1)^nd_M$ とおくと、次数 $n+j$ の写像 $f\colon L\to M$ は次数 $j$ の写像 $L\to M[n]$ と同じもので、$\operatorname{Hom}(L,M[n])$ での微分は $(-1)^nd_Mf-(-1)^jfd_L=(-1)^nd(f)$ となるから、$\operatorname{Hom}(L,M[n])$ の次数 $0$ の閉射と完全な射は $\operatorname{Hom}(L,M)$ の次数 $n$ の閉射と完全な射に一致する（$L$ が $B$ を次数 $0$ に置いた複体の場合は Kel06 §3.1 の式 (2)、p. 5）。

写像錐と恒等射の錐

$f\colon L\to M$ を次数 $0$ の閉射とする。$\operatorname{Cone}(f)^n=M^n\oplus L^{n+1}$ に微分 $d(m,l)=(d_Mm+f(l),-d_Ll)$ を入れた複体を $f$ の写像錐という（写像錐(複体) と同じ構成を、コホモロジー的な番号で書いたもの）。
$f=1_L$ のとき、次数 $-1$ の写像 $h(m,l)=(0,m)$ をとると
$$ d(h)(m,l)=d\bigl(h(m,l)\bigr)+h\bigl(d(m,l)\bigr)=(m,-d_Lm)+(0,d_Lm+l)=(m,l) $$
なので $1_{\operatorname{Cone}(1_L)}=d(h)$ である。よって $\operatorname{Cone}(1_L)$ は $H^0(C_{\mathrm{dg}}(B))$ で零対象と同型である。さらに $E=\operatorname{Hom}(\operatorname{Cone}(1_L),\operatorname{Cone}(1_L))$ の閉射 $\varphi$ は $\varphi=\varphi\,d(h)=(-1)^{|\varphi|}d(\varphi h)$ と完全になるので、複体 $E$ は非輪状（$H^*(E)=0$）である。

例

DG代数

対象が 1 つの DG圏は、次数付き $k$ 多元環 $A$ に、次数 $1$ で $d^2=0$ かつ Leibniz 則 $d(ab)=d(a)b+(-1)^{|a|}a\,d(b)$ を満たす微分を入れたもの（DG代数）と同じである。とくに通常の $k$ 多元環は、次数 $0$ に集中した DG代数とみなせる。複体 $L$ について $\operatorname{Hom}(L,L)$ は prop-dg-cdg-is-dg により DG代数になる。

反対 DG圏

DG圏 $\mathcal A$ の反対 DG圏 $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ は、$\mathcal A^{\mathrm{op}}(X,Y)=\mathcal A(Y,X)$ とし、$f\in\mathcal A^{\mathrm{op}}(Y,X)^p$ と $g\in\mathcal A^{\mathrm{op}}(Z,Y)^q$ の合成を $(-1)^{pq}gf$ と定めたものである（Kel06 §2.2、p. 4）。符号 $(-1)^{pq}$ がないと Leibniz 則が崩れる（rem-dg-counterexamples）。右 DG加群とは DG関手 $\mathcal A^{\mathrm{op}}\to C_{\mathrm{dg}}(k)$ のことである（Kel06 §3.1、p. 5）。

準同値は逆をもつとは限らない

$C=\operatorname{Cone}(1_k)$（次数 $-1$ と $0$ に $k$ をおき、微分を恒等写像とした複体）とし、対象が 1 つで射の複体が $E=\operatorname{Hom}(C,C)$ の DG圏を $\mathcal E$ とする。$\mathbf 0$ を、対象が 1 つで射の複体が $0$ の DG圏とする。
ただ 1 つの DG関手 $F\colon\mathcal E\to\mathbf 0$ は準同値である。実際 ex-dg-cone により $E$ は非輪状なので $E\to0$ は擬同型であり、$H^0(\mathcal E)$ も $H^0(\mathbf 0)$ も「対象が 1 つで自己準同型が零環」の圏で、$H^0(F)$ は同型である。一方、DG関手 $G\colon\mathbf 0\to\mathcal E$ は存在しない。$G$ は恒等射を恒等射に送るが、$\mathbf 0$ では恒等射が $0$ なので $G(0)=0$ でなければならず、$1_C\ne0$（$C\ne0$）に矛盾する。
したがって準同値で「同じ」とみなすには、DG圏の圏を準同値で局所化する必要がある（thm-dg-tabuada）。

DG加群・導来圏・主な定理

ここからは主張と所在だけを述べ、この記事では証明しない。小さい DG圏 $\mathcal A$ について、右 DG加群の DG圏を $C_{\mathrm{dg}}(\mathcal A)$、その $Z^0$ を $C(\mathcal A)$ と書く。対象 $X$ が表す DG加群 $X^\wedge=\mathcal A(-,X)$ について、自然な同型 $\operatorname{Hom}(X^\wedge,M)\cong M(X)$（DG版の米田の補題）がある（Kel06 §3.1 の式 (1)、p. 5）。$\mathcal A$ が多元環 $B$ の DG圏（対象 1 つ）なら $C(\mathcal A)=C(B)$ である。

DG圏の導来圏

DG加群の射 $f\colon L\to M$ は、各対象 $X$ で $L(X)\to M(X)$ がコホモロジーの同型を引き起こすとき擬同型という。$C(\mathcal A)$ を擬同型で局所化した圏を $\mathcal A$ の導来圏 $D(\mathcal A)$ という（Kel06 §3.2、p. 6）。

$D(\mathcal A)$ は三角圏になり、$\mathcal A$ が多元環 $B$ なら通常の導来圏 $D(B)$（導来圏）に一致する（Kel06 §3.2・§3.4、pp. 6–7）。

Tabuadaのモデル構造

小さい DG圏の圏 $\mathrm{dgcat}_k$ には、弱同値が準同値であり、ファイブレーションが「射の複体の各成分で全射で、$H^0$ の同型を持ち上げる」DG関手であるような、余ファイブレーション的に生成されたモデル構造がある。

所在

Kel06 Theorem 4.1（p. 14）。とくに準同値で局所化した圏 $\mathrm{Hqe}$ の射は集合をなし、余ファイブラント置換からの射のホモトピー類で計算できる（同じ頁）。ex-dg-quasi-equivalence の準同値 $\mathcal E\to\mathbf 0$ は $\mathrm{Hqe}$ では同型になる。

前三角 DG圏

DG圏 $\mathcal A$ が前三角（pretriangulated）であるとは、米田埋め込み $Z^0(\mathcal A)\to C(\mathcal A)$、$X\mapsto X^\wedge$ の像が両方向のずらしと写像錐（拡大）で閉じていることをいう。このとき $H^0(\mathcal A)$ は三角圏である。また任意の小さい DG圏 $\mathcal A$ は、前三角 DG圏への普遍的な DG関手 $\mathcal A\to\operatorname{pretr}(\mathcal A)$ をもつ。

所在

Kel06 §4.5（p. 18）。三角圏 $\mathcal T$ が前三角 DG圏 $\mathcal A$ によって $\mathcal T\simeq H^0(\mathcal A)$ と表されるとき、$\mathcal A$ を $\mathcal T$ の DG強化という。

Rickardの定理（DG圏の形）

小さい DG圏 $\mathcal A,\mathcal B$ のコホモロジーが次数 $0$ に集中しているとき、次は同値である。

$D(\mathcal A)$ と $D(\mathcal B)$ は三角圏として同値である。
$D(\mathcal B)$ の充満部分圏 $\mathcal T$ で、対象がコンパクトな生成系をなし、$\operatorname{Hom}_{D(\mathcal B)}(T,T'[n])=0$（$n\ne0$、$T,T'\in\mathcal T$）を満たし、$H^0(\mathcal A)\simeq\mathcal T$ となるものがある。

所在

Kel06 Theorem 3.12（p. 11）。同じ箇所では、これらがさらに DG森田同値とも同値であることが述べられている。1 対象の場合、条件 2 の $\mathcal T$ は傾理論の傾複体にあたり、射影次元 $1$ の傾加群はその典型例である。

条件を外した反例

以下、$k=\mathbb Q$ とし、$C$ は ex-dg-quasi-equivalence の複体（$C^{-1}=\mathbb Qe$、$C^0=\mathbb Qe'$、$de=e'$）とする。

外す条件	反例	成り立たなくなること
射の複体の微分 $d(f)=d_Mf-(-1)^nfd_L$ の符号	符号を除いた $d'(f)=d_Mf-fd_L$ を $\operatorname{Hom}(C,C)$ に入れる	$d'^2=0$
反対 DG圏の合成の符号 $(-1)^{pq}$	符号なしの合成 $f\ast g=gf$ を $\operatorname{Hom}(C,C)$ の反対側に入れる	Leibniz 則

反例の確認

次数 $-1$ の写像 $h$（$e'\mapsto e$）と次数 $1$ の写像 $s$（$e\mapsto e'$）、次数 $0$ の写像 $p$（$e\mapsto e$、$e'\mapsto0$）を使う。$d(h)=d_Ch+hd_C=1$、$d(s)=d_Cs+sd_C=0$、$hs=p$、$d(p)=d_Cp-pd_C=s$ である。
1 行目：$d'(d'(f))=-2\,d_Mfd_L$ となる。$f=h$ では $d_Chd_C$ は $e\mapsto e'$ の写像 $s\ne0$ なので、$d'^2(h)=-2s\ne0$ である。
2 行目：Leibniz 則を $\ast$ に当てると $d(s\ast h)=d(s)\ast h+(-1)^{|s|}s\ast d(h)$ が要る。左辺は $d(hs)=d(p)=s$、右辺は $h\,d(s)-d(h)\,s=-s$ で、$s\ne-s$ である。符号つきの合成 $s\circ_{\mathrm{op}}h=(-1)^{|s||h|}hs=-p$ なら左辺は $-s$ となり、右辺 $(-1)^{|ds||h|}h\,d(s)-(-1)^{|s||dh|}d(h)\,s=-s$ と一致する。

補足

文献

DG圏・DG関手・準同値・$Z^0$・$H^0$ の定義と $C_{\mathrm{dg}}(B)$ の例は Kel06 §§2.1–2.3（pp. 2–5）、DG加群と導来圏は §§3.1–3.2（pp. 5–6）にある。射の複体の微分と Leibniz 則は、DG加群の言葉で Sch04 の式 (3.19) とその後の段落（p. 17）にもある。

DG圏の射の複体を単体的集合や位相空間に取り替えたものが単体的圏などであり、これらはいずれも豊穣圏の例である。