Jordan曲線定理

$C_\bullet(A+B)\subset C_\bullet(X)$ を $A$ の鎖と $B$ の鎖の和全体とし、これに次数 $-1$ の $\mathbb{Z}$ を添加したものを $\tilde C_\bullet(A+B)$ とする。Mayer–Vietoris完全列 の記事の定理（Mayer–Vietoris 完全列）の証明の段 1 の短完全列に、次数 $-1$ の完全列 $0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{(1,-1)}\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\xrightarrow{+}\mathbb{Z}\to0$ を添加しても鎖複体の短完全列であり（空集合でも次数 $-1$ は $\mathbb{Z}$ である）、その長完全列が主張の列の $\tilde H_i(X)$ を $H_i(\tilde C_\bullet(A+B))$ に置き換えたものである。残るのは、包含 $\tilde C_\bullet(A+B)\to\tilde C_\bullet(X)$ がホモロジーの同型を誘導することである。

$\Delta^m$ は弧状連結なので特異単体の像はどれか 1 つの $X_\lambda$ に入り、鎖複体は $C_\bullet(X)=\bigoplus_\lambda C_\bullet(X_\lambda)$ と分かれる。前半の主張はこれから従う。弧状連結な $Y\ne\emptyset$ では $H_0(Y)=C_0(Y)/\operatorname{im}\partial_1\cong\mathbb{Z}$（$\varepsilon$ が誘導する）である。実際、$\sum_jn_j=0$ なる $0$ 鎖 $\sum_jn_jx_j$ に対し、基点 $x_0$ から $x_j$ への道 $\tau_j$ をとると $\partial(\sum_jn_j\tau_j)=\sum_jn_jx_j-(\sum_jn_j)x_0=\sum_jn_jx_j$ なので $\ker\varepsilon=\operatorname{im}\partial_1$ である。よって $H_0(X)\cong\bigoplus_\lambda\mathbb{Z}$ で、$\tilde H_0(X)$ は係数の和が $0$ の元全体、すなわち $\lambda_0$ を 1 つ固定したときの $e_\lambda-e_{\lambda_0}$（$\lambda\ne\lambda_0$）を基底とする自由アーベル群である。

$x\in S^n$ と $0< c<1$ に対し、球冠 $K:=\{y\in S^n\mid\langle y,x\rangle>c\}$ は弧状連結な開集合である。実際 $y\in K$ に対し $z_t:=((1-t)y+tx)/\|(1-t)y+tx\|$ とおくと、分母は $1$ 以下、$\langle(1-t)y+tx,x\rangle=(1-t)\langle y,x\rangle+t\ge\langle y,x\rangle>c>0$ なので分母は $0$ でなく $\langle z_t,x\rangle>c$ であり、$z_t$ は $K$ の中で $y$ と $x$ を結ぶ。$W$ の点 $x$ には $W$ に含まれる球冠があるので、$x$ の属する弧状連結成分 $P$ はその球冠を含み、$P$ は開集合である。$W\setminus P$ は他の弧状連結成分の和なので開集合であり、$P$ は $W$ の中で開かつ閉である。$P$ は連結なので、$P$ は $W$ の連結成分である。

$I:=[0,1]$ とする。立方体 $[-1,1]^k$ と $D^k$ は $x\mapsto(\| x\|_\infty/\| x\|_2)\,x$（$0$ は $0$ へ）で同相である（逆写像は $y\mapsto(\| y\|_2/\| y\|_\infty)\,y$ で、$\|\cdot\|_\infty\le\|\cdot\|_2\le\sqrt k\|\cdot\|_\infty$ から $0$ でも連続）。よって $D^k$ を $I^k$ に取り替えてよい。$k$ に関する帰納法で示す。
$k=0$ では $h(I^0)$ は 1 点で、その補集合は $\mathbb{R}^n$ と同相なので可縮であり、特異ホモロジーのホモトピー不変性 の記事の系（可縮な空間の被約ホモロジー）と空でないことから主張が成り立つ。
$k\ge1$ とし、$k-1$ 次元の立方体の埋め込みについて主張が成り立つとする。ある $i\ge-1$ と $\tilde C_i(S^n\setminus h(I^k))$ の輪体 $\alpha$ で、$S^n\setminus h(I^k)$ の中で境界でないもの（$\tilde C_{i+1}$ のどの元の境界でもないもの）があったとして矛盾を導く。
段 1（区間の二等分）．閉区間 $J=[a,b]\subset I$（$a< b$）について、$\alpha$ が $S^n\setminus h(I^{k-1}\times J)$ の中で境界でないとする。$c:=(a+b)/2$ とし、$A:=S^n\setminus h(I^{k-1}\times[a,c])$、$B:=S^n\setminus h(I^{k-1}\times[c,b])$ とおくと、$A,B$ は開集合で
$$ A\cap B=S^n\setminus h(I^{k-1}\times J),\qquad A\cup B=S^n\setminus h(I^{k-1}\times\{c\}) $$
である。$I^{k-1}\times\{c\}$ は $k-1$ 次元の立方体なので、帰納法の仮定によりすべての $j\ge-1$ で $\tilde H_j(A\cup B)=0$ である。lem-jcg-mv の部分 $\tilde H_{i+1}(A\cup B)\to\tilde H_i(A\cap B)\xrightarrow{\Phi}\tilde H_i(A)\oplus\tilde H_i(B)$ から $\Phi$ は単射で、$[\alpha]\ne0$ だから $\Phi[\alpha]=([\alpha]_A,-[\alpha]_B)\ne0$ である。よって $\alpha$ は $A$ の中か $B$ の中の少なくとも一方で境界でない。すなわち、$J$ の半分の区間 $J'=[a,c]$ または $[c,b]$ で、$\alpha$ が $S^n\setminus h(I^{k-1}\times J')$ の中で境界でないものがある。
段 2（1 点への縮小）．$J_0:=I$ から始めて段 1 を繰り返すと、長さ $2^{-m}$ の閉区間の減少列 $J_0\supset J_1\supset J_2\supset\cdots$ で、どの $m$ でも $\alpha$ が $S^n\setminus h(I^{k-1}\times J_m)$ の中で境界でないものが得られる。$\bigcap_mJ_m=\{p\}$ とする。
段 3（コンパクト性による矛盾）．帰納法の仮定を $I^{k-1}\times\{p\}$ に使うと $\tilde H_i(S^n\setminus h(I^{k-1}\times\{p\}))=0$ なので、$\alpha=\partial\beta$ となる $\beta\in\tilde C_{i+1}(S^n\setminus h(I^{k-1}\times\{p\}))$ がある（$i+1\ge0$ なので $\beta$ は特異単体の有限一次結合である）。$\beta$ に現れる特異単体の像の和 $K$ はコンパクトである。$h$ の単射性から $h(I^{k-1}\times\{p\})=\bigcap_mh(I^{k-1}\times J_m)$ なので、
$$ K\subset S^n\setminus h(I^{k-1}\times\{p\})=\bigcup_m\bigl(S^n\setminus h(I^{k-1}\times J_m)\bigr) $$
であり、右辺は開集合の増大列である。$K$ はコンパクトなので、ある $m$ で $K\subset S^n\setminus h(I^{k-1}\times J_m)$ となる。すると $\alpha=\partial\beta$ はこの集合の中で境界であり、段 2 に反する。よってすべての $i\ge-1$ で $\tilde H_i(S^n\setminus h(I^k))=0$ である。最後の主張は lem-jcg-h0 と $\tilde H_{-1}=0$ による。

$k$ に関する帰納法で示す。$k=0$ では $h(S^0)$ は相異なる 2 点であり、準備の節により $S^n\setminus h(S^0)$ は $S^{n-1}$ とホモトピー同値である。$S^{n-1}$ の被約ホモロジーは $i=n-1$ で $\mathbb{Z}$、ほかで $0$ であり（Mayer–Vietoris完全列 の記事の命題（球面のホモロジー）、$S^{n-1}\neq\emptyset$ なので $i=-1$ でも $0$）、$n-1=n-k-1$ なので主張が成り立つ。
$k\ge1$ とする。$S^k$ を閉半球 $D_\pm:=\{x\in S^k\mid\pm x_{k+1}\ge0\}$ に分けると $D_+\cap D_-=S^{k-1}$（赤道）であり、$D_\pm$ は射影 $x\mapsto(x_1,\dots,x_k)$ により $D^k$ と同相である（逆写像は $y\mapsto(y,\pm\sqrt{1-\| y\|^2})$）。$A:=S^n\setminus h(D_+)$、$B:=S^n\setminus h(D_-)$ とおくと、$A,B$ は開集合で
$$ A\cap B=S^n\setminus h(S^k),\qquad A\cup B=S^n\setminus h(S^{k-1}) $$
である。thm-jcg-disk によりすべての $j\ge-1$ で $\tilde H_j(A)=\tilde H_j(B)=0$ なので、lem-jcg-mv の部分
$$ 0=\tilde H_{i+1}(A)\oplus\tilde H_{i+1}(B)\to\tilde H_{i+1}(A\cup B)\xrightarrow{\ \partial\ }\tilde H_i(A\cap B)\to\tilde H_i(A)\oplus\tilde H_i(B)=0 $$
から、すべての $i\ge-1$ で $\tilde H_i(S^n\setminus h(S^k))\cong\tilde H_{i+1}(S^n\setminus h(S^{k-1}))$ である（$i+1=-1$ にはならない）。$h|_{S^{k-1}}$ は $S^{k-1}$ の埋め込みなので、帰納法の仮定により右辺は $i+1=n-(k-1)-1$、すなわち $i=n-k-1$ のときだけ $\mathbb{Z}$ で、ほかは $0$ である。

$h\colon S^{n-1}\to\Sigma$ を同相写像とする。thm-jcg-sphere を $k=n-1$ で使うと、$\tilde H_i(S^n\setminus\Sigma)$ は $i=0$ で $\mathbb{Z}$、それ以外（$i=-1$ を含む）で $0$ である。よって $S^n\setminus\Sigma$ は空でなく、lem-jcg-h0 により弧状連結成分はちょうど 2 つ $U_1,U_2$ である。lem-jcg-open により $U_1,U_2$ は開集合で、$S^n\setminus\Sigma$ の連結成分と一致する。$i\ge1$ では $0=H_i(S^n\setminus\Sigma)\cong H_i(U_1)\oplus H_i(U_2)$（lem-jcg-h0）であり、$U_j$ は弧状連結なので、$U_1,U_2$ の被約ホモロジーはすべて $0$ である。
境界について。$U_1$ は開集合で $U_2$ と交わらないので、$U_1$ の閉包は開集合 $U_2$ と交わらず、$\partial U_1:=\overline{U_1}\setminus U_1\subset S^n\setminus(U_1\cup U_2)=\Sigma$ である。逆に $p\in\Sigma$ と $p$ の開近傍 $O$ を任意にとり、$O\cap U_1\ne\emptyset$ を示す。$q:=h^{-1}(p)$ とし、$h^{-1}(O\cap\Sigma)$ に含まれる $q$ 中心の開いた球冠 $C\subset S^{n-1}$ をとる（$n=1$ なら $C:=\{q\}$）。$S^{n-1}\setminus C$ は閉じた球冠で $D^{n-1}$ と同相なので、$h$ をそこへ制限すると thm-jcg-disk により $S^n\setminus h(S^{n-1}\setminus C)$ は弧状連結である。$x\in U_1$、$y\in U_2$ を結ぶ道 $\gamma\colon[0,1]\to S^n\setminus h(S^{n-1}\setminus C)$ をとる。$U_1$ と $U_2$ は $S^n\setminus\Sigma$ の異なる弧状連結成分なので、$\gamma$ は $\Sigma$ と交わる。$t_0:=\min\{t\mid\gamma(t)\in\Sigma\}$（$\Sigma$ はコンパクトなので最小値がある）とすると $t_0>0$ で、$\gamma([0,t_0))$ は $x$ を含む $S^n\setminus\Sigma$ の弧状連結な部分集合なので $U_1$ に含まれる。また $\gamma(t_0)\in\Sigma\setminus h(S^{n-1}\setminus C)=h(C)\subset O$ であり、$O$ は開集合なので、$t_0$ に十分近い $t< t_0$ で $\gamma(t)\in O\cap U_1$ となる。よって $p\in\overline{U_1}$、すなわち $\Sigma\subset\partial U_1$ である。$U_2$ についても同じである。

逆立体射影 $\psi:=\varphi_N^{-1}\colon\mathbb{R}^2\to S^2\setminus\{N\}$ は同相写像である。$\Sigma:=\psi(J)$ は $S^1$ と同相で $N\notin\Sigma$ である。thm-jcg-separation により $S^2\setminus\Sigma=U_1\sqcup U_2$ とし、$N\in U_1$ とする。$\psi$ は $\mathbb{R}^2\setminus J$ を $(U_1\setminus\{N\})\sqcup U_2$ へ同相に写す。
段 1（成分がちょうど 2 つ）．$U_1\setminus\{N\}$ が弧状連結であることを示す。$U_1$ に含まれる $N$ 中心の開いた球冠 $K$ をとると、$K$ は開円板と同相で、$K\setminus\{N\}$ は穴あき円板と同相なので弧状連結で、$\tilde H_0(K\setminus\{N\})=0$ である。$U_1=(U_1\setminus\{N\})\cup K$、共通部分 $K\setminus\{N\}\ne\emptyset$ に lem-jcg-mv を使うと、部分 $\tilde H_0(K\setminus\{N\})\to\tilde H_0(U_1\setminus\{N\})\oplus\tilde H_0(K)\to\tilde H_0(U_1)$ の両端が $0$ なので $\tilde H_0(U_1\setminus\{N\})=0$ であり、lem-jcg-h0 により弧状連結である（空でないことは $K\setminus\{N\}\ne\emptyset$ から）。よって $E:=\psi^{-1}(U_1\setminus\{N\})$、$I:=\psi^{-1}(U_2)$ が $\mathbb{R}^2\setminus J$ の弧状連結成分のすべてであり、lem-jcg-open と同じ理由でそれらは開集合で連結成分に一致する。
段 2（有界と非有界）．$J$ はコンパクトなので、ある $R$ で $J\subset\{\| y\|\le R\}$ である。$O:=\{\| y\|>R\}$ は弧状連結（動径方向と円周方向の道で結べる）で $J$ と交わらないので、$E$ か $I$ の一方に含まれる。$\| y\|\to\infty$ のとき $\psi(y)\to N\in U_1$ で $U_1$ は開集合なので、$O$ の点で $\psi(y)\in U_1$ となるものがあり、$O\subset E$ である。よって $E$ は有界でなく、$I\subset\mathbb{R}^2\setminus O$ は有界である。
段 3（境界）．thm-jcg-separation により $\overline{U_2}=U_2\cup\Sigma$ は $N$ を含まないので、$\mathbb{R}^2$ での $I$ の閉包は $I\cup J$ で、$\partial I=J$ である。$U_1$ は開集合なので $N$ は $U_1\setminus\{N\}$ の集積点であり、$\overline{U_1\setminus\{N\}}=\overline{U_1}=U_1\cup\Sigma$ である。よって $\mathbb{R}^2$ での $E$ の閉包は $E\cup J$ で、$\partial E=J$ である。