完全集合性質

1：空でない $X$ は $\mathcal N$ の連続像であり（Baire空間(記述集合論) の定理「Polish 空間は $\mathcal{N}$ の連続像」）、$\lvert\mathcal N\rvert=\aleph_0^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ なので $\lvert X\rvert\le2^{\aleph_0}$ である。空でない完全集合 $P$ は完備距離空間 $X$ の閉集合なので完備距離空間であり、相対位相で孤立点をもたない。孤立点 の記事の定理「完全集合への Cantor 集合の埋め込み」により $\lvert P\rvert\ge2^{\aleph_0}$ である。
2：$A$ が非可算なら空でない完全集合 $P\subseteq A$ を含み、1 から $2^{\aleph_0}=\lvert P\rvert\le\lvert A\rvert\le\lvert X\rvert\le2^{\aleph_0}$ である。$\square$

$X$ に完備な距離 $d$ を固定し、$f\colon\mathcal N\to X$ を連続、$A=f[\mathcal N]$ を非可算とする。
段 1：凝縮した部分。$U:=\bigcup\{N_s\mid f[N_s]\text{ は高々可算}\}$、$C:=\mathcal N\setminus U$ とおく。有限列は可算個なので、$f[U]$ は高々可算個の高々可算集合の和集合であり、高々可算である（可算選択公理を使う）。$s$ が $N_s\cap C\ne\emptyset$ を満たすとき、$x\in N_s\cap C$ をとると $x\notin U$ なので $f[N_s]$ は非可算であり、$f[N_s\cap U]\subseteq f[U]$ は高々可算だから、$f[N_s\cap C]$ は非可算である。$f[\mathcal N]$ が非可算なので $s=\emptyset$ について $N_\emptyset\cap C=C\ne\emptyset$ である。
段 2：枝分かれ。$\{0,1\}$ の有限列 $t$ ごとに有限列 $s_t\in\mathbb N^{<\mathbb N}$ を、$\lvert t\rvert$ についての帰納法で次を満たすように選ぶ。

• (a) $N_{s_t}\cap C\neq\emptyset$。
• (b) $s_{t^\frown i}$ は $s_t$ の真の延長（$i=0,1$）。
• (c) $\overline{f[N_{s_{t^\frown0}}]}\cap\overline{f[N_{s_{t^\frown1}}]}=\emptyset$。
• (d) $\lvert t\rvert\ge1$ なら $\operatorname{diam}f[N_{s_t}]\le2^{-\lvert t\rvert}$。
  $s_\emptyset:=\emptyset$ とする。$s_t$ が決まったら、段 1 から $f[N_{s_t}\cap C]$ は非可算なので、$x_0,x_1\in N_{s_t}\cap C$ で $f(x_0)\ne f(x_1)$ となるものがとれる。$r:=\min\{d(f(x_0),f(x_1))/3,\ 2^{-\lvert t\rvert-2}\}$ とおく。$f$ の連続性から、$n>\lvert s_t\rvert$ を十分大きくとると $f[N_{x_i|n}]\subseteq B(f(x_i),r)$（$i=0,1$）となり、$x_i\in N_{s_t}$ なので $x_i|n$ は $s_t$ の真の延長である。$s_{t^\frown i}:=x_i|n$ とする。$x_i\in N_{s_{t^\frown i}}\cap C$ なので (a)、作り方から (b) が成り立つ。$\overline{f[N_{s_{t^\frown i}}]}$ は閉球 $\overline B(f(x_i),r)$ に含まれ、二つの閉球の中心の距離は $3r$ 以上なので (c) が成り立ち、直径は $2r\le2^{-\lvert t\rvert-1}$ なので (d) が成り立つ。

段 3：Cantor 集合の像。$\beta\in\{0,1\}^{\mathbb N}$ について、(b) から $s_{\beta|0}\subsetneq s_{\beta|1}\subsetneq\cdots$ は延長の列なので、すべての $n$ で $z_\beta\in N_{s_{\beta|n}}$ となる $z_\beta\in\mathcal N$ がただ一つある。$g(\beta):=f(z_\beta)$ とおく。

• 連続：$\beta|n=\beta'|n$（$n\ge1$）なら $z_\beta,z_{\beta'}\in N_{s_{\beta|n}}$ なので、(d) から $d(g(\beta),g(\beta'))\le2^{-n}$。
• 単射：$\beta\ne\beta'$ が初めて第 $n$ 項で異なれば、$t:=\beta|n$ について $g(\beta)$ と $g(\beta')$ は $\overline{f[N_{s_{t^\frown0}}]}$ と $\overline{f[N_{s_{t^\frown1}}]}$ に別々に入り、(c) から異なる。
  $\{0,1\}^{\mathbb N}$ はコンパクトで孤立点をもたない（Cantor集合）。$g$ は連続な単射なので、像 $P:=g[\{0,1\}^{\mathbb N}]$ はコンパクト、したがって $X$ の閉集合であり、$g$ は $P$ への同相写像である（孤立点 の記事の定理「完全集合への Cantor 集合の埋め込み」の証明の最後の段と同じ）。同相写像は孤立点を孤立点に写すので $P$ は孤立点をもたず、空でない完全集合である。$P\subseteq f[\mathcal N]=A$ である。濃度は prop-psp-cardinality による。$\square$

$\mathfrak c:=2^{\aleph_0}$ とし、$\mathfrak c$ を初期順序数（濃度 $\mathfrak c$ の最小の順序数）とみる。
完全集合の数え上げ。$\mathbb R$ の閉集合 $F$ は、補集合に含まれる有理端点の開区間の全体で決まるので、閉集合は高々 $\mathfrak c$ 個である。空でない完全集合は少なくとも一つある（$[0,1]$）ので、選択公理 により空でない完全集合の全体を（重複を許して）$(P_\xi)_{\xi<\mathfrak c}$ と並べられる。prop-psp-cardinality の 1 により各 $\lvert P_\xi\rvert=\mathfrak c$ である。
超限再帰。$\xi<\mathfrak c$ について、すでに選んだ点 $\{a_\eta,b_\eta\mid\eta<\xi\}$ の濃度は $2\lvert\xi\rvert<\mathfrak c$（$\mathfrak c$ は初期順序数）なので、$P_\xi$ の点でそれらと異なるものが $\mathfrak c$ 個残る。$\mathbb R$ の整列順序を一つ固定し、その中から最初の 2 点を $a_\xi< b_\xi$（整列順序で）として選ぶ。$B:=\{a_\xi\mid\xi<\mathfrak c\}$ とおく。
確かめ。$a_\xi\in B\cap P_\xi$ である。$b_\xi\notin B$ を示す：$\eta<\xi$ なら $a_\eta\ne b_\xi$（$b_\xi$ は前に選んだ点と異なる）、$\eta=\xi$ なら $a_\xi\ne b_\xi$、$\eta>\xi$ なら $a_\eta$ は $b_\xi$ を含む前の点と異なるように選んだ。よって $b_\xi\in P_\xi\setminus B$ である。$a_\xi$ はすべて異なるので $\lvert B\rvert=\mathfrak c$ である。空でない完全集合 $P\subseteq B$ があれば $P=P_\xi$ となる $\xi$ があり、$b_\xi\in P\setminus B$ となって矛盾する。$\square$