遺伝環

$F$ を自由左加群とし、その基底を順序数で添字付けて $(x_\alpha)_{\alpha<\kappa}$ と書く（整列可能定理を使う）。順序数 $\alpha\le\kappa$ に対し、$x_\beta$（$\beta<\alpha$）が生成する部分加群を $F_\alpha$ とする。$F_0=0$、$F_{\alpha+1}=F_\alpha\oplus Rx_\alpha$ であり、$F$ の各元は有限個の基底の一次結合なので、ある $F_{\alpha+1}$（$\alpha<\kappa$）に属する。
$A\subseteq F$ を部分加群とする。$A\cap F_{\alpha+1}$ の元 $a$ はただ一通りに $a=b+\lambda x_\alpha$（$b\in F_\alpha$、$\lambda\in R$）と書ける。$a\mapsto\lambda$ は左 $R$-線形写像 $\varphi_\alpha\colon A\cap F_{\alpha+1}\to R$ で、核は $A\cap F_\alpha$、像は左イデアル $I_\alpha$ である。仮定により $I_\alpha$ は射影的なので、全射 $A\cap F_{\alpha+1}\to I_\alpha$ は分裂し、
$$ A\cap F_{\alpha+1}=(A\cap F_\alpha)\oplus C_\alpha,\qquad C_\alpha\cong I_\alpha $$
となる部分加群 $C_\alpha$ がとれる。$A=\bigoplus_{\alpha<\kappa}C_\alpha$ を示す。
直和であること：$c_1+\cdots+c_n=0$（$c_i\in C_{\alpha_i}$、$\alpha_1<\cdots<\alpha_n$）とする。$i< n$ なら $C_{\alpha_i}\subseteq F_{\alpha_i+1}\subseteq F_{\alpha_n}$ なので、$c_n=-(c_1+\cdots+c_{n-1})\in(A\cap F_{\alpha_n})\cap C_{\alpha_n}=0$ である。$n$ についての帰納法で、すべての $c_i=0$ である。
和が $A$ 全体であること：そうでないとし、$A\cap F_\beta\not\subseteq\sum_\alpha C_\alpha$ となる最小の順序数 $\beta$ をとる。$F_0=0$ なので $\beta\ne0$ である。$\beta$ が極限順序数なら、$F_\beta$ の元は有限個の基底で書けるのである $\gamma<\beta$ の $F_\gamma$ に属し、最小性に反する。よって $\beta=\gamma+1$ であり、$A\cap F_\beta$ の元 $a$ は $a=b+c$（$b\in A\cap F_\gamma$、$c\in C_\gamma$）と書ける。最小性から $b\in\sum_\alpha C_\alpha$ なので $a\in\sum_\alpha C_\alpha$ となり、矛盾する。

1 ⇒ 2：左イデアルは自由左加群 ${}_RR$ の部分加群なので射影的である。
2 ⇒ 1：射影加群 $P$ の部分加群 $N$ をとる。$P$ はある自由加群 $F$ の直和因子なので、$N$ は $F$ の部分加群とみなせる。lem-hereditary-ring-kaplansky により $N$ は左イデアルと同型な加群の直和であり、各左イデアルは仮定により射影的である。射影加群の直和は射影的（射影加群 の記事の命題「自由加群と直和」）なので、$N$ は射影的である。
1 ⇒ 3：任意の左加群 $M$ に対して自由加群からの全射 $F\twoheadrightarrow M$ をとると、核 $K$ は射影加群 $F$ の部分加群なので射影的である。したがって
$$ 0\longrightarrow K\longrightarrow F\longrightarrow M\longrightarrow0 $$
は長さ1以下の射影分解であり、3 が従う。
3 ⇒ 1：射影加群 $P$ の部分加群 $N$ をとる。短完全列
$$ 0\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow P/N\longrightarrow0 $$
から得られる Ext の長完全列で、$P$ が射影的なので $\operatorname{Ext}^i_R(P,L)=0$（$i\ge1$）であり、任意の左加群 $L$ について
$$ \operatorname{Ext}^1_R(N,L)\cong \operatorname{Ext}^2_R(P/N,L)=0 $$
となる（右辺は $\operatorname{pd}(P/N)\le1$ による）。すべての $L$ に対して $\operatorname{Ext}^1_R(N,L)=0$ なので、$\operatorname{pd}N=0$、すなわち $N$ は射影的である（この段の二か所で、射影次元と Ext の関係 Wei94 Lemma 4.1.6 を使った）。

左半遺伝なら、有限生成左イデアルは ${}_RR$ の有限生成部分加群なので射影的である。
逆を示す。まず、有限階の自由加群 $R^n$ の有限生成部分加群 $A$ が射影的であることを $n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $A=0$ である。$n\ge1$ とし、最後の座標への射影 $A\to R$ の像を $I$、核を $B=A\cap R^{n-1}$ とする。$I$ は有限生成な $A$ の像なので有限生成左イデアルであり、仮定により射影的である。よって $0\to B\to A\to I\to0$ は分裂し、$A\cong B\oplus I$ である。$B$ は $A$ の直和因子として $A$ の像になるので有限生成であり、帰納法の仮定により射影的である。よって $A$ は射影的である。
一般の射影加群 $P$ の有限生成部分加群 $N$ をとる。$P$ を自由加群 $F$ の直和因子とみると、$N$ の有限個の生成元は $F$ の有限個の基底で書けるので、$N$ は有限階の自由加群 $R^n\subseteq F$ の有限生成部分加群であり、上により射影的である。

$R=T_2(k)$ とし、行列単位を $e_{ij}$ と書く。$e_{11}e_{12}=e_{12}\ne0=e_{12}e_{11}$ なので $R$ は非可換である。
左遺伝であること：$R$ は第 1 列 $P_1:=Re_{11}$（$(1,1)$ 成分だけの行列）と第 2 列 $P_2:=Re_{22}$（$(1,2)$・$(2,2)$ 成分だけの行列）の直和であり、どちらも ${}_RR$ の直和因子なので射影的である。第 2 列を列ベクトル $(y,z)$ と書くと、$\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}$ は $(y,z)\mapsto(ay+bz,\,cz)$ と作用する。$P_2$ の部分加群 $V$ が $z\ne0$ の元 $(y,z)$ を含むなら、$z^{-1}e_{22}$ を掛けて $(0,1)\in V$、さらに $e_{12}$ を掛けて $(1,0)\in V$ となり、$V=P_2$ である。そうでなければ $V\subseteq U:=\{(y,0)\}$ で、$U$ は $1$ 次元なので $V=0$ か $U$ である。$U$ への作用は $(y,0)\mapsto(ay,0)$ で、$P_1$ への作用と同じなので $U\cong P_1$ は射影的である。
左イデアル $I\subseteq P_1\oplus P_2$ をとり、$P_2$ への射影 $\pi\colon I\to P_2$ を考える。像は $0$、$U$、$P_2$ のいずれかで、どれも射影的なので、$\pi$ から像への全射は分裂し、$I\cong(I\cap P_1)\oplus\pi(I)$ である。$I\cap P_1$ は $1$ 次元の $P_1$ の部分加群なので $0$ か $P_1$ である。よって $I$ は射影的であり、thm-hereditary-ring-equivalences の 2 により $R$ は左遺伝環である。
右遺伝であること：$J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ として $\tau(M):=J\,{}^tM\,J$ とおくと、$\tau\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c&b\\0&a\end{pmatrix}$ であり、$J^2=1$ から $\tau(MN)=\tau(N)\tau(M)$ である。よって $\tau$ は $R$ から反対環 $R^{\mathrm{op}}$ への同型で、$R$ の右イデアルを左イデアルに移し、射影性を保つ。左遺伝性から右遺伝性が従う。

全射 $\pi:R\to I$、$r\mapsto r\varepsilon$ の核は $I$ である。もし $I$ が射影的なら $\pi$ は分裂し、$I$ は ${}_RR$ の直和因子になる。単位的環の左イデアルが ${}_RR$ の直和因子なら、ある冪等元 $e$ によって $I=Re$ と書ける。
ところが $R$ の冪等元を $e=a+b\varepsilon$ と書くと、$e^2=e$ から $a^2=a$ かつ $(2a-1)b=0$ を得る。体では $a=0$ または $1$ であり、どちらの場合も $2a-1$ は $-1$ または $1$ なので $b=0$ である。従って冪等元は $0,1$ だけである。しかし $I$ は零イデアルでも $R$ 全体でもないから、直和因子にはなれない。よって $I$ は射影的でなく、イデアル判定法により $R$ は遺伝環でない。

射影加群 の記事の定理「双対基底の補題」により、$I$ の元の族 $(x_i)$ と準同型 $f_i\colon I\to R$ で、各 $x\in I$ について $f_i(x)=0$ が有限個を除いて成り立ち $x=\sum_if_i(x)x_i$ となるものがある。$0$ でない $a\in I$ を一つ固定する。$x\in I$ について $af_i(x)=f_i(ax)=xf_i(a)$ なので、分数体 $K$ の元 $q_i:=f_i(a)/a$ により $f_i(x)=xq_i$ と書ける。$f_i(a)=0$ となる $i$ を除くと有限集合 $F$ が残り、$i\notin F$ なら $q_i=0$ である。$x=a$ として $a=a\sum_{i\in F}q_ix_i$、すなわち $1=\sum_{i\in F}q_ix_i$ を得る。よって任意の $x\in I$ について $x=\sum_{i\in F}(xq_i)x_i=\sum_{i\in F}f_i(x)x_i$ であり、$I$ は $x_i$（$i\in F$）で生成される。

$V$ の二元はある $k[\![s_n]\!]$ に同時に属し、$k[\![s_n]\!]$ は整域で、$0$ でない二元の一方が他方を割る（$s_n$ の最低次の指数で比べる）。よって $V$ は付値整域である。$f\in k[\![s_n]\!]$ の最低次の指数を $n!$ で割った有理数 $v(f)$ は $n$ の取り方によらず、$V$ の極大イデアルは $\mathfrak m=\{f\mid v(f)>0\}$ である。
$\mathfrak m$ が有限生成なら、付値環 の記事の系「有限生成イデアルは単項」により $\mathfrak m=(f)$ と書ける。$r:=v(f)>0$ は有理数なので、$r/2$ の分母を割る $n!$ をとれば $t^{r/2}:=s_n^{\,n!r/2}\in\mathfrak m$ である。$t^{r/2}=fg$ なら $r/2=r+v(g)\ge r$ となり矛盾する。よって $\mathfrak m$ は有限生成でなく、lem-hereditary-ring-projective-ideal-fg により射影的でない。半遺伝性は ex-hereditary-ring-valuation-domain である。