エキゾチックR⁴

1 ⇒ 2． $\Phi\colon R\to\mathbb{R}^4$ を微分同相写像とする。$\Phi(K)$ はコンパクトなので、ある $r>0$ で $\Phi(K)\subset B_r$ である。$F(x):=\Phi^{-1}(rx)$ は $B_2$ から $R$ の開集合への微分同相写像なので、$f:=F\vert_{D^4}$ は滑らかな円板で、$f(B_1)=\Phi^{-1}(B_r)\supset K$ である。
2 ⇒ 1． $R$ は単連結な多様体なので向き付け可能である（Hat02 Proposition 3.25、p. 234）。向きを 1 つ固定する。滑らかな円板 $f$ が向きを逆にするなら、鏡映 $r$ との合成 $f\circ r$ は向きを保ち、$f\circ r(B_1)=f(B_1)$ である。よって 2 の $f$ はつねに向きを保つものにとれる。
$R$ は第 2 可算で局所コンパクトなので、コンパクト集合の増大列 $K_1\subset K_2\subset\cdots$ で $\bigcup_iK_i=R$ となるものがある。次の性質をもつ向きを保つ半径 $i$ の滑らかな円板 $E_i\colon D(i)\to R$（$i=1,2,\dots$）を帰納的に作る。
(a) $K_i\subset E_i(D(i))$。(b) $E_{i+1}\vert_{D(i)}=E_i$。
$E_1$ は、2 を $K_1$ に当てはめた向きを保つ円板でよい。$E_i$ まで作ったとする。$K':=K_{i+1}\cup E_i(D(i))$ はコンパクトなので、2 により向きを保つ滑らかな円板 $f$ で $K'\subset f(B_1)$ となるものがある。$f$ を延ばす開埋め込みを $B_\rho$ の上で $F$ とし、$G(x):=F\bigl(x/(i+1)\bigr)$ とおくと、$G$ は $B_{(i+1)\rho}$ から $R$ の開集合への向きを保つ微分同相写像で、$G(B_{i+1})=f(B_1)\supset K'$ である。
$E_i$ を延ばす開埋め込みを $F_i\colon B_{i\rho'}\to R$ とする。$E_i(D(i))$ はコンパクトで開集合 $G(B_{i+1})$ に含まれるので、$\rho'>1$ を小さく取り直して $F_i(B_{i\rho'})\subset G(B_{i+1})$ としてよい。すると $h:=G^{-1}\circ E_i\colon D(i)\to B_{i+1}$ は、開埋め込み $G^{-1}\circ F_i$ の制限であり、連結な多様体 $B_{i+1}$ の中の向きを保つ半径 $i$ の滑らかな円板である。包含 $\iota\colon D(i)\to B_{i+1}$ も向きを保つ半径 $i$ の滑らかな円板である。$x\mapsto h(ix)$ と $x\mapsto ix$ に 円板定理（定理「円板定理」の 1）を当てはめると、$B_{i+1}$ の向きを保つ微分同相写像 $\Phi$ で、あるコンパクト集合 $C\subset B_{i+1}$ の外で恒等写像となり、$\Phi\circ h=\iota$ となるものがある。
$\Phi$ を $B_{(i+1)\rho}\setminus C$ の上で恒等写像として延ばすと、$B_{(i+1)\rho}$ の微分同相写像になる。そこで
$$ E_{i+1}:=G\circ\Phi^{-1}\big\vert_{D(i+1)} $$
とおくと、$E_{i+1}$ は開埋め込み $G\circ\Phi^{-1}\colon B_{(i+1)\rho}\to R$ の制限なので、向きを保つ半径 $i+1$ の滑らかな円板である。$x\in D(i)$ について $\Phi(h(x))=x$ なので $\Phi^{-1}(x)=h(x)$ で、
$$ E_{i+1}(x)=G(h(x))=G\bigl(G^{-1}(E_i(x))\bigr)=E_i(x) $$
となり (b) が成り立つ。$\Phi^{-1}(B_{i+1})=B_{i+1}$ なので $E_{i+1}(D(i+1))\supset G(B_{i+1})\supset K_{i+1}$ で、(a) が成り立つ。
(b) により、$x\in D(i)$ について $E(x):=E_i(x)$ と定めた写像 $E\colon\mathbb{R}^4\to R$ は $i$ の取り方によらない。各 $B_{i+1}$ の上で $E$ は開埋め込みの制限 $E_{i+1}\vert_{B_{i+1}}$ に一致するので、$E$ は滑らかで、各点の近くで微分同相である。$x,y\in\mathbb{R}^4$ はある $D(j)$ に入り、$E_j$ は単射なので、$E$ は単射である。(a) により $E(\mathbb{R}^4)\supset\bigcup_iK_i=R$ で、$E$ は全射である。全単射で局所的に微分同相な写像は微分同相写像なので、$R$ は $\mathbb{R}^4$ と微分同相である。$\square$

2． $B\subset A^\perp$ は直交性から明らかである。$x\in A^\perp$ を $x=a+b$（$a\in A$、$b\in B$）と書くと、すべての $a'\in A$ で $a\cdot a'=x\cdot a'-b\cdot a'=0$ である。$A$ はユニモジュラなので非退化で、$a=0$ となる。よって $x=b\in B$ である。
1． 形式 $L':=-(E_8\oplus\langle1\rangle)\oplus H$ を考える。$L'$ はユニモジュラ（直和の Gram 行列の行列式は $\pm1$ の積）で、$-\langle1\rangle$ の生成元の長さが $-1$ なので奇、$H$ が正と負の方向をもつので不定値である。階数は $8+1+2=11$、符号数は $-9+0=-9$ である。Rokhlinの定理 の定理「奇で不定値の形式の分類」により $L'\cong p\langle1\rangle\oplus q\langle-1\rangle$ で、$p+q=11$、$p-q=-9$ から $p=1$、$q=10$ である。よって同型 $L'\cong H_2(M)$ があり、$H$ の標準的な基底の像を $\alpha$、$\beta$ とすれば $\alpha\cdot\alpha=\beta\cdot\beta=0$、$\alpha\cdot\beta=1$ である。$H_2(M)=A\oplus B$（$B$ は $-(E_8\oplus\langle1\rangle)$ の像）は直交直和で、$A\cong H$ はユニモジュラなので、2 により $A^\perp=B\cong-(E_8\oplus\langle1\rangle)$ である。$\square$

$R_\Sigma$ が $\mathbb{R}^4$ と同相であることは thm-exo-ingredients の 2 である。後半を示せば、cor-exo-balls により $R_\Sigma$ はエキゾチックである。
滑らかな円板 $f\colon D^4\to R_\Sigma$ で $K\subset f(B_1)$ となるものがあったとする。
段 1：分解。 $V':=(S^2\times S^2)\setminus f(B_1)$ は、境界 $S:=f(\partial D^4)$ をもつコンパクトな滑らかな部分多様体である。$K\subset f(B_1)$ なので $V'\subset j(W)$ であり、$f(B_1)\subset R_\Sigma$ は $j(C)$ と交わらないので $j(C)\subset V'$ である。$V:=j^{-1}(V')$ とおくと、$V$ は $M$ のコンパクトな滑らかな部分多様体で、境界は $S':=j^{-1}(S)$（$S^3$ と微分同相）、$C\subset V$ である。$X:=M\setminus(V\setminus S')$ とおくと、$X$ は境界 $S'$ をもつコンパクトな滑らかな部分多様体で、$M=V\cup X$、$V\cap X=S'$ である。$X$ の連結成分で $S'$ と交わらないものは $M$ の開かつ閉な部分集合になるので、$M$ の連結性からそのような成分はなく、$S'$ は連結なので $X$ は連結である。
$X$ に $4$ 次元の球体 $D^4$ を $S'$ に沿って貼った滑らかな閉多様体を $M'$ とする（境界に沿った貼り合わせと連結和 の定理「貼り合わせの滑らかな構造」）。$W$ は連結なので、$S^2\times S^2$ に $j$ が向きを保つような向きを入れられる。$V\cup_{S}f(D^4)$ は $S^2\times S^2$ そのものなので、$M$ は $S^2\times S^2$ と $M'$ から球体を 1 つずつ除いて境界の球面で貼ったもの、すなわち連結和 $(S^2\times S^2)\#M'$ である。$M'$ は連結な滑らかな閉多様体である。
段 2：交叉形式。 連結和の交叉形式の公式（FNOP25 Proposition 8.3、p. 61）により、包含から来る同型 $H_2(V)\oplus H_2(X)\to H_2(M)$ があり、これは $Q_{S^2\times S^2}\oplus Q_{M'}$ を $M$ の交叉形式に移す（$H_2(V)\cong H_2(S^2\times S^2)$、$H_2(X)\cong H_2(M')$ は球体を除いても $H_2$ が変わらないことによる）。$H_2(V)$、$H_2(X)$ の $H_2(M)$ での像を $P$、$P'$ とすると、$H_2(M)=P\oplus P'$ は直交直和で、$P\cong H$、$P'\cong Q_{M'}$ である。
$C\subset V$ なので $\alpha,\beta\in P$ である。$A=\mathbb{Z}\alpha\oplus\mathbb{Z}\beta$ と $P$ はどちらも階数 $2$ で、$A\subset P$ である。Gram 行列の行列式は $A$ で $-1$、$P$ で $-1$ で、指数 $[P:A]$ について $\det(A)=[P:A]^2\det(P)$ なので $[P:A]=1$、すなわち $P=A$ である。lem-exo-form の 2 により $P'=A^\perp\cong-(E_8\oplus\langle1\rangle)$ である。よって $Q_{M'}\cong-(E_8\oplus\langle1\rangle)$ で、これは負定値で階数 $9$ である。
段 3：矛盾。 $M'$ は連結な滑らかな閉 $4$ 次元多様体で、交叉形式は負定値なので、Donaldsonの定理 により $Q_{M'}\cong9\langle-1\rangle$ である。一方、正定値な形式 $E_8\oplus\langle1\rangle$ は長さ $1$ の元をちょうど $2$ 個しかもたず（Donaldsonの定理 の例「対角化できない定値な形式」の 3）、$2\ne18$ なので対角化できない（同じ記事の補題「長さ 1 のベクトルの分離」の 3）。したがって $-(E_8\oplus\langle1\rangle)$ も $9\langle-1\rangle$ と同型でなく、矛盾する。$\square$