ガンマ分布
概要
ガンマ分布（gamma distribution）とは、形のパラメータ $\alpha>0$ と率 $\lambda>0$ について $(0,\infty)$ 上の密度 $\lambda^\alpha x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}/\Gamma(\alpha)$ をもつ確率分布で、指数分布（$\alpha=1$）とカイ二乗分布を特別な場合に含む。平均は $\alpha/\lambda$、分散は $\alpha/\lambda^2$ であり、率の等しい独立なガンマ分布の和はまたガンマ分布に従うので、率 $\lambda$ の独立な指数分布 $n$ 個の和は $\mathrm{Gamma}(n,\lambda)$ に従う。$\alpha$ が整数のときの分布関数は Poisson 分布の確率で書け、Poisson 過程の $n$ 回目の到着時刻の分布を与える。
ガンマ分布（gamma distribution）は、形のパラメータ $\alpha>0$ と率 $\lambda>0$ をもち、$(0,\infty)$ の上で密度 $\lambda^\alpha x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}/\Gamma(\alpha)$ をもつ確率分布である。正規化の定数は Γ関数 そのものであり、$\alpha=1$ のときは指数分布、$\alpha=\nu/2$、$\lambda=1/2$ のときは自由度 $\nu$ の カイ二乗分布 になる。
ガンマ分布は待ち時間の分布として現れる。独立に同じ指数分布に従う $n$ 個の待ち時間の和は形のパラメータ $n$ のガンマ分布に従い、これは Poisson過程 で $n$ 回目の出来事が起こる時刻の分布である。この記事では、積率・積率母関数・特性関数を求めたあと、率の等しい独立なガンマ分布の和がまたガンマ分布になること（再生性、主定理 1）と、形のパラメータが整数のときの分布関数が Poisson 分布の確率で書けること（主定理 2）を証明する。
定義
以下、確率変数はすべて 1 つの確率空間の上で考え、密度は 確率密度関数 の定義「確率密度関数」の意味とする。
$\alpha>0$、$\lambda>0$ とする。密度
$$
f_{\alpha,\lambda}(x):=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\,x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}\quad(x>0),\qquad f_{\alpha,\lambda}(x):=0\quad(x\le0)
$$
をもつ分布を、形のパラメータ（shape）$\alpha$、率（rate）$\lambda$ の ガンマ分布 といい、$\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)$ と書く。$\theta:=1/\lambda$ を 尺度（scale）といい、密度を $x^{\alpha-1}e^{-x/\theta}/(\Gamma(\alpha)\theta^\alpha)$ と書くこともある。
Γ関数 の例「尺度変換と Laplace 型積分」の式 $\int_0^\infty u^{z-1}e^{-au}\,du=\Gamma(z)/a^z$（$a>0$、$z>0$）を $z=\alpha$、$a=\lambda$ で使うと $\int f_{\alpha,\lambda}=1$ となるので、$f_{\alpha,\lambda}$ は確率密度である。文献によって 2 つめの引数が率のことも尺度のこともあるので、$\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)$ という記号を読むときはどちらの意味かを確かめる必要がある。この記事ではつねに率とする（Dur19 Example 2.1.17（p. 51）と同じ）。
| パラメータ | 分布 | 記事 |
|---|---|---|
| $\alpha=1$ | 率 $\lambda$ の指数分布（密度 $\lambda e^{-\lambda x}$） | 一様分布と指数分布, Poisson過程 |
| $\alpha=n$（正の整数） | Erlang 分布（独立に率 $\lambda$ の指数分布に従う $n$ 個の待ち時間の和） | cor-gam-exp-sum |
| $\alpha=\nu/2$、$\lambda=1/2$ | 自由度 $\nu$ のカイ二乗分布 $\chi^2_\nu$ | カイ二乗分布 |
密度の形は $\alpha$ で決まる。$\log f_{\alpha,\lambda}(x)$ の導関数は $(\alpha-1)/x-\lambda$ なので、$\alpha>1$ なら $f_{\alpha,\lambda}$ は $x=(\alpha-1)/\lambda$ で最大になり、$x\to+0$ で $0$ に近づく。$\alpha=1$ なら $x\to+0$ で $\lambda$ に近づき、単調に減少する。$\alpha<1$ なら $x\to+0$ で $+\infty$ に発散し、単調に減少する。
$X\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)$、$c>0$ なら $cX\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda/c)$ である。とくに $\lambda X\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,1)$、$2\lambda X\sim\chi^2_{2\alpha}$ である。
$P(X>0)=1$ なので、確率密度関数 の定理「単調な変換による密度」を $I=(0,\infty)$、$\varphi(x)=cx$ に使うと、$cX$ は $y>0$ で密度
$$
\frac1cf_{\alpha,\lambda}\Bigl(\frac yc\Bigr)=\frac{\lambda^\alpha}{c\,\Gamma(\alpha)}\Bigl(\frac yc\Bigr)^{\alpha-1}e^{-\lambda y/c}=\frac{(\lambda/c)^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\,y^{\alpha-1}e^{-(\lambda/c)y}=f_{\alpha,\lambda/c}(y)
$$
をもち、$y\le0$ で密度 $0$ をもつ。後半は $c=\lambda$ と $c=2\lambda$ の場合であり、$\mathrm{Gamma}(\alpha,\frac12)=\chi^2_{2\alpha}$ による。$\square$
積率・積率母関数・特性関数
$X\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)$ とする。
- 実数 $r$ について、$E[X^r]$ が有限であることと $r>-\alpha$ は同値であり、そのとき
$$ E[X^r]=\frac{\Gamma(\alpha+r)}{\Gamma(\alpha)\,\lambda^r} $$
である。とくに $E[X]=\alpha/\lambda$、$\mathrm{Var}(X)=\alpha/\lambda^2$ である。 - 実数 $s$ について、$E[e^{sX}]$ が有限であることと $s<\lambda$ は同値であり、そのとき $E[e^{sX}]=(1-s/\lambda)^{-\alpha}$ である。
1：確率密度関数 の定理「密度による期待値の公式」により $E[X^r]=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty x^{\alpha+r-1}e^{-\lambda x}\,dx$ である。$x\ge1$ の部分は指数関数の減衰によりつねに有限であり、$0< x< 1$ の部分は $e^{-\lambda}\le e^{-\lambda x}\le1$ なので、$\int_0^1x^{\alpha+r-1}\,dx< \infty$、すなわち $\alpha+r>0$ と同値である。そのとき Γ関数 の例「尺度変換と Laplace 型積分」を $z=\alpha+r$、$a=\lambda$ で使うと、積分は $\Gamma(\alpha+r)/\lambda^{\alpha+r}$ に等しい。Γ関数 の命題「関数等式と階乗」により $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$、$\Gamma(\alpha+2)=(\alpha+1)\alpha\,\Gamma(\alpha)$ なので、$E[X]=\alpha/\lambda$、$E[X^2]=\alpha(\alpha+1)/\lambda^2$、$\mathrm{Var}(X)=\alpha(\alpha+1)/\lambda^2-\alpha^2/\lambda^2=\alpha/\lambda^2$ である。
2：$s< \lambda$ なら同じ式を $z=\alpha$、$a=\lambda-s$ で使い、$E[e^{sX}]=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{\Gamma(\alpha)}{(\lambda-s)^\alpha}=(1-s/\lambda)^{-\alpha}$ を得る。$s\ge\lambda$ なら $e^{(s-\lambda)x}\ge1$ なので、被積分関数 $e^{sx}f_{\alpha,\lambda}(x)$ は $x\ge1$ で $\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}$ 以上であり、$\alpha-1>-1$ から $\int_1^\infty x^{\alpha-1}\,dx=\infty$ となる。$\square$
平均 $\alpha/\lambda$ は「率 $\lambda$ の待ち時間の平均 $1/\lambda$ を $\alpha$ 個分」、分散 $\alpha/\lambda^2$ は「分散 $1/\lambda^2$ を $\alpha$ 個分」と読める。$\alpha$ が整数のときは cor-gam-exp-sum によって文字どおりの意味になる。
$X\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)$ の特性関数 $\varphi(t):=E[e^{itX}]$（特性関数(確率論)）は、すべての実数 $t$ について
$$
\varphi(t)=\Bigl(1+\frac{t^2}{\lambda^2}\Bigr)^{-\alpha/2}\exp\Bigl(i\alpha\arctan\frac t\lambda\Bigr)
$$
である。$1-it/\lambda$ の絶対値は $(1+t^2/\lambda^2)^{1/2}$、偏角は $-\arctan(t/\lambda)\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)$ なので、右辺は複素数の冪 $(1-it/\lambda)^{-\alpha}$ を偏角の主値でとったものであり、そう書く。
右辺を $g(t)$ とおく。$\frac{d}{dt}\arctan\frac t\lambda=\frac{\lambda}{\lambda^2+t^2}$ を使って微分すると
$$
\frac{g'(t)}{g(t)}=-\frac{\alpha t}{\lambda^2+t^2}+\frac{i\alpha\lambda}{\lambda^2+t^2}=\frac{i\alpha(\lambda+it)}{(\lambda+it)(\lambda-it)}=\frac{i\alpha}{\lambda-it}
$$
である。
次に $\varphi$ が同じ微分方程式を満たすことを示す。$w:=\lambda-it$ とおくと、確率密度関数 の定理「密度による期待値の公式」を実部と虚部に使って $\varphi(t)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-wx}\,dx$ である。実数 $h\ne0$ について $\lvert(e^{ihx}-1)/h\rvert\le\lvert x\rvert$ であり、$E[X]< \infty$（thm-gam-moments の 1）なので、優収束定理 により
$$
\varphi'(t)=\lim_{h\to0}E\Bigl[e^{itX}\,\frac{e^{ihX}-1}{h}\Bigr]=E\bigl[iXe^{itX}\bigr]=\frac{i\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty x^{\alpha}e^{-wx}\,dx
$$
である。$\frac{d}{dx}\bigl(x^\alpha e^{-wx}\bigr)=\alpha x^{\alpha-1}e^{-wx}-wx^\alpha e^{-wx}$ を $[\varepsilon,R]$ で積分して $\varepsilon\to+0$、$R\to\infty$ とすると、境界の項の絶対値 $x^\alpha e^{-\lambda x}$ は $\alpha>0$ と $\lambda>0$ により両端で $0$ に近づくので
$$
w\int_0^\infty x^\alpha e^{-wx}\,dx=\alpha\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-wx}\,dx
$$
である。よって $\varphi'(t)=\frac{i\alpha}{\lambda-it}\varphi(t)$ である。$g$ は $0$ にならないので $(\varphi/g)'=(\varphi'g-\varphi g')/g^2=0$ であり、$\varphi(0)=g(0)=1$ から $\varphi=g$ を得る。$\square$
$\alpha=1$ とすると、率 $\lambda$ の指数分布の特性関数 $\lambda/(\lambda-it)$ を得る。
主定理 1：再生性
$X\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)$ と $Y\sim\mathrm{Gamma}(\beta,\lambda)$ が独立なら、$X+Y\sim\mathrm{Gamma}(\alpha+\beta,\lambda)$ である。
確率密度関数 の定理「独立な和の密度は畳み込み」により、$X+Y$ は密度 $h(z)=\int_{-\infty}^\infty f_{\alpha,\lambda}(z-y)\,f_{\beta,\lambda}(y)\,dy$ をもつ。$z\le0$ なら、$y\le0$ では $f_{\beta,\lambda}(y)=0$、$y>0$ では $z-y< 0$ で $f_{\alpha,\lambda}(z-y)=0$ なので、$h(z)=0$ である。$z>0$ なら、被積分関数は $0< y< z$ の外で $0$ であり、
$$
h(z)=\frac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_0^z(z-y)^{\alpha-1}y^{\beta-1}e^{-\lambda(z-y)}e^{-\lambda y}\,dy=\frac{\lambda^{\alpha+\beta}e^{-\lambda z}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_0^z(z-y)^{\alpha-1}y^{\beta-1}\,dy
$$
である。置換 $y=zu$（$dy=z\,du$）により
$$
\int_0^z(z-y)^{\alpha-1}y^{\beta-1}\,dy=z^{\alpha+\beta-1}\int_0^1(1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}\,du=z^{\alpha+\beta-1}B(\beta,\alpha)
$$
であり、ベータ関数 の定理「Γ関数による表示」により $B(\beta,\alpha)=\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta)$ である。よって
$$
h(z)=\frac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha+\beta)}\,z^{\alpha+\beta-1}e^{-\lambda z}=f_{\alpha+\beta,\lambda}(z)\qquad(z>0)
$$
である。$\square$
特性関数で見ると、thm-gam-cf の式の絶対値の冪と偏角はどちらも $\alpha$ に比例するので $(1-it/\lambda)^{-\alpha}(1-it/\lambda)^{-\beta}=(1-it/\lambda)^{-(\alpha+\beta)}$ であり、独立な和の特性関数は積になることと、特性関数が分布を決めること（特性関数(確率論)）からも thm-gam-sum が従う。さらに、$X+Y$ と $X/(X+Y)$ が独立で、後者がベータ分布に従うことは ベータ分布 で示す。
$T_1,\dots,T_n$ が独立で、どれも率 $\lambda$ の指数分布に従うなら、$T_1+\cdots+T_n\sim\mathrm{Gamma}(n,\lambda)$ である。とくに $E[T_1+\cdots+T_n]=n/\lambda$ である。
率 $\lambda$ の指数分布は $\mathrm{Gamma}(1,\lambda)$ である。$n$ についての帰納法による。$T_1+\cdots+T_{n-1}\sim\mathrm{Gamma}(n-1,\lambda)$ とすると、$T_1+\cdots+T_{n-1}$ と $T_n$ は独立（Dur19 Theorem 2.1.10（p. 47）：独立な確率変数の互いに交わらない組の関数は独立）なので、thm-gam-sum により和は $\mathrm{Gamma}(n,\lambda)$ に従う。平均は thm-gam-moments の 1 による。$\square$
$n=2$ の場合の畳み込みの計算は 確率密度関数 の例「指数分布の和」にある。この系は Dur19 Theorem 2.1.18（p. 51）にも述べられている。
主定理 2：Poisson 分布との関係
形のパラメータが整数のとき、ガンマ分布の分布関数は初等関数で書け、Poisson 分布の確率と結びつく。$\mathrm{Po}(\mu)$ は平均 $\mu$ の Poisson 分布である（Poisson分布 の定義「Poisson 分布」）。
$n$ を正の整数、$X\sim\mathrm{Gamma}(n,\lambda)$ とする。すべての $t\ge0$ について
$$
P(X>t)=\sum_{k=0}^{n-1}e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!}
$$
である。すなわち $N\sim\mathrm{Po}(\lambda t)$ とすると $P(X\le t)=P(N\ge n)$ である。
右辺を $G(t)$ とおく。$k\ge1$ の項の導関数は $-\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!}+\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!}$、$k=0$ の項の導関数は $-\lambda e^{-\lambda t}$ なので、$k=0,\dots,n-1$ について足すと隣り合う項が打ち消し合い、$\Gamma(n)=(n-1)!$ により
$$
G'(t)=-\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}=-f_{n,\lambda}(t)\qquad(t>0)
$$
となる。$G$ は $[0,\infty)$ で連続で $G(0)=1$ なので、微分積分学の基本定理 により $G(t)=1-\int_0^tf_{n,\lambda}(s)\,ds$ である。右辺の積分は 確率密度関数 の定理「分布関数による特徴づけ」により $P(X\le t)$ に等しい（$X>0$ が確率 $1$ で成り立つ）。よって $G(t)=P(X>t)$ である。後半は $P(N\le n-1)=G(t)$ による。$\square$
この等式は、2 通りの数え方が一致することを表している。強度 $\lambda$ の Poisson 過程 $N(t)$ の到着間隔は独立にどれも率 $\lambda$ の指数分布に従い（Poisson過程 の定理「到着間隔の分布」）、第 $n$ の到着時刻 $S_n$ はその $n$ 個の和なので、cor-gam-exp-sum により $S_n\sim\mathrm{Gamma}(n,\lambda)$ である。一方 $\{S_n\le t\}=\{N(t)\ge n\}$（同じ記事の補題「回数と到着時刻の言い換え」）で、$N(t)\sim\mathrm{Po}(\lambda t)$ なので、$P(S_n\le t)=P(N(t)\ge n)$ となる。これは thm-gam-erlang の式そのものである。
一般の $\alpha>0$ では、分布関数は $P(X\le t)=\gamma(\alpha,\lambda t)/\Gamma(\alpha)$ と書ける。ここで $\gamma(a,x):=\int_0^xu^{a-1}e^{-u}\,du$ は不完全ガンマ関数で、これは置換 $u=\lambda s$ による。
大きな $\alpha$ での正規近似。 $X\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)$ を標準化した $(X-\alpha/\lambda)/(\sqrt\alpha/\lambda)=(\lambda X-\alpha)/\sqrt\alpha$ は、prop-gam-scale により $\nu=2\alpha$ として $(V-\nu)/\sqrt{2\nu}$（$V\sim\chi^2_\nu$）と同じ分布をもつ。よって カイ二乗分布 の命題「正規分布による近似」により、$\alpha\to\infty$ で標準化した分布は標準正規分布に近づく（密度の各点収束と、すべての Borel 集合の上で一様な確率の収束）。
例
電話が強度 $2$（1 分あたり平均 $2$ 回）の Poisson 過程に従って着信するとする。3 回目の着信までの時間 $S_3$ は $\mathrm{Gamma}(3,2)$ に従い、平均は $3/2$ 分、分散は $3/4$ である。thm-gam-erlang により、3 回目の着信が 1 分以内に来る確率は
$$
P(S_3\le1)=1-e^{-2}\Bigl(1+2+\frac{2^2}{2}\Bigr)=1-5e^{-2}=0.3233\ldots
$$
である。これは 1 分間の着信の回数が 3 回以上である確率に等しい。
$Z\sim N(0,1)$ なら $Z^2\sim\chi^2_1=\mathrm{Gamma}(\frac12,\frac12)$ であり（カイ二乗分布 の定義の節）、prop-gam-scale により $Z^2/2\sim\mathrm{Gamma}(\frac12,1)$ である。密度は $x^{-1/2}e^{-x}/\Gamma(\frac12)$ で、$\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$ である。$\alpha=\frac12<1$ なので密度は $x\to+0$ で発散する。$Z_1,\dots,Z_k$ が独立にどれも $N(0,1)$ に従えば、thm-gam-sum により $(Z_1^2+\cdots+Z_k^2)/2\sim\mathrm{Gamma}(\frac k2,1)$ である。
$\alpha,\beta>0$ とし、正の値をとる確率変数 $\Lambda$ と、$\{0,1,2,\dots\}$ に値をとる確率変数 $K$ が、すべての Borel 集合 $A\subset(0,\infty)$ と $k\ge0$ について
$$
P(\Lambda\in A,\ K=k)=\int_Ae^{-\ell}\frac{\ell^k}{k!}\,f_{\alpha,\beta}(\ell)\,d\ell
$$
を満たすとする。これは「まず $\Lambda$ を $\mathrm{Gamma}(\alpha,\beta)$ に従って選び、$\Lambda=\ell$ のもとで $K$ を $\mathrm{Po}(\ell)$ に従って選ぶ」2 段階の試行である。$A=(0,\infty)$ とし、Γ関数 の例「尺度変換と Laplace 型積分」を $z=\alpha+k$、$a=1+\beta$ で使うと
$$
P(K=k)=\frac{\beta^\alpha}{k!\,\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty\ell^{\alpha+k-1}e^{-(1+\beta)\ell}\,d\ell=\frac{\Gamma(\alpha+k)}{k!\,\Gamma(\alpha)}\Bigl(\frac{\beta}{1+\beta}\Bigr)^\alpha\Bigl(\frac1{1+\beta}\Bigr)^k
$$
である。この分布を負の二項分布という。和と積分を入れ替えると（Fubiniの定理 の Tonelli の形）、$\sum_kke^{-\ell}\ell^k/k!=\ell$、$\sum_kk(k-1)e^{-\ell}\ell^k/k!=\ell^2$ から $E[K]=E[\Lambda]=\alpha/\beta$、$E[K(K-1)]=E[\Lambda^2]=\alpha(\alpha+1)/\beta^2$ であり、$\mathrm{Var}(K)=\alpha/\beta+\alpha/\beta^2$ は平均 $\alpha/\beta$ より大きい。平均と分散が等しい Poisson 分布と比べて、ばらつきの大きい数え上げのデータに使われる。
また $K=k$ を観測したあとの $\Lambda$ の分布は
$$
P(\Lambda\in A\mid K=k)=\frac{P(\Lambda\in A,\ K=k)}{P(K=k)}=\int_Af_{\alpha+k,\,\beta+1}(\ell)\,d\ell
$$
である。被積分関数 $e^{-\ell}\ell^kf_{\alpha,\beta}(\ell)$ が $\ell^{\alpha+k-1}e^{-(\beta+1)\ell}$ の定数倍で、全体の積分 $P(K=k)$ で割ると密度 $f_{\alpha+k,\beta+1}$ になるからである。観測の前も後もガンマ分布であり、ベータ分布 が二項分布に対して果たすのと同じ役割をガンマ分布は Poisson 分布に対して果たす。
反例：条件を外したとき
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 独立（thm-gam-sum） | $X\sim\mathrm{Gamma}(1,1)$、$Y=X$ | $X+Y=2X\sim\mathrm{Gamma}(1,\frac12)$ で、$\mathrm{Gamma}(2,1)$ ではない |
| 率が等しい（thm-gam-sum） | 独立な $X\sim\mathrm{Gamma}(1,1)$、$Y\sim\mathrm{Gamma}(1,2)$ | $X+Y$ の密度 $2(e^{-z}-e^{-2z})$ はどのガンマ分布の密度でもない |
| $\alpha>0$（def-gam） | $\alpha=0$ | $\int_0^1x^{-1}e^{-\lambda x}\,dx=\infty$ で、正規化できない |
| $s< \lambda$（thm-gam-moments の 2） | $s=\lambda$ | $E[e^{\lambda X}]=\infty$ |
1 行目：prop-gam-scale を $c=2$ に使うと $2X\sim\mathrm{Gamma}(1,\frac12)$ で、平均は $2$、分散は $4$ である。$\mathrm{Gamma}(2,1)$ の平均は $2$ だが分散は $2$ なので、2 つは異なる。
2 行目：$z>0$ で $\int_0^ze^{-(z-y)}\,2e^{-2y}\,dy=2e^{-z}(1-e^{-z})=2(e^{-z}-e^{-2z})$ である。これがすべての $z>0$ で $f_{a,b}(z)=cz^{a-1}e^{-bz}$（$c=b^a/\Gamma(a)$）に等しいとする。$z\to+0$ で左辺は $2z$ に、右辺は $cz^{a-1}$ に比が $1$ で近づくので $a=2$ である。両辺を $ze^{-z}$ で割ると $2(1-e^{-z})/z=ce^{-(b-1)z}$ がすべての $z>0$ で成り立つが、$z\to\infty$ で左辺は $0$ に近づき、右辺は $b\le1$ なら $0$ に近づかないので $b>1$ である。このとき両辺に $z$ を掛けると、左辺は $2$ に、右辺 $cze^{-(b-1)z}$ は $0$ に近づき、矛盾する。
3 行目：$0< x< 1$ で $x^{-1}e^{-\lambda x}\ge e^{-\lambda}/x$ である。4 行目は thm-gam-moments の 2 の証明の後半である。
関連項目
参考文献
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