テンソル圏
概要
テンソル圏（tensor category）とは、テンソル積に当たる双関手 $\otimes$、単位対象 $\mathbf{1}$、結合と交換の自然同型を備え、整合性公理と交換の対称性を満たす圏、すなわち対称モノイダル圏のことである。対象 $X$ の双対とは、評価 $X^\vee\otimes X\to\mathbf{1}$ と余評価 $\mathbf{1}\to X\otimes X^\vee$ がジグザグ等式を満たす対象 $X^\vee$ で、一意的な同型を除いて一意であり、$Y\otimes X^\vee$ が内部 Hom を与える。ベクトル空間が双対をもつことは有限次元であることと同値で、有限次元ベクトル空間・群の表現・有理 Hodge 構造の圏は剛体テンソル圏として Tannaka 双対や Mumford–Tate 群の土台になる。
テンソル圏は、ベクトル空間のテンソル積がもつ性質、すなわち結合法則、因子の入れ替え、単位となる 1 次元空間 $K$ を、それらの間の整合性ごと抽象化した圏である。さらに双対空間 $V^\vee$ と評価写像 $V^\vee\otimes V\to K$ に当たるものをすべての対象がもつとき、剛体（rigid）テンソル圏という。有限次元ベクトル空間、群の有限次元表現、有理 Hodge 構造（Hodge構造）はどれも剛体テンソル圏をなし、モチーフ的Galois群 の記事の定義「中立Tannakian圏」は剛体アーベルテンソル圏にファイバー関手を加えたものである。
この記事では、テンソル圏を対称モノイダル圏として定義し、双対対象を導入する。主定理として、双対は一意的な同型を除いて一意であること、双対をもつ対象 $X$ については内部 Hom が $Y\otimes X^\vee$ で与えられること、ベクトル空間の圏では双対をもつことと有限次元であることが同値であることを証明する。単位対象の自己準同型環が可換であることも示し、トレースと階数を例で計算する。「テンソル圏」の語は文献によって意味が違う（rem-tc-conventions）。
定義
テンソル圏（tensor category）とは、対称モノイダル圏 $(\mathcal{C},\otimes,\mathbf{1},\alpha,\lambda,\rho,\beta)$ のことである（モノイダル圏 の定義「組紐付きモノイダル圏と対称モノイダル圏」）。すなわち、圏 $\mathcal{C}$、双関手 $\otimes\colon\mathcal{C}\times\mathcal{C}\to\mathcal{C}$、単位対象 $\mathbf{1}$、自然同型
$$
\alpha_{X,Y,Z}\colon(X\otimes Y)\otimes Z\xrightarrow{\sim}X\otimes(Y\otimes Z),\quad\lambda_X\colon\mathbf{1}\otimes X\xrightarrow{\sim}X,\quad\rho_X\colon X\otimes\mathbf{1}\xrightarrow{\sim}X,\quad\beta_{X,Y}\colon X\otimes Y\xrightarrow{\sim}Y\otimes X
$$
の組であって、$\alpha,\lambda,\rho$ が五角形公理と三角形公理を、$\alpha,\beta$ が六角形公理を満たし、さらに
$$
\beta_{Y,X}\circ\beta_{X,Y}=\mathrm{id}_{X\otimes Y}
$$
が成り立つものをいう。$\alpha$ を結合の制約、$\beta$ を交換の制約という。
DM22 Definition 1.1（p. 5）は、結合の制約・交換の制約と単位対象（identity object）でテンソル圏を定義し、Remark 1.4 (b)（p. 6）でそれが対称モノイダル圏と同じものであると述べている。
以下の証明では、Mac Lane の厳格化定理（モノイダル圏 の定理「Mac Laneの厳格化定理」）とそれに伴う整合性定理により、$\alpha,\lambda,\rho$ を省いて $(X\otimes Y)\otimes Z=X\otimes(Y\otimes Z)$、$\mathbf{1}\otimes X=X=X\otimes\mathbf{1}$ と書く。交換の制約 $\beta$ は省かない（$\beta_{X,X}$ は一般に恒等射でない）。
モノイダル圏 $\mathcal{C}$ の対象 $X$ の双対（dual）とは、対象 $X^\vee$ と 2 つの射
$$
\mathrm{ev}_X\colon X^\vee\otimes X\to\mathbf{1},\qquad\mathrm{coev}_X\colon\mathbf{1}\to X\otimes X^\vee
$$
の組であって、次の 2 つの合成が恒等射になるものをいう（ジグザグ等式）。
$$
X\xrightarrow{\mathrm{coev}_X\otimes\mathrm{id}_X}X\otimes X^\vee\otimes X\xrightarrow{\mathrm{id}_X\otimes\mathrm{ev}_X}X,\qquad X^\vee\xrightarrow{\mathrm{id}_{X^\vee}\otimes\mathrm{coev}_X}X^\vee\otimes X\otimes X^\vee\xrightarrow{\mathrm{ev}_X\otimes\mathrm{id}_{X^\vee}}X^\vee
$$
すべての対象が双対をもつテンソル圏を剛体テンソル圏（rigid tensor category）という。
$\mathrm{ev}_X$ を評価、$\mathrm{coev}_X$ を余評価という。DM22 Definition 1.7（p. 9）は剛体性を内部 Hom の存在・反射性・テンソル積との両立の 3 条件で定め、脚注 1（pp. 9–10）でそれがすべての対象が双対をもつことと同値であると述べている。
主定理
$\mathcal{C}$ をモノイダル圏、$X$ を双対 $(X^\vee,\mathrm{ev}_X,\mathrm{coev}_X)$ をもつ対象とする。
- 任意の対象 $T,Y$ について、写像
$$ \Phi\colon\operatorname{Hom}(T\otimes X,Y)\to\operatorname{Hom}(T,Y\otimes X^\vee),\qquad g\mapsto(g\otimes\mathrm{id}_{X^\vee})\circ(\mathrm{id}_T\otimes\mathrm{coev}_X) $$
は全単射で、逆写像は $\Psi(f)=(\mathrm{id}_Y\otimes\mathrm{ev}_X)\circ(f\otimes\mathrm{id}_X)$ である。$\Phi$ は $T$ と $Y$ について自然である。したがって $Y\otimes X^\vee$ と $\mathrm{id}_Y\otimes\mathrm{ev}_X$ は $X$ から $Y$ への内部 Hom（内部Hom）を与え、関手 $-\otimes X$ は $-\otimes X^\vee$ の左随伴である。 - $(X',\mathrm{ev}',\mathrm{coev}')$ も $X$ の双対ならば、$\mathrm{ev}'\circ(\varphi\otimes\mathrm{id}_X)=\mathrm{ev}_X$ を満たす同型 $\varphi\colon X^\vee\to X'$ がただ 1 つあり、それは $(\mathrm{id}_X\otimes\varphi)\circ\mathrm{coev}_X=\mathrm{coev}'$ も満たす。
- $K$ を体とし、すべての $K$ ベクトル空間の圏を通常のテンソル積でモノイダル圏とみる。ベクトル空間 $V$ が双対をもつことと、$V$ が有限次元であることは同値である。有限次元なら、双対空間 $V^*=\operatorname{Hom}_K(V,K)$、$\mathrm{ev}(\xi\otimes v)=\xi(v)$、$\mathrm{coev}(1)=\sum_ie_i\otimes e^i$（$(e_i)$ は基底、$(e^i)$ は双対基底）が双対を与える。
- 双関手性から交換法則 $(a\otimes\mathrm{id})\circ(\mathrm{id}\otimes b)=a\otimes b=(\mathrm{id}\otimes b)\circ(a\otimes\mathrm{id})$ が成り立つ（モノイダル圏 の命題「テンソル積の交換法則」）。$g\colon T\otimes X\to Y$ について、交換法則で $(\mathrm{id}_Y\otimes\mathrm{ev}_X)\circ(g\otimes\mathrm{id}_{X^\vee\otimes X})=g\circ(\mathrm{id}_{T\otimes X}\otimes\mathrm{ev}_X)$ と書き換えると
$$ \Psi(\Phi(g))=g\circ\bigl(\mathrm{id}_T\otimes[(\mathrm{id}_X\otimes\mathrm{ev}_X)\circ(\mathrm{coev}_X\otimes\mathrm{id}_X)]\bigr)=g\circ(\mathrm{id}_T\otimes\mathrm{id}_X)=g $$
である（第 1 のジグザグ等式）。$f\colon T\to Y\otimes X^\vee$ について、同様に $(f\otimes\mathrm{id}_{X\otimes X^\vee})\circ(\mathrm{id}_T\otimes\mathrm{coev}_X)=(\mathrm{id}_{Y\otimes X^\vee}\otimes\mathrm{coev}_X)\circ f$ と書き換えると
$$ \Phi(\Psi(f))=\bigl(\mathrm{id}_Y\otimes[(\mathrm{ev}_X\otimes\mathrm{id}_{X^\vee})\circ(\mathrm{id}_{X^\vee}\otimes\mathrm{coev}_X)]\bigr)\circ f=f $$
である（第 2 のジグザグ等式）。$T$ と $Y$ についての自然性、すなわち $h\colon Y\to Y'$、$u\colon T'\to T$ について $\Phi(h\circ g\circ(u\otimes\mathrm{id}_X))=(h\otimes\mathrm{id}_{X^\vee})\circ\Phi(g)\circ u$ が成り立つことは、交換法則から従う。 - 1 を双対 $(X',\mathrm{ev}',\mathrm{coev}')$ に $Y=\mathbf{1}$ で使うと、$f\mapsto\mathrm{ev}'\circ(f\otimes\mathrm{id}_X)$ は全単射 $\operatorname{Hom}(T,X')\to\operatorname{Hom}(T\otimes X,\mathbf{1})$ である。$T=X^\vee$ として、$\mathrm{ev}'\circ(\varphi\otimes\mathrm{id}_X)=\mathrm{ev}_X$ となる $\varphi$ がただ 1 つある。役割を入れ替えて $\mathrm{ev}_X\circ(\psi\otimes\mathrm{id}_X)=\mathrm{ev}'$ となる $\psi\colon X'\to X^\vee$ をとると、$\mathrm{ev}_X\circ(\psi\varphi\otimes\mathrm{id}_X)=\mathrm{ev}'\circ(\varphi\otimes\mathrm{id}_X)=\mathrm{ev}_X$ であり、同じ全単射（双対 $X^\vee$ についてのもの）の単射性から $\psi\varphi=\mathrm{id}$ である。同様に $\varphi\psi=\mathrm{id}$ である。余評価については、1 を $T=\mathbf{1}$、$Y=X$ で双対 $X'$ に使うと $c\mapsto(\mathrm{id}_X\otimes\mathrm{ev}')\circ(c\otimes\mathrm{id}_X)$ は $\operatorname{Hom}(\mathbf{1},X\otimes X')\to\operatorname{End}(X)$ の全単射であり、$\mathrm{coev}'$ と $(\mathrm{id}_X\otimes\varphi)\circ\mathrm{coev}_X$ はどちらも $\mathrm{id}_X$ に写る（前者は第 1 のジグザグ等式、後者は $\mathrm{ev}'\circ(\varphi\otimes\mathrm{id})=\mathrm{ev}_X$ と第 1 のジグザグ等式による）。よって両者は等しい。
- 有限次元のとき、$v\in V$ は $\sum_ie_i\otimes e^i\otimes v\mapsto\sum_ie^i(v)e_i=v$、$\xi\in V^*$ は $\sum_i\xi\otimes e_i\otimes e^i\mapsto\sum_i\xi(e_i)e^i=\xi$ と写るので、ジグザグ等式が成り立つ。逆に $(D,\mathrm{ev},\mathrm{coev})$ を $V$ の双対とし、$\mathrm{coev}(1)=\sum_{j=1}^rv_j\otimes d_j$（テンソル積の元は有限和）と書く。第 1 のジグザグ等式は、すべての $v\in V$ について
$$ v=\sum_{j=1}^r\mathrm{ev}(d_j\otimes v)\,v_j $$
を意味する。よって $V$ は $v_1,\dots,v_r$ で張られ、有限次元である。$\square$
2 により、双対は「一意的な同型を除いて一意」であり、以下 $X^\vee$ と書く。1 を $Y=\mathbf{1}$ で読むと $\operatorname{Hom}(T,X^\vee)\cong\operatorname{Hom}(T\otimes X,\mathbf{1})$ であり、DM22 (1.6.5)（p. 8）の $X^\vee:=\underline{\operatorname{Hom}}(X,\mathbf{1})$ と一致する。剛体テンソル圏は対称モノイダル閉圏（対称モノイダル閉圏）である。
テンソル圏では交換の制約により、双対の役割を入れ替えられる。
$\mathcal{C}$ をテンソル圏、$X$ を双対をもつ対象とする。
- $(X,\ \mathrm{ev}_X\circ\beta_{X,X^\vee},\ \beta_{X,X^\vee}\circ\mathrm{coev}_X)$ は $X^\vee$ の双対である。したがって $X^\vee{}^\vee\cong X$ である。
- $\mathcal{C}$ が剛体アーベルテンソル圏なら、各 $X$ について関手 $-\otimes X$ は完全である。
要点：1 はジグザグ等式を $\beta$ の自然性と置換の整合性で移す計算。2 は 1 により $-\otimes X$ が左随伴と右随伴を両方もつことから従う。
詳細
$e:=\mathrm{ev}_X$、$c:=\mathrm{coev}_X$ と書く。テンソル圏では、$\alpha,\beta$ から作った射で因子の同じ置換を表すものはすべて等しく、単位対象との交換 $\beta_{\mathbf{1},A}$ は単位の同型と一致する（DM22 Proposition 1.5、p. 6。証明は Mac Lane の整合性定理による）。
1. 示すべき第 1 のジグザグ等式の合成は $L:=(\mathrm{id}_{X^\vee}\otimes e)(\mathrm{id}_{X^\vee}\otimes\beta_{X,X^\vee})(\beta_{X,X^\vee}\otimes\mathrm{id}_{X^\vee})(c\otimes\mathrm{id}_{X^\vee})$ である。$\beta_{X^\vee,-}$ の自然性を $c\colon\mathbf{1}\to X\otimes X^\vee$ に使うと $c\otimes\mathrm{id}_{X^\vee}=\beta_{X^\vee,X\otimes X^\vee}\circ(\mathrm{id}_{X^\vee}\otimes c)$ である。因子を $X^\vee_{(1)}\otimes X\otimes X^\vee_{(2)}$ と名付けると、$\beta_{X^\vee,X\otimes X^\vee}$ とそれに続く 2 つの $\beta$ の合成は置換 $X^\vee_{(1)}X X^\vee_{(2)}\mapsto X^\vee_{(2)}X^\vee_{(1)}X$ を表すので、整合性により $\beta_{X^\vee\otimes X,X^\vee}$ に等しい。$\beta_{-,X^\vee}$ の自然性を $e$ に使うと $(\mathrm{id}_{X^\vee}\otimes e)\circ\beta_{X^\vee\otimes X,X^\vee}=e\otimes\mathrm{id}_{X^\vee}$ なので、$L=(e\otimes\mathrm{id}_{X^\vee})(\mathrm{id}_{X^\vee}\otimes c)=\mathrm{id}_{X^\vee}$（$X$ の第 2 のジグザグ等式）である。第 2 のジグザグ等式も同じ計算で $X$ の第 1 のジグザグ等式に帰着する。
2. thm-tc-dual-main の 1 により $-\otimes X$ は $-\otimes X^\vee$ の左随伴である。1 で得た $X^\vee$ の双対 $X$ に同じ定理を使うと、$-\otimes X^\vee$ は $-\otimes X$ の左随伴である。左随伴は余極限を、右随伴は極限を保つので、$-\otimes X$ は余核と核を保ち、加法的関手として完全である（DM22 Proposition 1.16、p. 14）。$\square$
モノイダル圏 $\mathcal{C}$ の単位対象 $\mathbf{1}$ の自己準同型のなすモノイド $\operatorname{End}(\mathbf{1})$ は可換である。$\mathcal{C}$ が加法的なテンソル圏なら $\operatorname{End}(\mathbf{1})$ は可換環である。
要点：$\theta(f):=\lambda_{\mathbf{1}}\circ(f\otimes\mathrm{id}_{\mathbf{1}})\circ\lambda_{\mathbf{1}}^{-1}$ は交換法則により $\operatorname{End}(\mathbf{1})$ の中心に入り、$\theta$ は全単射なので、すべての元が中心にある。
詳細
ここだけは単位の同型 $\lambda,\rho$ を省かずに書く。(i) $\theta(f)$ は $\operatorname{End}(\mathbf{1})$ のすべての元 $g$ と可換である。実際、$\lambda$ の自然性から $g\circ\lambda_{\mathbf{1}}=\lambda_{\mathbf{1}}\circ(\mathrm{id}_{\mathbf{1}}\otimes g)$、$(\mathrm{id}\otimes g)\circ\lambda_{\mathbf{1}}^{-1}=\lambda_{\mathbf{1}}^{-1}\circ g$ であり、交換法則 $(f\otimes\mathrm{id})\circ(\mathrm{id}\otimes g)=(\mathrm{id}\otimes g)\circ(f\otimes\mathrm{id})$ を使うと $g\circ\theta(f)=\lambda_{\mathbf{1}}\circ(\mathrm{id}\otimes g)\circ(f\otimes\mathrm{id})\circ\lambda_{\mathbf{1}}^{-1}=\lambda_{\mathbf{1}}\circ(f\otimes\mathrm{id})\circ(\mathrm{id}\otimes g)\circ\lambda_{\mathbf{1}}^{-1}=\theta(f)\circ g$ である。(ii) $\theta$ は全単射である。$\rho$ の自然性 $\rho_{\mathbf{1}}\circ(f\otimes\mathrm{id}_{\mathbf{1}})=f\circ\rho_{\mathbf{1}}$ により $f\mapsto f\otimes\mathrm{id}_{\mathbf{1}}$ は $\operatorname{End}(\mathbf{1})\to\operatorname{End}(\mathbf{1}\otimes\mathbf{1})$ の全単射（逆は $\rho_{\mathbf{1}}$ による共役）であり、$\lambda_{\mathbf{1}}$ による共役も全単射だからである。(i)(ii) より $\operatorname{End}(\mathbf{1})$ のすべての元は中心にあり、$\operatorname{End}(\mathbf{1})$ は可換である。加法的なら合成は双加法的なので、可換環である。$\square$
加法的テンソル圏では $\operatorname{End}(\mathbf{1})$ が $\lambda_X$ を通して各対象に作用し、各 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ は $\operatorname{End}(\mathbf{1})$ 加群になる（DM22 p. 13）。モチーフ的Galois群 の記事の反例「単位対象の自己準同型が体でない圏」は、この環が体でないために中立 Tannakian 圏にならない例である。
トレースと階数
テンソル圏 $\mathcal{C}$ の双対をもつ対象 $X$ と $f\in\operatorname{End}(X)$ に対し、合成
$$
\operatorname{Tr}_X(f)\colon\mathbf{1}\xrightarrow{\mathrm{coev}_X}X\otimes X^\vee\xrightarrow{f\otimes\mathrm{id}}X\otimes X^\vee\xrightarrow{\beta_{X,X^\vee}}X^\vee\otimes X\xrightarrow{\mathrm{ev}_X}\mathbf{1}
$$
を $f$ のトレースといい、$\operatorname{rank}(X):=\operatorname{Tr}_X(\mathrm{id}_X)\in\operatorname{End}(\mathbf{1})$ を $X$ の階数（rank）という。
thm-tc-dual-main の 2 の $\varphi$ で双対を取り替えると $\mathrm{coev}$ に $\mathrm{id}\otimes\varphi$ が、$\mathrm{ev}$ に $\varphi^{-1}\otimes\mathrm{id}$ が付くが、$\beta$ の自然性で打ち消し合うので、トレースは双対の取り方によらない。DM22 (1.7.3)（p. 10）は同じ量を $\underline{\operatorname{Hom}}(X,X)\cong X^\vee\otimes X\to\mathbf{1}$ で定めている。
例
体 $K$ 上の有限次元ベクトル空間の圏 $\mathrm{Vec}_K$ は、通常のテンソル積、因子の入れ替え $v\otimes w\mapsto w\otimes v$ を交換の制約として、$K$ 線形な剛体アーベルテンソル圏であり、$\operatorname{End}(\mathbf{1})=K$ である（thm-tc-dual-main の 3）。$f\in\operatorname{End}(V)$ について
$$
1\mapsto\sum_ie_i\otimes e^i\mapsto\sum_if(e_i)\otimes e^i\mapsto\sum_ie^i\otimes f(e_i)\mapsto\sum_ie^i(f(e_i))
$$
なので、$\operatorname{Tr}_V(f)$ は通常の跡（跡）であり、$\operatorname{rank}(V)=\dim V$ である（$K$ の元とみる）。
$G$ を群（またはアフィン群スキーム）とし、$G$ の $K$ 上の有限次元表現の圏 $\operatorname{Rep}_K(G)$ を考える。$V\otimes W$ には $g(v\otimes w)=gv\otimes gw$、$V^*$ には反傾表現 $(g\xi)(v)=\xi(g^{-1}v)$ を入れる。$\mathrm{ev}$ は $G$ 同変であり、$\mathrm{coev}(1)=\sum_ie_i\otimes e^i$ は $V\otimes V^*\cong\operatorname{End}(V)$ の恒等写像に当たるので $G$ で不変である。よって $\operatorname{Rep}_K(G)$ は剛体アーベルテンソル圏で、$\operatorname{End}(\mathbf{1})=K$ であり、階数は表現の次元である（DM22 Example 1.24、p. 16）。
有理 Hodge 構造（重さの異なるものの直和を含む）の圏 $\mathrm{HS}_{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{Q}$ 線形なアーベル圏であり、テンソル積と双対 Hodge 構造をもつ（Hodge構造 の命題「Hodge 構造の圏はアーベル圏」「テンソル積と双対」）。評価 $H^\vee\otimes H\to\mathbb{Q}(0)$ は Hodge 構造の射であり、余評価 $\mathbb{Q}(0)\to H\otimes H^\vee\cong\underline{\operatorname{Hom}}(H,H)$ は恒等写像（型 $(0,0)$ の有理元）を指すので射である。よって $\mathrm{HS}_{\mathbb{Q}}$ は剛体アーベルテンソル圏で、$\operatorname{End}(\mathbf{1})=\mathbb{Q}$ である。この圏の中で 1 つの Hodge 構造が生成する部分に Mumford–Tate群 が対応する。
$K$ を標数 $0$ の体とし、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 次数付きの有限次元ベクトル空間 $V=V^0\oplus V^1$ の圏を考える。射は次数を保つ線型写像、$(V\otimes W)^k=\bigoplus_{i+j\equiv k}V^i\otimes W^j$ とし、交換の制約を Koszul の符号規則
$$
\beta(v\otimes w)=(-1)^{ij}\,w\otimes v\qquad(v\in V^i,\ w\in W^j)
$$
で定める。双対は $(V^*)^i:=(V^i)^*$ と通常の $\mathrm{ev},\mathrm{coev}$ で与えられ、これは $K$ 線形な剛体アーベルテンソル圏で $\operatorname{End}(\mathbf{1})=K$ である（DM22 Example 1.25、p. 16）。$V^0,V^1$ の基底を合わせた基底 $(e_i)$ をとり、$e_i$ の次数を $|i|$ とすると、$e^i$ の次数も $|i|$ なので
$$
\operatorname{rank}(V)\colon1\mapsto\sum_ie_i\otimes e^i\mapsto\sum_i(-1)^{|i|\cdot|i|}e^i\otimes e_i\mapsto\sum_i(-1)^{|i|}=\dim V^0-\dim V^1
$$
である。とくに $V=(0,K)$ の階数は $-1$ である。
ex-tc-rep では階数はつねに表現の次元（標数 $0$ では非負整数）なので、超ベクトル空間の圏はどの $\operatorname{Rep}_K(G)$ ともテンソル圏として同値でない（DM22 Example 1.25、p. 16。テンソル関手が双対と交換の制約を保ち、したがって階数を保つことは DM22 p. 12 に述べられている）。剛体アーベルで $\operatorname{End}(\mathbf{1})=K$ というだけでは、表現の圏であることは従わない。
反例
すべての $K$ ベクトル空間の圏は、通常のテンソル積で（アーベル）テンソル圏である。無限次元の $V$ は thm-tc-dual-main の 3 により双対をもたない。
- 満たす性質：テンソル圏の対象である。
- 満たさない性質：双対をもたない。
- 破る含意：「ベクトル空間のテンソル圏ではすべての対象が双対をもつ」。この圏は剛体でない。
有限生成 $\mathbb{Z}$ 加群の圏 $\mathrm{Mod}_{\mathbb{Z}}$ は、$\otimes_{\mathbb{Z}}$ でアーベルテンソル圏をなし、$\operatorname{End}(\mathbf{1})=\mathbb{Z}$ である（DM22 Example 1.22、p. 15）。$X=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は双対をもたない。
実際、双対 $D$ があったとする。thm-tc-dual-main の 1 を $T=D$、$Y=\mathbb{Z}$ で使うと $\operatorname{End}(D)\cong\operatorname{Hom}(D\otimes\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z})=0$（$D\otimes\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の元は 2 倍すると $0$ なので、$\mathbb{Z}$ への準同型は $0$）であり、$D=0$ である。次に $T=\mathbb{Z}$、$Y=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ で使うと $\operatorname{End}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong\operatorname{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\otimes D)=0$ となるが、左辺は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\ne0$ であり矛盾する。
- 満たす性質：有限生成で、テンソル圏の対象である。
- 満たさない性質：双対をもたない。
- 破る含意：「有限生成な対象は双対をもつ」。可換環 $R$ 上の有限生成射影加群の圏 $\mathrm{Proj}_R$ は剛体だが、一般にはアーベルでない（たとえば $R=\mathbb{Z}$ では $2\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ の核も余核も $0$ だが同型でない。DM22 Example 1.23、p. 15）。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 有限次元 | ex-tc-infinite の無限次元ベクトル空間 | 双対をもつこと（剛体性） |
| 射影的 | ex-tc-z2 の $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ | 双対をもつこと（剛体性） |
| 交換の制約が因子の入れ替えそのもの | ex-tc-super の $(0,K)$ | 階数が非負整数であること |
「テンソル圏」に標準的な定義はなく、著者ごとに都合のよい定義を採る（DM22 Remark 1.4 (a)、p. 6）。この記事は DM22 にならい対称性を含め、線形性・アーベル性・剛体性は付加条件として明示した。交換の制約を課さず、体上線形な剛体アーベルモノイダル圏を「テンソル圏」と呼ぶ流儀もある。どの流儀かは、$\beta$ を使う主張（cor-tc-exact の 1、トレースの定義）が成り立つかどうかに関わる。モノイダル圏 の記事が「テンソル圏」を同義語にしていないのはこのためである。
使われ方
- Tannaka 双対．$K$ 線形な剛体アーベルテンソル圏 $\mathcal{C}$ で $\operatorname{End}(\mathbf{1})=K$ のものに、完全かつ忠実な $K$ 線形テンソル関手 $\omega\colon\mathcal{C}\to\mathrm{Vec}_K$ を加えたものが中立 Tannakian 圏であり、$\omega$ のテンソル自己同型群から $\mathcal{C}\simeq\operatorname{Rep}_K(G)$ となる群スキーム $G$ が得られる（モチーフ的Galois群 の記事の定義「中立Tannakian圏」と「再構成定理」の節）。ex-tc-super は、ファイバー関手の条件が落とせないことを示している。
- Hodge 構造と Mumford–Tate 群．ex-tc-hodge の圏の中で $H$ と $H^\vee$ のテンソル積・直和・部分商で作れる対象全体を考え、忘却関手をファイバー関手とすると、その群が Mumford–Tate群 である。
- 剛体性と完全性．剛体アーベルテンソル圏ではテンソル積が完全（cor-tc-exact の 2）なので、テンソル積で部分対象・商対象・完全列を扱える。$\operatorname{End}(\mathbf{1})$ が体なら $\mathbf{1}$ は単純対象である（DM22 Proposition 1.17、p. 14）。
関連項目
参考文献
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