Kleimanの横断性定理
概要
Kleimanの横断性定理（Kleiman's transversality theorem）とは、標数 $0$ の代数閉体上で群多様体 $G$ が推移的に作用する多様体 $X$ と、非特異な多様体からの射 $f\colon Y\to X$、$g\colon Z\to X$ について、$G$ の空でない開集合の元 $\sigma$ で $f$ を $\sigma\circ f$ に取り替えると、ファイバー積 $Y\times_XZ$ が非特異で、空でなければ各既約成分の次元がちょうど $\dim Y+\dim Z-\dim X$ になるという定理である。部分多様体の場合は、一般の位置に動かした $Y$ が $Z$ と横断的に交わることを意味し、標数 $0$ の Bertini の定理を含む。証明には一般的滑らかさを用い、正標数では Frobenius 射のために成り立たない。
Kleimanの横断性定理（Kleiman's transversality theorem）は、標数 $0$ の代数閉体の上で、群が推移的に作用する多様体 $X$ の中の 2 つの非特異な部分多様体 $Y,Z$ について、$Y$ を群の一般の元で動かせば $Z$ と横断的に交わる、という定理である。正確には、$Y\to X$ と $Z\to X$ が非特異な多様体からの任意の射でよく、一般の $\sigma$ について $\sigma Y$ と $Z$ のファイバー積が非特異で、空でなければ次元がちょうど $\dim Y+\dim Z-\dim X$ になる（thm-kltr-main）。Kleiman–Bertini の定理とも呼ばれる。
射影空間は射影一般線形群の作用で、Grassmann 多様体や旗多様体も一般線形群の作用で、それぞれ推移的な作用をもつ。そこでは、部分多様体の交わりを「一般の位置に動かしてから数える」議論の基礎になる（Vak25 21.6.9, p. 630）。また $Y$ を超平面にとると、標数 $0$ での Bertini の定理（基点のない線形系の一般の元は非特異）が従う（cor-kltr-bertini）。
証明は、標数 $0$ でだけ成り立つ一般的滑らかさ（generic smoothness）を 2 回使う。正標数では Frobenius 射のために定理は成り立たない（反例の節）。
設定と記号
この記事では $k$ を標数 $0$ の代数閉体とする。多様体とは $k$ 上有限型の分離的な整スキームのことであり、非特異とはすべての局所環が正則局所環であることをいう。$k$ は代数閉なので、多様体が非特異であることと $k$ 上滑らかであることは同値である（Har77 III, Example 10.0.3, p. 268）。点といえば閉点を指すことがあり、多様体の閉点全体は $k$ 有理点全体 $X(k)$ と一致する。
射 $f\colon X\to Y$ が相対次元 $r$ で滑らかであるとは、Har77 III §10（p. 268）のとおり、$f$ が平坦で、既約成分 $X'\subset X$、$Y'\subset Y$ が $f(X')\subset Y'$ をみたすとき $\dim X'=\dim Y'+r$ となり、各点 $x$ で $\dim_{k(x)}\Omega_{X/Y}\otimes k(x)=r$ となることをいう（滑らかな射 の定義と同値）。次の事実を証明なしに使う。
- 滑らかな射は底変換と合成で保たれ、相対次元は底変換で変わらず合成で足される（Har77 III, Proposition 10.1, pp. 268–269。滑らかな射 の命題「底変換と合成」）。
- 相対次元 $r$ で滑らかな射の $k$ 有理点の上のファイバーは、非特異で、各既約成分の次元が $r$ である（Har77 III, Theorem 10.2, pp. 269–270）。
- 多様体は空でない非特異な開集合を含む（Har77 II, Corollary 8.16, p. 178）。
$f\colon X\to Y$ を多様体の射とし、$X$ は非特異とする。このとき $Y$ の空でない開集合 $V$ があって、$f^{-1}(V)\to V$ は滑らかである（$f^{-1}(V)$ は空でもよい）。
Har77 III, Corollary 10.7（p. 272）、Vak25 Theorem 21.6.6（p. 629）。標数 $0$ を本質的に使う。証明は、$k$ 上の関数体の拡大が分離生成であることから得られる、ファイバーの接空間の階数についての次元の評価による。この記事では証明しない。正標数では成り立たない（ex-kltr-counterexamples の 1 行目の Frobenius 射）。
群多様体と等質空間
群多様体とは、多様体 $G$ と射 $\mu\colon G\times G\to G$、$\iota\colon G\to G$ の組で、$G(k)$ が $\mu$ を積、$\iota$ を逆元として群になるものをいう（代数群 のうち多様体であるもの）。$G$ が多様体 $X$ に作用するとは、射 $\theta\colon G\times X\to X$ があって、$\sigma\in G(k)$ に $\theta(\sigma,-)$ を対応させる写像が群の準同型 $G(k)\to\operatorname{Aut}X$ になることをいう。以下 $\theta(\sigma,x)$ を $\sigma x$ と書く。
群多様体 $G$ が作用する多様体 $X$ が $G$ の等質空間であるとは、$G(k)$ が $X(k)$ に推移的に作用することをいう。
$G$ は左からの積で $G$ 自身の等質空間である。$\mathbb{P}^n$ は射影一般線形群 $\mathrm{PGL}_{n+1}$ の等質空間である（Har77 III, Example 10.7.2, p. 273）。
群多様体の等質空間は非特異である。とくに群多様体は非特異である。
事実 3 により空でない非特異な開集合 $U\subset X$ がある。$\sigma\in G(k)$ は $X$ の自己同型なので $\sigma U$ も非特異な開集合である。推移性から和 $U':=\bigcup_\sigma\sigma U$ はすべての閉点を含む。$X\setminus U'$ は閉点を含まない閉集合であり、$k$ 上有限型のスキームの空でない閉集合は閉点を含むので、$U'=X$ である。$\square$
主定理
射 $f\colon Y\to X$ と $\sigma\in G(k)$ について、$Y$ に射 $\sigma\circ f\colon Y\to X$ を与えたものを $Y^\sigma$ と書く。$f$ が閉埋め込みなら、$Y^\sigma$ は $X$ の中で $Y$ を $\sigma$ で動かした部分多様体 $\sigma Y$ である。
$k$ を標数 $0$ の代数閉体、$X$ を群多様体 $G$ の等質空間、$f\colon Y\to X$ と $g\colon Z\to X$ を非特異な多様体 $Y,Z$ からの射とする。このとき $G$ の空でない開集合 $V$ があって、すべての $\sigma\in V(k)$ について、ファイバー積 $Y^\sigma\times_XZ$ は非特異であり、空であるかまたは各既約成分の次元がちょうど
$$
\dim Y+\dim Z-\dim X
$$
である。
Har77 III, Theorem 10.8（pp. 273–274）、Vak25 Theorem 21.6.10(a)（p. 630）による。証明は次の節の prf-thm-kltr-main で与える。$\dim Y+\dim Z<\dim X$ なら、一般の $\sigma$ でファイバー積は空である。
$Y^\sigma\times_XZ$ は既約とは限らないので、「各既約成分の次元」と述べている。非特異なので既約成分は互いに交わらず、連結成分と一致する。
証明（prf-thm-kltr-main）は、$\sigma$ を動かした族 $W=(G\times Y)\times_XZ\to G$ が開集合 $V$ の上で相対次元 $\dim Y+\dim Z-\dim X$ で滑らかであることを示している（空になる成分は除く）。Vak25 Theorem 21.6.10(b)（p. 630）はこの形を述べている。各 $\sigma$ ごとのファイバーの主張 thm-kltr-main は、この族の主張から事実 2 で従う。
証明
証明の要は次の補題である。作用を合成した射 $h\colon G\times Y\to X$ は、一般的滑らかさによりある開集合の上で滑らかになり、群の作用で動かすと至るところで滑らかになる。
thm-kltr-main の状況で、$h\colon G\times Y\to X$ を $h(\sigma,y):=\sigma f(y)$（$\theta\circ(\mathrm{id}_G\times f)$）と定める。$h$ は相対次元 $\dim G+\dim Y-\dim X$ で滑らかである。
要点：$h$ は群の作用と両立するので、1 つの開集合の上での滑らかさが平行移動で全体に広がる。
詳しい証明を開く
$G$ と $Y$ は非特異（lem-kltr-homogeneous-smooth）なので $k$ 上滑らかであり、事実 1 により $G\times Y$ も $k$ 上滑らかである。滑らかなスキームの局所環は正則で整域なので、$G\times Y$ の既約成分 $C_1,\dots,C_s$ は互いに交わらず、それぞれ非特異な多様体である。各 $h|_{C_j}\colon C_j\to X$ に thm-kltr-generic-smoothness を使って空でない開集合 $V_j\subset X$ をとり、$V':=\bigcap_jV_j$ とおく。$X$ は既約なので $V'$ は空でない開集合で、$h^{-1}(V')\to V'$ は滑らかである。
$\tau\in G(k)$ は $G\times Y$ に $(\sigma,y)\mapsto(\tau\sigma,y)$ で、$X$ に $x\mapsto\tau x$ で同型として作用し、$h(\tau\sigma,y)=\tau h(\sigma,y)$ である。したがって $h^{-1}(\tau V')=\tau h^{-1}(V')$ であり、$h^{-1}(\tau V')\to\tau V'$ は $h^{-1}(V')\to V'$ と同型なので滑らかである。$G\times Y$ の閉点 $p$ をとると、$h(p)$ は閉点で、推移性から $V'$ の閉点を $h(p)$ に写す $\tau$ があり、$p\in h^{-1}(\tau V')$ となる。開集合 $\bigcup_\tau h^{-1}(\tau V')$ はすべての閉点を含むので $G\times Y$ 全体であり、$h$ は滑らかである。
相対次元を $r$ とする。$G\times Y$ の既約成分 $C_j$ と $X$ について定義の条件から $\dim C_j=\dim X+r$ であり、$\dim C_j=\dim G+\dim Y$（滑らかな射 $C_j\to\operatorname{Spec}k$ の相対次元）なので $r=\dim G+\dim Y-\dim X$ である。$\square$
$r:=\dim G+\dim Y-\dim X$、$d:=\dim Y+\dim Z-\dim X$ とおく。ファイバー積
$$
W:=(G\times Y)\times_XZ
$$
をとり、$h'\colon W\to Z$ と $q\colon W\to G\times Y\to G$ を射影とする。
$W$ は非特異で、各既約成分の次元は $\dim G+d$。 $h'$ は lem-kltr-action-smooth の $h$ の底変換なので相対次元 $r$ で滑らかである（事実 1）。$Z$ は非特異なので $k$ 上滑らかで、合成 $W\to Z\to\operatorname{Spec}k$ も滑らかである。よって $W$ の局所環は正則で、既約成分 $W_1,\dots,W_s$ は互いに交わらない非特異な多様体である。$Z$ は既約なので、滑らかさの定義の条件から $\dim W_i=\dim Z+r=\dim G+d$ である。
$q$ の一般のファイバー。 各 $q_i:=q|_{W_i}\colon W_i\to G$ に thm-kltr-generic-smoothness を使い、空でない開集合 $V_i\subset G$ で $q_i^{-1}(V_i)\to V_i$ が滑らかになるものをとる。$q_i$ が支配的でなければ、$V_i$ から $q_i(W_i)$ の閉包を除いて、$q_i^{-1}(V_i)=\emptyset$ としておく（$G$ は既約なので空にならない）。$q_i$ が支配的なら、$W_i\cap q_i^{-1}(V_i)$ は空でない開集合なので次元 $\dim W_i$ をもち、$q_i^{-1}(V_i)\to V_i$ の相対次元は $\dim W_i-\dim G=d$ である。$V:=\bigcap_iV_i$ は空でない開集合である。
ファイバーの同定。 $\sigma\in V(k)$ について、$q^{-1}(\sigma)=(\{\sigma\}\times Y)\times_XZ$ であり、$\{\sigma\}\times Y\cong Y$ の上で $h$ は $\sigma\circ f$ になるので、$q^{-1}(\sigma)\cong Y^\sigma\times_XZ$ である。$q^{-1}(\sigma)$ は $q_i^{-1}(\sigma)$ の交わらない和で、空でない各 $q_i^{-1}(\sigma)$ は相対次元 $d$ の滑らかな射の $k$ 有理点の上のファイバーなので、事実 2 により非特異で各既約成分の次元は $d$ である。$\square$
帰結
thm-kltr-main で $Y,Z$ を $X$ の非特異な閉部分多様体とする。一般の $\sigma\in G(k)$ について、$\sigma Y\cap Z$ の各閉点 $x$ で Zariski 接空間は $T_x(\sigma Y)+T_xZ=T_xX$ をみたす。
$\sigma Y\cap Z$（スキームとしての交わり）は $(\sigma Y)\times_XZ$ である。$x$ での局所環は $\mathcal{O}_{X,x}/(I+J)$（$I,J$ は $\sigma Y,Z$ のイデアル）なので、余接空間は $\mathfrak{m}_x/(\mathfrak{m}_x^2+I+J)$ であり、双対をとると $T_x(\sigma Y\cap Z)=T_x(\sigma Y)\cap T_xZ$ である。thm-kltr-main によりこの交わりは $x$ で非特異な次元 $d=\dim Y+\dim Z-\dim X$ のスキームなので、$\dim(T_x(\sigma Y)\cap T_xZ)=d$ である。$\sigma Y,Z,X$ は非特異なので接空間の次元はそれぞれ $\dim Y,\dim Z,\dim X$ であり、$\dim(T_x(\sigma Y)+T_xZ)=\dim Y+\dim Z-d=\dim X$ となる。$\square$
$X$ を非特異な射影多様体、$\varphi\colon X\to\mathbb{P}^n$ を基点のない線形系の定める射とし、$H\subset\mathbb{P}^n$ を超平面とする。$\mathrm{PGL}_{n+1}$ の空でない開集合 $V$ があって、$\sigma\in V(k)$ なら線形系の元 $\varphi^{-1}(\sigma H)$ は非特異である（既約とは限らない）。
$\mathbb{P}^n$ は $G=\mathrm{PGL}_{n+1}$ の等質空間である。thm-kltr-main を、$Y=H\cong\mathbb{P}^{n-1}$ の包含 $H\to\mathbb{P}^n$ と $Z=X$、$g=\varphi$ に使う。$H^\sigma\times_{\mathbb{P}^n}X=\varphi^{-1}(\sigma H)$ なので、一般の $\sigma$ でこれは非特異である。線形系の元は超平面の逆像 $\varphi^{-1}(H')$ にほかならない（Har77 III, Corollary 10.9 の証明, p. 274）。$\square$
Bertiniの定理 は、射影空間の中の非特異な射影多様体の一般の超平面切断が非特異であることを、任意の標数で示す。cor-kltr-bertini は標数 $0$ に限るかわりに、非常に豊富でない基点のない線形系にも使える。正標数ではこの形は成り立たない（Har77 III, Remark 10.9.3, p. 275）。
例
$C,D\subset\mathbb{P}^2$ を次数 $c,e$ の非特異な平面曲線とする。thm-kltr-main により一般の $\sigma\in\mathrm{PGL}_3(k)$ について $\sigma C\cap D$ は非特異な $0$ 次元のスキーム、すなわち被約な有限個の点である。各交点 $P$ での局所環 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2,P}/(F,G)$（$F,G$ は $\sigma C,D$ の局所方程式）は $k$ なので交点数は $1$ であり、Bézoutの定理 により交点はちょうど $ce$ 個である。$C$ と $D$ が共通成分をもたなければ $\sigma=\mathrm{id}$ でも交点数の和は $ce$ だが、$C$ と $D$ が接する点では交点数が $2$ 以上になり、点の個数は $ce$ より少なくなる。
$X=\mathbb{P}^n$、$Y,Z$ を次元 $a,b$ の線形部分空間（$a+b\ge n$）とする。$\mathbb{P}^n=\mathbb{P}(k^{n+1})$ と書き、$Y,Z$ を $(a+1)$ 次元・$(b+1)$ 次元の部分空間 $\tilde{Y},\tilde{Z}\subset k^{n+1}$ に対応させる。一般の $\sigma\in\mathrm{GL}_{n+1}(k)$ について $\sigma\tilde{Y}+\tilde{Z}=k^{n+1}$ となるので、$\dim(\sigma\tilde{Y}\cap\tilde{Z})=a+b+1-n$ であり、$\sigma Y\cap Z$ は次元 $a+b-n$ の線形部分空間である。線形部分空間は非特異なので、これは thm-kltr-main の結論と一致する。$\sigma\tilde{Y}+\tilde{Z}\ne k^{n+1}$ となる $\sigma$ は、$\sigma\tilde{Y}$ の基底と $\tilde{Z}$ の基底を並べた $(n+1)\times(a+b+2)$ 行列の $n+1$ 次の小行列式がすべて消える閉集合をなし、$\sigma\tilde{Y}+\tilde{Z}=k^{n+1}$ となる $\sigma$ は存在するのでこれは真の閉集合である。
$Z=\{x_0\}$ を 1 点とし、$g$ をその包含とする。$Y^\sigma\times_XZ=(\sigma\circ f)^{-1}(x_0)=f^{-1}(\sigma^{-1}x_0)$ なので、thm-kltr-main は「一般の $\sigma$ について、$f$ の $\sigma^{-1}x_0$ の上のファイバーは非特異で、空でなければ各既約成分の次元が $\dim Y-\dim X$」と述べる。$X$ が等質空間なので $\sigma^{-1}x_0$ は $X$ の一般の点を動き、これは $f$ の一般のファイバーが非特異であるという一般的滑らかさの主張（thm-kltr-generic-smoothness）と同じ形である。
$X=\mathbb{P}^3$、$Y,Z$ を交わる 2 直線とする。$\dim Y+\dim Z-\dim X=-1<0$ なので、一般の $\sigma\in\mathrm{PGL}_4(k)$ について $\sigma Y\cap Z=\emptyset$ である（空でなければ各既約成分の次元が $-1$ になってしまう）。$\sigma=\mathrm{id}$ では交わりは 1 点で空でなく、交わるかどうかは $\sigma$ の取り方による。
反例
仮定を 1 つずつ外すと結論が崩れる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 標数 $0$ → 標数 $p>0$ | $X=\mathbb{P}^1$、$G=\mathrm{PGL}_2$、$Y=\mathbb{P}^1$ と Frobenius 射 $F$、$Z$ は 1 点 | どの $\sigma$ でもファイバー積が被約でない |
| 等質空間 → 推移的でない作用 | $\mathbb{G}_m$ が拡大縮小で作用する $X=\mathbb{A}^1$、$Y=Z=\{0\}$ | 期待次元 $-1$ なのに、どの $\sigma$ でも空でない |
| $Y$ が非特異 → 尖点をもつ | $X=\mathbb{P}^2$、$Y$ は尖点 3 次曲線 $y^2z=x^3$、$Z=X$ | どの $\sigma$ でもファイバー積が特異 |
| 一般の $\sigma$ → 特定の $\sigma$ | $X=\mathbb{P}^2$、$Y=Z$ は同じ直線、$\sigma=\mathrm{id}$ | 交わりの次元が $1$ で期待次元 $0$ と異なる |
1 行目：$k$ を標数 $p$ の代数閉体とし、$F\colon\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$、$[x:y]\mapsto[x^p:y^p]$ とする。$X,Y,Z$ は非特異で、$X$ は等質空間である。点 $P=[a:1]$ について $F^{-1}(P)$ は $x^p-ay^p=(x-a^{1/p}y)^p$ の零点なので、$k[s]/(s^p)$ のスペクトル（$s=x/y-a^{1/p}$）であり被約でない（$P=[1:0]$ でも同じ）。$Y^\sigma\times_XZ=F^{-1}(\sigma^{-1}P)$ なので、どの $\sigma$ でも非特異でない（Har77 III, Example 10.5.1, p. 272 の Frobenius 射）。
2 行目：標数は $0$、$Y,Z$ は非特異（1 点）だが、作用の軌道は $\{0\}$ と $\mathbb{A}^1\setminus\{0\}$ で推移的でない。$\sigma\cdot0=0$ なので $Y^\sigma\times_XZ=\{0\}$ は空でなく次元 $0$ であり、$\dim Y+\dim Z-\dim X=-1$ と異なる。
3 行目：$Z=X=\mathbb{P}^2$ は非特異で、$Y^\sigma\times_XX\cong Y$ はどの $\sigma$ でも原点に尖点をもつ。
4 行目：$\sigma=\mathrm{id}$ では $Y\cap Z=Y$ は次元 $1$ である。thm-kltr-main の開集合 $V$ は単位元を含まない。一般の $\sigma$ では $\sigma Y\cap Z$ は 1 点である。
関連項目
- 前提: 滑らかな射, 代数群, ファイバー積, 非特異多様体
- 例: 射影一般線形群, Grassmann多様体, 旗多様体
- 比較: Bertiniの定理, 横断性定理, 等質空間
- 発展: Schubertカルキュラス, 交叉理論
参考文献
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