滑らかな底変換定理

$f'$ は $f$ の底変換なので準コンパクトかつ準分離である。$Y'$ の幾何的点 $\bar y'$ をとり、$\bar y:=g\circ\bar y'$ とおく。$g$ はエタールなので、局所非輪状の補題「エタール射と狭義局所化」により、狭義局所化の射 $\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y',\bar y'}\to\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y,\bar y}$ は同型である。
節「設定と記号」の茎の公式を $f$ と $f'$ に使うと、$\varphi^q$ の $\bar y'$ での茎は、引き戻しの写像
$$ H^q\bigl(X\times_Y\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y,\bar y},F\bigr)\longrightarrow H^q\bigl(X\times_Y\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y',\bar y'},F\bigr) $$
である。ここで $X'\times_{Y'}\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y',\bar y'}=X\times_Y\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y',\bar y'}$ を使い、$g'^{-1}F$ をさらに引き戻したものは $F$ の引き戻しであることを使った。引き戻しに使う射 $X\times_Y\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y',\bar y'}\to X\times_Y\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y,\bar y}$ は、同型 $\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y',\bar y'}\to\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y,\bar y}$ と $X$ とのファイバー積なので同型であり、同型による引き戻しはコホモロジーの同型である。よって $\varphi^q$ はすべての幾何的点で茎の同型であり、同型である（Stacks Tag 03PU）。$\square$

多項式 $\sum_m a_mx^m$ を、$p$ で割り切れる $m$（$m=0$ を含む）について $a_m=0$ となるとき標準形とよぶ。
(a) $k[x]$ の元は $\wp(k[x])$ を法として標準形の元と合同である。$h\in k[x]$ に $p\mid m$ の項 $ax^{m}$（$m=pm'$）があれば、$k$ は代数閉なので $b^p=a$ となる $b\in k$ があり、$h-\wp(bx^{m'})=h-ax^{m}+bx^{m'}$ では $x^m$ の項が消え、新しく加わる項の次数 $m'$ は $m$ より小さい（$m=0$ なら $m'=0$ で、$a$ は $b^p-b=a$ を満たす $b\in k$ をとって消す。$k$ は代数閉なので解がある）。$p\mid m$ の項の最大次数についての帰納法で、標準形の元に達する。
(b) 標準形の元 $u\in L[x]$ が $\wp(L[x])$ に属するなら $u=0$ である。$u=\wp(v)$、$v\in L[x]$ とする。$v$ の次数 $d$ が $1$ 以上なら、最高次の係数を $b\neq0$ として、$v^p-v$ の $x^{pd}$ の係数は $b^p\neq0$ であり、$p\mid pd$ なので $u$ が標準形であることに反する。よって $v$ は定数で、$u=v^p-v$ も定数である。標準形の定数項は $0$ なので $u=0$ である。
$cx=h+\wp(v)$（$h\in k[x]$、$v\in L[x]$）と仮定する。(a) により $h=h_0+\wp(w)$ となる標準形の $h_0\in k[x]$ と $w\in k[x]$ がある。すると $cx-h_0=\wp(v+w)$ であり、左辺は標準形（$x$ の項と、$p\nmid m$ の項だけをもつ）なので、(b) により $cx=h_0$ となる。$x$ の係数を比べて $c\in k$ となり、矛盾する。$\square$

$X'=\operatorname{Spec}k[x,s]$ で、$f'$ は $s$ 座標への射影である。
$H^1$ の計算。標数 $p$ の体 $L$ について、$\mathbb A^1_L$ のエタール位相で Artin–Schreier 列 $0\to\mathbb Z/p\to\mathbb G_a\xrightarrow{\wp}\mathbb G_a\to0$ は完全である（Stacks Tag 0A3J）。構造層のエタールコホモロジーは Zariski 位相のものと一致し（Stacks Tag 03P2）、アフィンスキームの上で $H^1$ は $0$ なので、長完全列から
$$ H^1(\mathbb A^1_L,\mathbb Z/p)\cong L[x]/\wp(L[x]) $$
を得る。体の拡大 $L\subset L_1$ による引き戻しは、包含 $L[x]\to L_1[x]$ が誘導する写像に対応する（長完全列の自然性）。
茎の計算。$Y'$ の生成点 $\eta$ の上に幾何的点 $\bar\eta\colon\operatorname{Spec}\Omega\to Y'$ をとる。$\eta$ での局所環は体 $k(s)$ であり、その狭義 Hensel 化は分離閉包 $L:=k(s)^{\mathrm{sep}}\subset\Omega$ である（狭義 Hensel 化は次元 $0$ の局所環で（Stacks Tag 06LK）、エタール代数の帰納極限として被約なので体であり、剰余体は $k(s)$ の分離閉包である（Stacks Tag 04GW））。節「設定と記号」の茎の公式から
$$ (R^1f'_*F)_{\bar\eta}=H^1(X'\times_{Y'}\operatorname{Spec}L,\mathbb Z/p)=H^1(\mathbb A^1_L,\mathbb Z/p) $$
である。一方 $k$ は分離閉なので $\operatorname{Spec}k$ の狭義 Hensel 化は $k$ 自身であり、$(g^{-1}R^1f_*F)_{\bar\eta}=(R^1f_*F)_{g\circ\bar\eta}=H^1(\mathbb A^1_k,\mathbb Z/p)$ である。底変換射の $\bar\eta$ での茎は、$\mathbb A^1_L\to\mathbb A^1_k$ による引き戻し
$$ k[x]/\wp(k[x])\longrightarrow L[x]/\wp(L[x]) $$
である。$s\in L\setminus k$ なので、lem-sbc-as-classes により $sx$ の類はこの写像の像に入らない。よって茎の写像は全射でなく、底変換射は同型でない。$\square$

$2$ は $K$ で可逆なので、Kummer 列 $1\to\mu_2\to\mathbb G_m\xrightarrow{(\cdot)^2}\mathbb G_m\to1$ は $\operatorname{Spec}K$ のエタール位相で完全である（Stacks Tag 03PL）。$H^1(\operatorname{Spec}K,\mathbb G_m)=\operatorname{Pic}(\operatorname{Spec}K)=0$（Stacks Tag 03P8）なので、長完全列から $H^1(\operatorname{Spec}K,\mu_2)\cong K^\times/(K^\times)^2$ を得る。
$K^\times$ の元は $u\pi^m$（$u\in A^\times$、$m\in\mathbb Z$）と書ける。$u$ の剰余類 $\bar u\in k^\times$ は代数閉体 $k$ の中で平方根 $\bar b$ をもち、$\bar b$ は $X^2-\bar u$ の単根である（微分 $2\bar b\neq0$）。$A$ は Hensel 局所環なので、$\bar b$ は $X^2-u$ の根 $b\in A$ に持ち上がり（Henselの補題）、$u=b^2$ は平方である。よって $K^\times/(K^\times)^2$ は $\pi$ の類で生成される。$\pi$ の付値は $1$ で奇数なので $\pi$ は平方でなく、群は $\mathbb Z/2$ である。$\square$

1. $k[z]$ は $k[t]$ 上 $1,z$ を基底とする自由加群なので、$g$ は有限かつ平坦である。$dt=2z\,dz$ なので、$\Omega_{Y'/Y}=k[z]\,dz/(2z\,dz)$ は $z\neq0$ で $0$、$z=0$ で $0$ でない。相対次元 $0$ の滑らかな射はエタールであり、エタールなら相対微分加群は $0$ なので、$g$ は $z=0$ で滑らかでない。$z\neq0$ では $g$ は平坦で不分岐なのでエタールである。
2. $X'=X\times_YY'=\operatorname{Spec}k[z,z^{-2}]=\operatorname{Spec}k[z,z^{-1}]$ であり、$j'$ は包含 $\mathbb G_m\to\mathbb A^1$ である。原点の上の幾何的点を $\bar0'\to Y'$、$\bar0:=g\circ\bar0'$ とし、$A:=\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y,\bar0}$、$A':=\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y',\bar0'}$ とおく。$k[t]_{(t)}$ は一意化元 $t$ の離散付値環なので、$A$ は離散付値環であり（Stacks Tag 0AP3）、その極大イデアルは $tA$ である（狭義 Hensel 化 $R\to R^{\mathrm{sh}}$ について $\mathfrak m_R R^{\mathrm{sh}}$ が極大イデアルであることは Tag 06LN の証明で使われている）。剰余体は $k$ の分離閉包、すなわち $k$ である。同様に $A'$ は一意化元 $z$ の離散付値環で、局所環の射 $A\to A'$ は $t\mapsto z^2$ である。
   茎の公式から、$K:=A[t^{-1}]$、$K':=A'[z^{-1}]$（それぞれの分数体）とおくと
   $$ (R^1j_*\mu_2)_{\bar0}=H^1(\mathbb G_m\times_Y\operatorname{Spec}A,\mu_2)=H^1(\operatorname{Spec}K,\mu_2),\qquad(R^1j'_*\mu_2)_{\bar0'}=H^1(\operatorname{Spec}K',\mu_2) $$
   であり、底変換射の $\bar0'$ での茎は $K\to K'$ による引き戻しである。lem-sbc-kummer によりどちらも $\mathbb Z/2$ で、生成元はそれぞれ $t$、$z$ の類である。Kummer 列の自然性により、引き戻しは $K^\times/(K^\times)^2\to K'^\times/(K'^\times)^2$、$[a]\mapsto[a]$ に対応し、生成元 $[t]$ は $[z^2]=0$ に写る。よって茎の写像は零写像であり、$\mathbb Z/2\neq0$ なので同型でない。$\square$