affinoid部分領域

2：表示 $\alpha\colon T_n\to A$ に対し、$T_n\langle\zeta\rangle=T_{n+m}$ から $A\langle\zeta\rangle$ への係数ごとの写像は全射である。実際、$\|a_\nu\|\to0$ の各 $a_\nu$ に $\|g_\nu\|\le2\|a_\nu\|$（$a_\nu\ne0$）となる逆像 $g_\nu$ をとれば $\sum g_\nu\zeta^\nu$ が収束する。$A\langle\zeta\rangle$ は $\|\cdot\|$ について完備であり（$A$ が完備なので、$c_0(K)$ と同じく確かめられる）、この全射で $T_{n+m}$ の元の像の $\|\cdot\|$ は Gauss ノルム以下なので、$\|\cdot\|$ は表示の剰余ノルム以下である。開写像定理(非アルキメデス体) の系「完備なノルムの比較」により 2 つは同値であり、以下 $A\langle\zeta\rangle$ の連続性はこのノルムで考えてよい。

3：$\varphi$ は連続なので $\|\varphi(a)\|\le M\|a\|$、冪有界性から $\|c^\nu\|\le N$ である。よって $\Phi(\sum a_\nu\zeta^\nu):=\sum\varphi(a_\nu)c^\nu$ は収束し、$\|\Phi(h)\|\le MN\|h\|$ である。多項式環 $A[\zeta]$ の上では乗法的で、$A[\zeta]$ は稠密なので、連続性から準同型である。連続な準同型は稠密な $A[\zeta]$ の上の値で決まるので一意である。

4：表示 $\gamma\colon T_m\to C$ をとり $c_i:=\gamma(t_i)$ とおく。$c_i^k=\gamma(t_i^k)$ の剰余ノルムは $1$ 以下なので $c_i$ は冪有界である。3 の $\Phi$ を $K\langle\zeta\rangle=T_m\subset A\langle\zeta\rangle$ に制限したものは、$t_i\mapsto c_i$ となる連続な準同型なので（一意性により）$\gamma$ に等しく、$\Phi$ は全射である。$\square$

$p\colon A\to A/\mathfrak m_x^k$、$p'\colon A_U\to A_U/\mathfrak m_x^kA_U$ を射影、$\sigma\colon A/\mathfrak m_x^k\to A_U/\mathfrak m_x^kA_U$ を $\varphi_U$ が誘導する写像とする。$\operatorname{Sp}(A/\mathfrak m_x^k)=\{x\}\subset U$ なので、$p=\alpha\circ\varphi_U$ となる $\alpha\colon A_U\to A/\mathfrak m_x^k$ がある。$\sigma\circ\alpha$ と $p'$ はどちらも $A_U$ から affinoid 代数 $A_U/\mathfrak m_x^kA_U$ への準同型で、$\varphi_U$ と合成すると $\sigma\circ p=p'\circ\varphi_U$ に等しい。$A_U/\mathfrak m_x^kA_U$ の点は $\operatorname{Sp}A_U$ の点なので $U$ に写り、普遍性の一意性から $\sigma\circ\alpha=p'$ である。よって $\sigma$ は全射である。$\sigma(p(a))=0$ なら $\varphi_U(a)\in\mathfrak m_x^kA_U$ であり、$\alpha(\mathfrak m_x^kA_U)$ は $\alpha(\varphi_U(\mathfrak m_x^k))=p(\mathfrak m_x^k)=0$ で生成されるので、$p(a)=\alpha(\varphi_U(a))=0$ である。よって $\sigma$ は同型である。

$k=1$ とすると $A_U/\mathfrak m_xA_U\cong A/\mathfrak m_x$ は体なので、$\mathfrak m_xA_U$ は極大イデアルで、その $\varphi_U$ による逆像は $\mathfrak m_x$ を含む真のイデアル、すなわち $\mathfrak m_x$ である。よって $x$ は像に入る。$\mathfrak n\in\operatorname{Sp}A_U$ が $x$ に写るなら $\mathfrak n\supset\mathfrak m_xA_U$ で、後者が極大なので $\mathfrak n=\mathfrak m_xA_U$ である。定義から像は $U$ に含まれるので、$\varphi_U^*$ は $U$ への全単射である。$\square$

前半：$\chi\colon A\to B$ で $\chi^*(\operatorname{Sp}B)\subset W$ とする。$W\subset U$ なので $\chi=\chi_1\circ\varphi_U$ となる $\chi_1\colon\mathcal O(U)\to B$ がただ一つある。$\chi_1^*$ の像は、同一視のもとで $\chi^*$ の像と同じ点の集合なので $W$ に入り、$\chi_1=\chi_2\circ\varphi_W$ となる $\chi_2$ がただ一つある。一意性は、$\chi=\chi'\circ\varphi_W\circ\varphi_U$ なら $\chi'\circ\varphi_W=\chi_1$（$U$ の一意性）、$\chi'=\chi_2$（$W$ の一意性）による。

後半：$\varphi\colon A\to C$ が $W$ を $X$ の部分領域として表すとし、$\varphi=\theta\circ\varphi_U$ とする。$\chi\colon\mathcal O(U)\to B$ で $\chi^*$ の像が $W$ に入るものをとる。$\chi\circ\varphi_U$ の像も $W$ に入るので $\chi\circ\varphi_U=\chi'\circ\varphi$ となる $\chi'$ がただ一つある。$\chi$ と $\chi'\circ\theta$ はどちらも $\mathcal O(U)$ からの準同型で、像が $U$ に入り、$\varphi_U$ と合成すると等しいので、$U$ の一意性から $\chi=\chi'\circ\theta$ である。$\chi=\chi''\circ\theta$ なら $\chi''\circ\varphi=\chi\circ\varphi_U$ なので $W$ の一意性から $\chi''=\chi'$ である。関数環の同型は prop-affinoid-subdomain-points の 2 による。$\square$

$\psi_\zeta$ は lem-affinoid-subdomain-basic の 3（$\zeta_i\mapsto\zeta_i$）で得られる連続な準同型である。$q\colon B\langle\zeta\rangle\to B_U$ を射影とする。$q\circ\psi_\zeta$ は $I$ を $0$ に送るので $\lambda\colon\mathcal O(U)\to B_U$ を誘導し、$\lambda\circ\varphi_U$ は $A\to B\to B_U$ に等しい。よって $B_U$ の点の $X$ での像は $\lambda^*$ を通るので $U$ に入り、$\operatorname{Sp}B_U$ の $\operatorname{Sp}B$ での像は $(\psi^*)^{-1}(U)$ に入る。

普遍性：$\chi\colon B\to C$ の $\chi^*$ の像が $(\psi^*)^{-1}(U)$ に入るとする。$\chi\circ\psi$ の像は $U$ に入るので $\chi\circ\psi=\theta\circ\varphi_U$ となる $\theta$ がただ一つある。$\theta(\Phi(\zeta_i))$ は冪有界なので（$\theta$ は連続）、$\chi$ を延ばし $\zeta_i\mapsto\theta(\Phi(\zeta_i))$ となる連続な準同型 $\Xi\colon B\langle\zeta\rangle\to C$ がある。$\Xi\circ\psi_\zeta$ と $\theta\circ\Phi$ は $A\langle\zeta\rangle$ からの連続な準同型で、$A$ の上と $\zeta_i$ で一致するので等しい。よって $\Xi$ は $\psi_\zeta(I)$ を $0$ に送り、$\chi=\chi'\circ(B\to B_U)$ となる $\chi'\colon B_U\to C$ を誘導する。一意性：$\chi''$ も同じ性質をもてば、$\chi''\circ\lambda$ は $\theta$ と同じ普遍性の条件を満たすので $\theta$ に等しく、$\chi''(q(\zeta_i))=\theta(\Phi(\zeta_i))$ である。$\chi''\circ q$ と $\Xi$ は $B$ の上と $\zeta_i$ で一致する連続な準同型なので等しく、$\chi''=\chi'$ である。$\square$