ワルシャワ円

$L$ と $L'$ はともに $[0,1]$ と同相で、端点どうしを対応させる同相写像 $\beta\colon L\to L'$（$\beta(0,-1)=(0,-1)$、$\beta(1,\sin1)=(1,\sin1)$）がとれる。$\Phi\colon W\to S\cup L'$ を、$S$ 上では恒等写像、$L$ 上では $\beta$ で定める。$S\cap L$ の二点で両者は一致し、$S$ と $L$ は $W$ の閉集合なので、貼り合わせの補題により $\Phi$ は連続である。$\Phi$ は全単射で、$W$ はコンパクト（有界閉集合）、$S\cup L'$ は Hausdorff なので、$\Phi$ は同相写像である。$\square$

1：$I$ はコンパクトなので $W$ の閉集合であり、$W\setminus I$ は開である。$(1,\sin1)$ ではどちらの式も $\tfrac12$ を与える。$G$ と $L\setminus\{(0,-1)\}$ は $W\setminus I$ の閉集合で、それぞれの上で $h$ は連続なので、貼り合わせの補題により $h$ は連続である。$h$ は $G$ を $(0,\tfrac12]$ へ、$L\setminus\{(0,-1)\}$ を $[\tfrac12,1)$ へ全単射に写す。逆写像は $(0,\tfrac12]$ 上で $t\mapsto(2t,\sin(1/(2t)))$、$[\tfrac12,1)$ 上で $\alpha$ であり、どちらも連続で $t=\tfrac12$ で一致するので連続である。
2：$(0,y)\in I$ をとり、$\theta:=\arcsin y\in[-\pi/2,\pi/2]$ とおく。$x_k:=1/(\theta+2\pi k)$（$k\ge1$）は $0< x_k\le1$ を満たし、$\sin(1/x_k)=y$ なので、$(x_k,y)\in G$ は $k\to\infty$ で $(0,y)$ に収束する。$\square$

$W\setminus I$ は $W$ の開集合で開区間 $(0,1)$ と同相（lem-warsaw-open-arc の 1）であり、開区間は局所連結なので、$W$ は $W\setminus I$ の各点で局所連結である。
$p=(0,y_0)\in I$ とし、$B$ を $p$ を中心とする半径 $\tfrac12$ の開円板、$U:=W\cap B$ とおく。$y_0\le0$ なら $\sigma:=1$、$y_0>0$ なら $\sigma:=-1$ とおくと $|\sigma-y_0|\ge1$ である。$V\subset U$ を $p$ の連結な近傍として矛盾を導く。lem-warsaw-open-arc の 2 により $p$ は $G$ の点列の極限なので、$V$ は $G$ の点 $(a,\sin(1/a))$ を含み、$B$ に属することから $0< a<\tfrac12$ である。第 1 座標への射影 $\pi$ は連続なので $\pi(V)$ は $\mathbb{R}$ の連結集合、すなわち区間であり、$0$ と $a$ を含むので $[0,a]\subset\pi(V)$ である。$k$ を大きくとって $u:=1/(\sigma\pi/2+2\pi k)$ が $0< u< a$ を満たすようにすると $\sin(1/u)=\sigma$ であり、$u\in\pi(V)$ である。ところが $W$ の点で第 1 座標が $u\in(0,1)$ のものは $G$ の点 $(u,\sigma)$ と $L$ の点 $(u,-2)$ の二つだけで、$|\sigma-y_0|\ge1$、$|-2-y_0|\ge1$ なのでどちらも $B$ に属さず、$V$ に属さない。これが矛盾である。$\square$

局所弧状連結な空間は局所連結なので、thm-warsaw-local により $W$ は局所弧状連結でない。局所可縮な空間は局所弧状連結である（可縮空間の記事の命題「局所可縮性と道」）ので、$W$ は局所可縮でない。絶対近傍レトラクトは局所可縮である（局所可縮空間の記事の系「絶対近傍レトラクトは局所可縮」）ので、$W$ は絶対近傍レトラクトでない。位相多様体と CW 複体と $S^1$ は局所可縮である（同記事の定理「凸集合と多様体」と注意「CW 複体」）。$\square$

1 の ⇒：$F\colon X\times[0,1]\to S^1$ を $F_0=f$、$F_1=g$ となるホモトピーとし、$H(x,s):=F(x,1-s)\overline{g(x)}$ とおく。$H_0=1$（定値写像）は定値写像 $0$ に持ち上がるので、ホモトピーの持ち上げ（被覆空間の記事の定理「ホモトピーの持ち上げ」。$X$ は任意の空間でよい）により $H$ は持ち上がり、その $s=1$ での制限が $H_1=f\bar g$ の持ち上げである。⇐：$e\circ\varphi=f\bar g$ なら、$K(x,s):=e(s\varphi(x))\,g(x)$ は $K_0=g$ から $K_1=f$ へのホモトピーである。
2：積が類の上で定まり、群の公理を満たすことを確かめる。

$c_1$：$f\circ\alpha\colon[\tfrac12,1]\to S^1$（$\alpha$ は lem-warsaw-open-arc の同相写像）の持ち上げ $\tilde\beta$ をとる。$[\tfrac12,1)$ の上では $\varphi$ と $\tilde\beta$ はともに $f\circ\alpha$ の持ち上げなので、差は整数値の連続関数、すなわち定数 $m$ である。よって $t\to1$ で $\varphi(t)\to\tilde\beta(1)+m$ となり、この極限は $f(\alpha(1))=f(0,-1)$ の持ち上げである。$\psi(0,-1)$ も $f(0,-1)$ の持ち上げなので、$c_1\in\mathbb{Z}$ である。
$c_0$：$d(t):=\varphi(t)-\psi(\iota(t))$ は $(0,\tfrac12]$ 上の連続関数で、$e(d(t))=f(\gamma(t))\overline{f(\iota(t))}$ である。$W$ はコンパクトなので $f$ は一様連続である。$0<\varepsilon\le\tfrac16$ に対し、$|w-w'|<\delta$ なら $|f(w)-f(w')|<2\sin(\pi\varepsilon)$ となる $\delta>0$ をとる。$t<\delta/2$ なら $|\gamma(t)-\iota(t)|<\delta$ なので
$$2|\sin(\pi d(t))|=|e(d(t))-1|=|f(\gamma(t))-f(\iota(t))|<2\sin(\pi\varepsilon)$$
となり、$d(t)$ と最も近い整数との距離は $\varepsilon$ 未満である。$\varepsilon=\tfrac16$ のとき、連結な区間 $(0,\delta/2)$ の $d$ による像は互いに交わらない開区間 $(n-\tfrac16,n+\tfrac16)$（$n\in\mathbb{Z}$）の和に含まれるので、そのうちの一つ $(c-\tfrac16,c+\tfrac16)$ に含まれる。より小さい $\varepsilon$ について、$d(t)$ に最も近い整数は $c$ のままなので、十分小さい $t$ で $|d(t)-c|<\varepsilon$ となる。よって $c_0=\lim_{t\to0}d(t)=c\in\mathbb{Z}$ である。
選び方：$(0,1)$ と $I$ は連結なので、持ち上げの一意性（被覆空間の記事の定理「持ち上げの一意性」）により、ほかの持ち上げは整数 $m,n$ について $\varphi+m$、$\psi+n$ の形である。このとき $c_1$ と $c_0$ はともに $m-n$ だけ変わるので、差 $\deg f$ は変わらない。$\square$

1：$f,g$ の持ち上げ $\varphi_f,\psi_f$、$\varphi_g,\psi_g$ をとると、$\varphi_f+\varphi_g$、$\psi_f+\psi_g$ は $fg$ の持ち上げであり、極限は和をとるので $c_1,c_0$ はそれぞれ足し合わされる。
2 の ⇒：$F\colon W\to\mathbb{R}$ を $e\circ F=f$ となる連続写像とし、$\varphi:=F\circ h^{-1}$、$\psi:=F|_I$ とおく。$t\to1$ で $h^{-1}(t)=\alpha(t)\to(0,-1)$ なので $c_1=F(0,-1)-F(0,-1)=0$ である。$W$ はコンパクトなので $F$ は一様連続で、$|\gamma(t)-\iota(t)|=2t\to0$ から $c_0=\lim(F(\gamma(t))-F(\iota(t)))=0$ である。よって $\deg f=0$ である。
2 の ⇐：$\deg f=0$ なら $c_1=c_0=:c$ であり、$\varphi$ を $\varphi-c$ にとり替えて $c_1=c_0=0$ としてよい。$F\colon W\to\mathbb{R}$ を、$W\setminus I$ 上で $F:=\varphi\circ h$、$I$ 上で $F:=\psi$ と定めると $e\circ F=f$ である。$F$ が連続であることを示す。$W\setminus I$ は開集合なのでその点では連続である。$w\in I$ と、$w$ に収束する $W$ の点列 $(w_k)$ をとる。$W$ は距離空間なので、$(w_k)$ が $I$、$L\setminus\{(0,-1)\}$、$G$ のそれぞれに含まれる場合に $F(w_k)\to F(w)$ を示せばよい。

1：$\deg q=1\neq0$ と thm-warsaw-maps-to-circle の 3 による。$W$ が可縮なら $\mathrm{id}_W$ が定値写像とホモトピックになり、$q=q\circ\mathrm{id}_W$ も零ホモトピックになってしまう。
2：$f$ が点 $z_0=e(r_0)$ をとらないなら、$e$ は開区間 $(r_0,r_0+1)$ から $S^1\setminus\{z_0\}$ への同相写像なので、その逆写像と $f$ の合成が $f$ の持ち上げになり、$\deg f=0$ である。
3：$W$ は弧状連結ですべてのホモトピー群が自明なので（位相幾何学者の正弦曲線の記事の命題「ワルシャワ円のホモトピー群と可縮性」）、一点への写像は弱ホモトピー同値であり、特異コホモロジーの同型を誘導する（Hat02 Proposition 4.21, p. 356）。よって $H^1(W;\mathbb{Z})=0$ である。後半は thm-warsaw-maps-to-circle による。$\square$

$W\cap U=\emptyset$：$G$ の点と $L$ の上辺（$(2,\sin1)$ から $(1,\sin1)$ への線分）の点は $y=g(x)$ を満たし、$I$ と $L$ の左辺の点は $x=0$、下辺の点は $y=-2$、右辺の点は $x=2$ を満たすので、どれも $U$ に属さない。よって $\mathbb{R}^2\setminus W=U\sqcup V$ である。
$U$ は開で弧状連結：$g$ が連続なので $U$ は開集合である。$(x,y)\in U$ から垂直に高さ $-\tfrac32$ まで動き、そこから直線 $y=-\tfrac32$ に沿って $(1,-\tfrac32)$ まで動く道は $U$ の中にある（$-2<-\tfrac32<-1\le g$ による）。$U$ は $[0,2]\times[-2,1]$ に含まれ有界である。
$V$ は開：$K:=\{0\}\times[-2,1]\ \cup\ \{(x,y)\mid 0< x\le2,\ -2\le y\le g(x)\}$（$g(2):=\sin1$ とおく）とおくと $K=W\cup U$ である。