内部同値関係

1 ⇒ 2：$x\colon T\to A$ について $\rho\circ x$ が $(x,x)\in_TR$ を与える。$(x,y)\in_TR$ を $r$ が与えるなら、$\sigma\circ r$ が $(y,x)\in_TR$ を与える。$(x,y)\in_TR$、$(y,z)\in_TR$ をそれぞれ $r,r'$ が与えるなら、$d_1\circ r=y=d_0\circ r'$ なので引き戻しの普遍性から $\pi_1\circ k=r$、$\pi_2\circ k=r'$ となる $k\colon T\to P$ があり、$\tau\circ k$ について $d_0\circ\tau\circ k=d_0\circ r=x$、$d_1\circ\tau\circ k=d_1\circ r'=z$ だから $(x,z)\in_TR$ である。
2 ⇒ 1：$T=A$ として $(\mathrm{id}_A,\mathrm{id}_A)\in_AR$ を与える射が $\rho$ である。$T=R$ とすると、$\mathrm{id}_R$ が $(d_0,d_1)\in_RR$ を与えるので、対称性から $(d_1,d_0)\in_RR$ であり、これを与える射が $\sigma$ である。$T=P$ とすると、$\pi_1,\pi_2$ がそれぞれ $(d_0\pi_1,d_1\pi_1)\in_PR$、$(d_0\pi_2,d_1\pi_2)\in_PR$ を与え、$d_1\pi_1=d_0\pi_2$ だから推移性により $(d_0\pi_1,d_1\pi_2)\in_PR$ であり、これを与える射が $\tau$ である。$\square$

引き戻しの普遍性から、$f\circ x=f\circ y$ となる $x,y\colon T\to A$ に対し $p\circ k=x$、$q\circ k=y$ をみたす $k\colon T\to K$ がただ 1 つある。一意性から $(p,q)$ はモノ射であり、$K_T=\{(x,y)\mid f\circ x=f\circ y\}$ である。これは $\operatorname{Hom}(T,A)$ の上の同値関係なので、thm-ier-yoneda により $K$ は内部同値関係である。$\square$

$f\circ d_0=f\circ d_1$ なので、$f=g\circ c$ となる $g\colon Q\to B$ がある。$(x,y)\in_TR$ なら $x=d_0r$、$y=d_1r$ として $c\circ x=c\circ y$ である。逆に $c\circ x=c\circ y$ なら $f\circ x=g\circ c\circ x=g\circ c\circ y=f\circ y$ だから、$R$ が $f$ の核対であることから $(x,y)\in_TR$ である。よって $R_T$ は $c$ の核対の $T$ に値をもつ元の集合と一致する（prop-ier-kernel-pair）。2 つの部分対象 $R$ と $c$ の核対は互いを経由する（$T$ としてそれぞれの定義域をとる）ので、部分対象として一致する。$\square$

$\mathbf{Grp}$ の有限極限は台集合の上で成分ごとの演算で計算され、モノ射は単射準同型である。よって $G$ の上の関係は部分群 $R\le G\times G$ と同一視できる。$\mathbb Z$ からの準同型は $1$ の像で決まるので $\operatorname{Hom}(\mathbb Z,G)=G$ であり、thm-ier-yoneda を $T=\mathbb Z$ に当てると、$R$ は集合 $G$ の上の同値関係である。
$N=\{g\in G\mid(g,e)\in R\}$ とおく。$R$ は部分群なので $N$ は部分群である。反射律より $(x,x)\in R$ なので、$g\in N$ なら $(xgx^{-1},e)=(x,x)(g,e)(x,x)^{-1}\in R$ であり、$N$ は正規部分群である。さらに $(a,b)\in R$ なら $(ab^{-1},e)=(a,b)(b^{-1},b^{-1})\in R$、逆に $(ab^{-1},e)\in R$ なら $(a,b)=(ab^{-1},e)(b,b)\in R$ である。よって
$$ R=\{(a,b)\in G\times G\mid ab^{-1}\in N\} $$
であり、これは商準同型 $G\to G/N$ の核対（prop-ier-kernel-pair）である。$\mathbf{Grp}$ が正則圏であることは 正則圏 の例「群・代数系・トポス」にある。$\square$

$d_0,d_1\colon R\to A$ を内部同値関係、$\chi_R\colon A\times A\to\Omega$ を部分対象 $R$ の分類射とし、$\rho\colon A\to\Omega^A$ をその転置（$\mathrm{ev}\circ(\rho\times\mathrm{id}_A)=\chi_R$）とする。集合の圏では $\rho$ は $a$ を同値類 $\{b\mid(a,b)\in R\}$ に送る写像である。$R$ が $\rho$ の核対であることを示す。
$x,y\colon T\to A$ とする。$\rho\circ x$ の転置は $\chi_R\circ(x\times\mathrm{id}_A)$ なので、$\rho\circ x=\rho\circ y$ は $\chi_R\circ(x\times\mathrm{id}_A)=\chi_R\circ(y\times\mathrm{id}_A)$、すなわち $T\times A$ の部分対象として $(x\times\mathrm{id}_A)^*R=(y\times\mathrm{id}_A)^*R$ であることと同値である。引き戻しの定義から、$(t,z)\colon U\to T\times A$ が $(x\times\mathrm{id}_A)^*R$ を経由することは $(x\circ t,z)\in_UR$ と同値である。
$(x,y)\in_TR$ とする。$(t,z)$ が $(x\circ t,z)\in_UR$ をみたすとき、$(x\circ t,y\circ t)\in_UR$ と対称性・推移性（thm-ier-yoneda）から $(y\circ t,z)\in_UR$ である。$U$ として部分対象の定義域をとると $(x\times\mathrm{id}_A)^*R\le(y\times\mathrm{id}_A)^*R$ がわかり、$x,y$ を入れ替えて逆の包含も得られる。よって $\rho\circ x=\rho\circ y$ である。
逆に $\rho\circ x=\rho\circ y$ とする。反射律より $(y,y)\in_TR$ なので、$(\mathrm{id}_T,y)\colon T\to T\times A$ は $(y\times\mathrm{id}_A)^*R=(x\times\mathrm{id}_A)^*R$ を経由し、$(x,y)\in_TR$ である。
以上ですべての $T$ について $R_T=\{(x,y)\mid\rho\circ x=\rho\circ y\}$ が示された。prop-ier-kernel-pair と prop-ier-quotient の証明の最後と同じ議論で、$R$ は $\rho$ の核対と部分対象として一致する。トポスが正則圏であることは 正則圏 の例「群・代数系・トポス」にある。$\square$

$R$ は $\mathbb Z\times\mathbb Z$ の部分群なので捩れがなく、包含はモノ射である。$\rho(n)=(n,n)$、$\sigma(a,b)=(b,a)$、$\tau((a,b),(b,c))=(a,c)$ はいずれも準同型で、def-ier-equivalence の 3 条件をみたす（$\mathbf{Ab}_{\mathrm{tf}}$ の引き戻し $P=R\times_{\mathbb Z}R$ は $\mathbf{Ab}$ の引き戻しである）。
$R$ がある $f\colon\mathbb Z\to D$（$D$ は捩れがない）の核対だとする。核対は $\mathbf{Ab}$ と同じく $\{(a,b)\mid f(a)=f(b)\}$ である。$(0,2)\in R$ から $f(2)=f(0)=0$、すなわち $2f(1)=0$ で、$D$ に捩れがないので $f(1)=0$、$f=0$ となる。すると核対は $\mathbb Z\times\mathbb Z$ 全体で、$(0,1)\notin R$ に反する。$\square$