エタールホモトピー型
概要
エタールホモトピー型（étale homotopy type）とは、局所 Noether スキーム $X$ のエタールなハイパー被覆の各段の連結成分の集合をとって得た単体的集合を、すべてのハイパー被覆にわたって並べたホモトピー型のプロ対象であり、Artin と Mazur が導入し、現代的にはエタール∞トポスのシェイプとして精密化される。連結な有限エタール Galois 被覆の Čech 神経の連結成分は Galois 群の脈体、すなわち分類空間 $BG$ の模型になり、Galois 被覆を動かすとエタール基本群の有限商が現れる。局所定数係数のエタールコホモロジーを回収し、複素数体上の連結な有限型スキームでは副有限完備化の上で複素点の空間のホモトピー型と一致する。
スキーム $X$ のエタールホモトピー型（étale homotopy type）は、$X$ のエタール位相から作られる、ホモトピー型の射影系（プロ対象）である。Artin と Mazur は、$X$ のエタールなハイパー被覆 $U_\bullet\to X$ の各段の連結成分の集合をとって単体的集合 $\pi_0(U_\bullet)$ を作り、ハイパー被覆をすべて動かした射影系を $X$ の型とした。複素多様体に対して位相空間の弧状連結成分・基本群・高次のホモトピー群が果たす役割を、エタール位相の言葉で担う対象である。
主定理（thm-et-galois-nerve）は、この構成の最も基本的な場合を計算する。連結な有限エタール Galois 被覆 $U\to X$ の Čech 神経の連結成分をとると、Galois 群 $G$ の脈体 $NG$、すなわち分類空間 $BG$ の単体的な模型になる。Galois 被覆を動かすと、基本群の側にエタール基本群の射影系が現れる（cor-et-pro-system）。一般のハイパー被覆を使った定義、エタールコホモロジーとの一致、複素数体上の比較定理、$\mathbb A^1$ ホモトピー論との関係は、所在を示して述べる。
定義
連結成分の関手と Čech 神経
$X$ を局所 Noether スキームとする。$X$ 上のエタールなスキーム $V$ も局所 Noether なので、その連結成分は開集合で、$V$ は連結成分の非交和になる。連結成分の集合を $\pi_0(V)$ と書く。$X$ 上の射 $V\to V'$ は連結成分を連結成分の中へ写すので、写像 $\pi_0(V)\to\pi_0(V')$ を誘導し、$\pi_0$ は $X$ 上のエタールなスキームの圏から集合の圏への関手になる。
$X$ 上のエタールで全射な射 $U\to X$ について、$U$ の $n+1$ 個のファイバー積
$$
\check C_n(U/X):=U\times_XU\times_X\cdots\times_XU\qquad(n+1\text{ 個})
$$
を $n$ 次とし、面写像 $d_i\colon\check C_n\to\check C_{n-1}$ を第 $i$ 因子（$0\le i\le n$）を落とす射影、退化写像 $s_i\colon\check C_n\to\check C_{n+1}$ を第 $i$ 因子を繰り返す対角射とする単体的スキーム $\check C_\bullet(U/X)$ を、$U\to X$ の Čech 神経という。各段に $\pi_0$ を施した単体的集合 $\pi_0(\check C_\bullet(U/X))$ を考える。
ハイパー被覆とエタールホモトピー型
$X$ のエタール景（$X$ 上のエタールなスキームと、全射なエタール射の族を被覆とする景）の単体的対象 $U_\bullet$ がハイパー被覆であるとは、$U_0\to X$ が被覆であり、すべての $n\ge0$ について $U_{n+1}\to(\operatorname{cosk}_nU_\bullet)_{n+1}$ が被覆であることをいう（$\operatorname{cosk}_n$ は、$n$ 次以下への切り詰めとその右随伴の合成）。ハイパー被覆とその間の射のホモトピー類のなす圏 $\mathrm{HR}(X_{\mathrm{\acute et}})$ は余フィルター的であり、
$$
X_{\mathrm{\acute et}}:=\bigl\{\pi_0(U_\bullet)\bigr\}_{U_\bullet\in\mathrm{HR}(X_{\mathrm{\acute et}})}
$$
を単体的集合のホモトピー圏のプロ対象とみたものを、$X$ のエタールホモトピー型という。
この定義は Artin–Mazur によるもので、ここでは Sch04 §1（pp. 1–2、Definition 1.1・Lemma 1.3・Definition 1.4 とその後の説明）の記述にしたがった。$\mathrm{HR}(X_{\mathrm{\acute et}})$ が余フィルター的であることはこの記事では証明しない。Čech 神経は $\operatorname{cosk}_0$ で決まるのでハイパー被覆の例であり、$\pi_0(\check C_\bullet(U/X))$ はエタールホモトピー型を作る項の一つである。
現代的には、$X$ のエタール位相の層のなす hypercomplete な ∞トポス $X_{\mathrm{\acute et}}^\wedge$ のシェイプ $\Pi_\infty(X_{\mathrm{\acute et}}^\wedge)$（空間の∞圏のプロ対象）として精密化される（Hoy17 Definition 2.3、p. 3）。ハイパー被覆の各段の連結成分をとる上の構成は、ホモトピー圏に落とす前の段階でこのシェイプを表す（同 Proposition 5.1、p. 13）。Friedlander がハイパー被覆を精密に選んで単体的集合のプロ対象として定めた「エタール位相型」も、$X$ が局所連結ならこのシェイプを表す（同 Corollary 5.6、p. 14）。これらの比較はこの記事では証明しない。
主定理：Galois 被覆の Čech 神経
この節では $X$ を連結な局所 Noether スキーム、$\bar x$ を幾何学的点、$F:=F_{\bar x}$ をファイバー関手、$\pi_1:=\pi_1(X,\bar x)$ をエタール基本群とする（エタール基本群）。$U\to X$ を連結な有限エタール Galois 被覆とし、$G:=\operatorname{Aut}_X(U)$ が $U$ に左から作用するとみる。
群 $G$ を、対象が一つで射が $G$ の元、合成が $h\circ g:=hg$ である圏とみなし、その脈体を $NG$ と書く。$NG$ の $n$ 単体は $G$ の元の列 $(g_1,\ldots,g_n)$ であり、面写像と退化写像は
$$
d_0(g_1,\ldots,g_n)=(g_2,\ldots,g_n),\qquad d_n(g_1,\ldots,g_n)=(g_1,\ldots,g_{n-1}),
$$
$$
d_i(g_1,\ldots,g_n)=(g_1,\ldots,g_{i-1},\,g_{i+1}g_i,\,g_{i+2},\ldots,g_n)\quad(0< i< n),
$$
$s_i(g_1,\ldots,g_n)=(g_1,\ldots,g_i,e,g_{i+1},\ldots,g_n)$ で与えられる。
$n\ge0$ について、$G^n$ で添字づけた $U$ の非交和から Čech 神経の $n$ 次への $X$ 上の射
$$
\Phi_n\colon\coprod_{(g_1,\ldots,g_n)\in G^n}U\longrightarrow\check C_n(U/X),
$$
を、添字 $(g_1,\ldots,g_n)$ の成分の上で $(\mathrm{id},\,g_1,\,g_2g_1,\,\ldots,\,g_n\cdots g_1)$ と定める。点で書けば $u\mapsto(u_0,u_1,\ldots,u_n)$、$u_0=u$、$u_k=g_ku_{k-1}$ である。
上の状況で、次が成り立つ。
- すべての $n\ge0$ について $\Phi_n$ は同型である。
- $\Phi_\bullet$ を通して、単体的集合の同型
$$ \pi_0\bigl(\check C_\bullet(U/X)\bigr)\cong NG $$
が得られる。 - したがって $\pi_0(\check C_\bullet(U/X))$ の幾何学的実現は Eilenberg–MacLane 空間 $K(G,1)$ であり、その基本群は $G$ である。
1． $S:=F(U)$ とおく。エタール基本群 の定理「Galois圏の主定理の適用」により、$F$ は有限エタール被覆の圏から $\pi_1$ が連続に作用する有限集合の圏への圏同値であり、$U$ が連結 Galois なので $S\cong\pi_1/H$（$H$ は開正規部分群）である。圏同値なので $G=\operatorname{Aut}_X(U)\cong\operatorname{Aut}_{\pi_1}(S)$ である。$\pi_1/H$ の $\pi_1$ 同変な自己写像は $eH$ の行き先 $\delta H$ で決まり、$H$ が正規なので任意の $\delta$ について $\gamma H\mapsto\gamma\delta H$ が矛盾なく定まる。したがって $G$ は $S$ に単純推移的に作用する。
有限エタール被覆のファイバー積と有限非交和は再び有限エタール被覆であり、$\Phi_n$ はこの圏の射である。Galois圏 の定義「ファイバー関手をもつGalois圏」の公理 4 により、$F$ は有限極限と有限余極限を保ち、$F(X)$ は一点だから、$F(\Phi_n)$ は
$$
G^n\times S\longrightarrow S^{n+1},\qquad((g_1,\ldots,g_n),s)\longmapsto(s,\,g_1s,\,g_2g_1s,\,\ldots,\,g_n\cdots g_1s)
$$
と同一視される。$(s_0,\ldots,s_n)\in S^{n+1}$ を与えると、$s=s_0$ であり、単純推移性により $g_ks_{k-1}=s_k$ を満たす $g_k$ がそれぞれただ一つ定まるので、$F(\Phi_n)$ は全単射である。同じ公理 4 により $F$ は同型を反映するので、$\Phi_n$ は同型である。
2． $U$ は連結なので、$\Phi_n$ の定義域の連結成分の集合は $G^n$ であり、1 により $\pi_0(\check C_n(U/X))\cong G^n$ である。面写像 $d_i$ は列 $(u_0,\ldots,u_n)$ から $u_i$ を落とす。添字 $(g_1,\ldots,g_n)$ の成分の点では $u_k=g_ku_{k-1}$ だから、$u_0$ を落とした列は $u_1$ から始まって添字 $(g_2,\ldots,g_n)$ の関係を満たし、$u_n$ を落とした列は添字 $(g_1,\ldots,g_{n-1})$ の関係を満たす。$0< i< n$ では、残る列の中で $u_{i+1}=g_{i+1}g_iu_{i-1}$ となり、ほかの関係は変わらないので、添字 $(g_1,\ldots,g_{i+1}g_i,\ldots,g_n)$ の成分に入る。退化写像 $s_i$ は $u_i$ を繰り返すので、その位置に単位元 $e$ が入る。連結な成分の像は一つの連結成分に含まれるので、これで $\pi_0$ 上の写像が決まり、上の $NG$ の式と一致する。
3． $NG$ の幾何学的実現は離散群 $G$ の分類空間 $BG$ の模型であり、$BG$ は $K(G,1)$ である（分類空間 の節「単体的な構成と代数幾何の $BG$」と例「離散群とEilenberg–MacLane空間」）。$\square$
Galois 被覆を取り替えたときの関係は次のとおりである。点つきの連結 Galois 被覆 $(U,u)$（$u\in F(U)$）の間の $X$ 上の射 $\psi\colon(U',u')\to(U,u)$、すなわち $F(\psi)(u')=u$ を満たす射を考え、$G':=\operatorname{Aut}_X(U')$ とする。
- 全射準同型 $\varphi\colon G'\to G$ で、すべての $g'\in G'$ について $\psi\circ g'=\varphi(g')\circ\psi$ となるものがただ一つ存在する。
- $\psi$ が誘導する Čech 神経の射 $\check C_\bullet(U'/X)\to\check C_\bullet(U/X)$ は、thm-et-galois-nerve の同型のもとで、$\pi_0$ 上で $N\varphi\colon NG'\to NG$、$(g'_1,\ldots,g'_n)\mapsto(\varphi(g'_1),\ldots,\varphi(g'_n))$ になる。
$S:=F(U)$、$S':=F(U')$ とおく。$U'$ が連結なので $S'$ は推移的な $\pi_1$ 集合で、エタール基本群 の定理「Galois圏の主定理の適用」の圏同値により、$U'$ から $U$ への $X$ 上の射は $S'$ の一点の行き先で決まる。
1． $g'\in G'$ をとる。$G$ は $S$ に単純推移的に作用するので（thm-et-galois-nerve の証明の 1）、$g\,u=F(\psi)(g'u')$ を満たす $g\in G$ がただ一つある。$g\circ\psi$ と $\psi\circ g'$ は $u'$ を同じ点に写すので等しい。$\varphi(g'):=g$ とおくと、一意性から $\varphi(g'_1g'_2)$ と $\varphi(g'_1)\varphi(g'_2)$ はともに $\psi\circ g'_1g'_2=\varphi(g'_1)\varphi(g'_2)\circ\psi$ を満たすので等しく、$\varphi$ は準同型である。$F(\psi)$ は推移的な $\pi_1$ 集合の間の同変写像なので全射であり、$S'=G'u'$ だから $S=F(\psi)(G'u')=\varphi(G')u$ である。単純推移性により $\varphi(G')=G$ である。
2． 添字 $(g'_1,\ldots,g'_n)$ の成分の点 $(u'_0,\ldots,u'_n)$、$u'_k=g'_ku'_{k-1}$ は、$\psi$ を各成分に施すと $\psi(u'_k)=\varphi(g'_k)\psi(u'_{k-1})$ を満たす列に写るので、添字 $(\varphi(g'_1),\ldots,\varphi(g'_n))$ の成分に入る。$\square$
エタール基本群 の定理「Galois圏の主定理の適用」の 3 により、連結 Galois 被覆の群 $G$ は $\pi_1/H$（$H$ は開正規部分群）と同型で、どの開正規部分群もこの形で現れる。副有限群 $\pi_1$ は開正規部分群による商の逆極限と同型である（副有限群 の定理「コンパクトで完全不連結な位相群」）。したがって、Galois 被覆を動かした単体的集合の系 $\{NG_U\}$ は、エタール基本群の有限商 $\pi_1/H$ の分類空間を並べたものであり、エタールホモトピー型のうち基本群の情報を取り出したものになっている。
エタールホモトピー型全体について、次の事実が知られている。この記事では証明しない。
- $X$ が局所連結なら、局所定数層の集合値の層は基本副亜群 $\Pi_1(X^\wedge_{\mathrm{\acute et}})$ の表現として分類され（Hoy17 Theorem 3.13、p. 10）、局所定数なアーベル群の層 $A$ について、エタールコホモロジー $H^*(X_{\mathrm{\acute et}},A)$ はシェイプの局所係数コホモロジーと一致する（同 §5、p. 14。Proposition 2.15 の応用）。
- 有限な局所定数層は、$X$ に仮定を置かずに、シェイプからの有限空間への関手として分類される（同 Theorem 4.3、p. 13、§5、p. 14）。
- Artin–Mazur の比較定理：$X$ が $\mathbb C$ 上有限型の点つき連結スキームなら、複素点の空間 $X(\mathbb C)$（解析的位相）のホモトピー型からエタールホモトピー型への標準的な射があり、副有限完備化の上で同型を誘導する（Car16 Theorem 1.1、p. 2 に原典の定理番号つきで述べられている。∞圏による一般化は同 Theorem 1.2、p. 6）。
3 の副有限完備化は外せない。例えば $\mathbb G_{m,\mathbb C}$ の複素点 $\mathbb C^\times$ の基本群は $\mathbb Z$ だが、有限エタール被覆が見るのはその有限商だけで、エタール基本群は $\widehat{\mathbb Z}$ になる（エタール基本群 の命題「標数0の乗法群のエタール基本群」）。
例
$k$ を体、$L/k$ を有限 Galois 拡大とし、$X=\operatorname{Spec}k$、$U=\operatorname{Spec}L$ とする。$U\to X$ は連結な有限エタール Galois 被覆で、$\operatorname{Aut}_X(U)$ は $\operatorname{Gal}(L/k)$ と同型である（$k$ 代数の自己同型 $\tau$ に $\operatorname{Spec}\tau$ を対応させると合成の順序が逆になるので、$\tau\mapsto\operatorname{Spec}(\tau^{-1})$ が同型を与える）。thm-et-galois-nerve により $\check C_n(U/X)=\operatorname{Spec}(L\otimes_k\cdots\otimes_kL)$ は $[L:k]^n$ 個の $\operatorname{Spec}L$ の非交和であり、
$$
\pi_0\bigl(\check C_\bullet(U/X)\bigr)\cong N\operatorname{Gal}(L/k)
$$
である。$n=1$ の場合は、よく知られた同型 $L\otimes_kL\cong\prod_{\sigma\in\operatorname{Gal}(L/k)}L$ にあたる。例えば $k=\mathbb R$、$L=\mathbb C$ では $N(\mathbb Z/2)$ が得られ、その実現は無限次元実射影空間 $\mathbb{RP}^\infty$ とホモトピー同値である（分類空間 の例「位数 2 の群と無限次元実射影空間」）。有限 Galois 拡大を動かすと、絶対 Galois 群の有限商の分類空間の系 $\{B\operatorname{Gal}(L/k)\}_L$ が得られる。
$k$ を標数 $p>0$ の代数閉体とする。$\mathbb A^1_k$ の Artin–Schreier 被覆 $y^p-y=x$ は、群 $\mathbb Z/p$ の連結な有限エタール Galois 被覆である（エタール基本群 の例「標数 $p$ のArtin–Schreier被覆」）。thm-et-galois-nerve により、その Čech 神経の $\pi_0$ は $N(\mathbb Z/p)$ で、基本群 $\mathbb Z/p$ をもつ。一方 $\operatorname{Spec}k$ のエタール基本群は自明なので（同記事の命題「体のエタール基本群」）、$\operatorname{Spec}k$ の連結 Galois 被覆は自明な被覆だけで、その Čech 神経の $\pi_0$ は一点である。
構造射 $\mathbb A^1_k\to\operatorname{Spec}k$ は A¹ホモトピー論 で弱同値になる射であるが、Galois 被覆から得られる系 $\{NG_U\}$ は二つで異なる。有限エタール被覆（有限な局所定数層）はエタールホモトピー型から決まる（rem-et-general-facts の 2）ので、標数 $p$ では、エタールホモトピー型は $\mathbb A^1$ 局所化を通らない。同じ現象は、モチーフ的ホモトピー型 の命題「反例：標数 $p$ のアフィン直線の射影」でコホモロジーの言葉で述べられている。
これに対し、$k$ が標数 $0$ で仮想コホモロジー次元が有限な体なら、$k$ 上の滑らかなスキームのエタールホモトピー型は、エタール位相で作った $\mathbb A^1$ ホモトピー圏を通って定まる関手に延びる（Sch04 Theorem 5.1、p. 8。この記事では証明しない）。標数 $p>0$ では、$p$ と素な位数の有限群に関する完備化をとった後なら同様に延びることが同論文 §6（p. 11）で述べられている。$\mathbb Z/p$ は位数が $p$ なので、この完備化で消える。
反例の表
thm-et-galois-nerve の二つの仮定（$U$ が連結であること、$\operatorname{Aut}_X(U)$ が各幾何学的ファイバーに単純推移的に作用すること）を一つずつ外す。$X$ は連結とする。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $U$ が連結 | $U=X\sqcup X$、$G=\mathbb Z/2$ が二つの成分を入れ替える | $\pi_0(\check C_\bullet(U/X))\cong NG$（$0$ 次が 2 点と 1 点） |
| 単純推移的な作用（Galois） | $\operatorname{Spec}\mathbb Q(\sqrt[3]{2})\to\operatorname{Spec}\mathbb Q$ | $\pi_0(\check C_\bullet(U/X))\cong N\operatorname{Aut}_X(U)$（$1$ 次が 2 点と 1 点） |
確かめを開く
1 行目：$G=\mathbb Z/2$ の非自明な元は二つの成分を入れ替える $X$ 上の自己同型で、各幾何学的ファイバー（2 点）に単純推移的に作用する。$U$ は連結でない。$\check C_n(U/X)$ は $X$ の $2^{n+1}$ 個の非交和で、$X$ は連結なので $\pi_0(\check C_0)=\pi_0(U)$ は 2 点である。一方 $NG$ の $0$ 単体は 1 個なので、二つの単体的集合は同型でない。
2 行目：$K:=\mathbb Q(\alpha)$、$\alpha=\sqrt[3]{2}\in\mathbb R$ とおくと $U=\operatorname{Spec}K$ は連結である。$K$ の自己同型は $\alpha$ を $K\subset\mathbb R$ の中の $x^3=2$ の根に写すが、実数の根は $\alpha$ だけなので恒等写像に限り、$\operatorname{Aut}_X(U)$ は自明である。幾何学的ファイバーは 3 点なので、自明群の作用は推移的でない。$K\otimes_{\mathbb Q}K\cong K[x]/(x^3-2)$ であり、$K$ 上 $x^3-2=(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha^2)$ で、2 次因子の根 $\alpha\omega,\alpha\omega^2$（$\omega=e^{2\pi i/3}$）は実数でないので $K$ に属さず、2 次因子は $K$ 上既約である。二つの因子は互いに素なので、中国剰余定理により $K\otimes_{\mathbb Q}K\cong K\times K[x]/(x^2+\alpha x+\alpha^2)$ は二つの体の積であり、$\pi_0(\check C_1)$ は 2 点である。一方 $N\operatorname{Aut}_X(U)$ の $1$ 単体は 1 個なので、同型でない。
関連項目
- 前提: エタール基本群, Galois圏, 分類空間, プロ対象
- 比較: A¹ホモトピー論, モチーフ的ホモトピー型, エタールコホモロジー
- 一般化: ∞トポス, ホモトピー極限
- 発展: モチーフ的安定ホモトピー圏, 遠アーベル幾何
参考文献
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