曲線の変分論

$\exp$ をリーマン指数写像とする。零断面の近傍で $\exp$ は定義され、$[a,b]$ はコンパクトであるから、十分小さい一定の $\varepsilon>0$ に対して
$$ F(s,t):=\exp_{\gamma(t)}(sV(t)) $$
が $|s|<\varepsilon$ とすべての $t\in[a,b]$ で定義される。$F(0,t)=\gamma(t)$ なので $F$ は変分である。また指数写像の定義から
$$ \left.\frac{\partial}{\partial s}\right|_{s=0} \exp_{\gamma(t)}(sV(t))=V(t) $$
である。$V(a)=V(b)=0$ なら
$F(s,a)=\exp_{\gamma(a)}(0)=\gamma(a)$ および $F(s,b)=\gamma(b)$ となり、両端点も固定される。$\blacksquare$

$[a,b]$ 上の関数 $1$ と $\|\dot\gamma\|$ にCauchy--Schwarzの不等式を適用すると
$$ L(\gamma)^2 =\left(\int_a^b 1\cdot\|\dot\gamma(t)\|\,dt\right)^2 \le (b-a)\int_a^b\|\dot\gamma(t)\|^2\,dt =2(b-a)E(\gamma) $$
を得る。これを変形すれば所望の不等式になる。Cauchy--Schwarzの等号条件は $\|\dot\gamma(t)\|$ が関数 $1$ の定数倍であること、すなわち速度が定数であることである。$\blacksquare$

リーマン接続 の計量両立性と $\nabla_S T=\nabla_T S$ を用いると
$$ \begin{aligned} \left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0}E(\gamma_s) &=\frac12\int_a^b \left.\frac{\partial}{\partial s}\right|_{s=0}g(T,T)\,dt\\ &=\int_a^b g(\nabla_S T,T)|_{s=0}\,dt\\ &=\int_a^b g(D_tV,\dot\gamma)\,dt \end{aligned} $$
となる。一方、再び計量両立性から
$$ \frac{d}{dt}g(V,\dot\gamma) =g(D_tV,\dot\gamma)+g(V,D_t\dot\gamma) $$
である。これを積分して項を移せば最初の公式を得る。両端点固定なら $V(a)=V(b)=0$ なので境界項が消える。$\blacksquare$

$D_t\dot\gamma=0$ なら、thm-first-variation-energy の両端点固定公式からすべての第1変分が $0$ になる。
逆にすべての両端点固定変分に対して第1変分が $0$ と仮定する。prop-variation-field-realization により、端点で消える任意の滑らかな $V$ を試験できるから
$$ \int_a^b g(V,D_t\dot\gamma)\,dt=0 $$
がすべてのそのような $V$ に対して成り立つ。もし $D_t\dot\gamma(t_0)\ne0$ となる内点 $t_0$ があれば、$t_0$ の近傍ではそのノルムは正である。その近傍に台をもつ非負の滑らかな関数 $\chi$ で $\chi(t_0)>0$ を満たすものを取り、$V=\chi D_t\dot\gamma$ と置けば
$$ \int_a^b g(V,D_t\dot\gamma)\,dt =\int_a^b\chi\|D_t\dot\gamma\|^2\,dt>0 $$
となって矛盾する。よって $D_t\dot\gamma=0$ である。$\blacksquare$

$T=\partial_tF$ とする。正則性により $s=0$ で $\|T\|>0$ であるから、積分の微分を計算すると
$$ \begin{aligned} \left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0}L(\gamma_s) &=\int_a^b \left.\frac{1}{2\|T\|}\frac{\partial}{\partial s}g(T,T)\right|_{s=0}dt\\ &=\int_a^b g(D_tV,U)\,dt. \end{aligned} $$
ここで
$$ \frac{d}{dt}g(V,U)=g(D_tV,U)+g(V,D_tU) $$
を積分すれば主張の公式を得る。両端点固定なら境界項は消える。さらに prop-variation-field-realization と cor-energy-critical-geodesic と同じ台関数の論法を用いると、すべての両端点固定変分に対する消失は $D_tU=0$ と同値である。
弧長パラメータ $r$ において $d\gamma/dr=U$ であるから、$D_tU=0$ と $D_r(d\gamma/dr)=0$ は同値である。後者が測地線方程式である。$\blacksquare$

1：両端点固定の任意の変分 $F$ について、$s\mapsto E(\gamma_s)$ は $s=0$ で最小値をとる滑らかな関数なので、その微分は $s=0$ で $0$ である。すべての両端点固定の変分で第 1 変分が $0$ なので、cor-energy-critical-geodesic により $D_t\dot\gamma=0$ である。
2：$\gamma$ は正則なので、$s$ が $0$ に十分近ければ $\gamma_s$ も正則であり（$[a,b]$ がコンパクトで $\partial_tF$ が連続なので、$\|\partial_tF\|$ は $s=0$ の近くで正のまま）、$s\mapsto L(\gamma_s)$ は $s=0$ の近くで滑らかで、$s=0$ で最小になる。よって長さの第 1 変分が $0$ であり、thm-first-variation-length により $D_tU=0$、すなわち弧長で再パラメータ化すると測地線である。$\blacksquare$

$S=\partial_sF$、$T=\partial_tF$ とする。prf-first-variation-energy と同じ計算を $s=0$ に限らず行うと、すべての $s$ について
$$ \frac{d}{ds}E(\gamma_s)=\int_a^bg(D_sT,T)\,dt=\int_a^bg(D_tS,T)\,dt $$
である（$D_sT=D_tS$）。もう一度 $s$ で微分し、計量両立性と $D_sT=D_tS$ を使うと
$$ \frac{d^2}{ds^2}E(\gamma_s)=\int_a^b\Bigl(g(D_sD_tS,T)+\|D_tS\|^2\Bigr)\,dt $$
となる。lem-second-variation-commutator により $D_sD_tS=D_tD_sS+R(S,T)S$ であり、
$$ \int_a^bg(D_tD_sS,T)\,dt=\bigl[g(D_sS,T)\bigr]_a^b-\int_a^bg(D_sS,D_tT)\,dt $$
である。$s=0$ では $D_tT=D_t\dot\gamma=0$（測地線）なので右辺の積分は消える。端点では $F(s,a)=\gamma(a)$ が $s$ によらないので $S(s,a)=0$ がすべての $s$ で成り立ち、したがって $D_sS(s,a)=0$ である。$t=b$ でも同様なので境界項も消える。最後に $g(R(X,Y)Z,W)=-g(R(X,Y)W,Z)$ という反対称性（リーマン曲率テンソル の記事の命題「曲率テンソルの対称性」の 2。同記事の $\mathrm{Rm}(X,Y,Z,W)=g(R(Z,W)Y,X)$ の前の 2 引数についての反対称性）により $g(R(S,T)S,T)=-g(R(S,T)T,S)$ であるから、$s=0$ で $S=V$、$T=\dot\gamma$ とおいて主張を得る。$\blacksquare$

prop-variation-field-realization により、$V$ を変分ベクトル場とする両端点固定の変分 $F$ がある。$s\mapsto E(\gamma_s)$ は $s=0$ で最小値をとる滑らかな関数なので、その 2 階微分は $s=0$ で $0$ 以上である。thm-second-variation-energy により、それは $I(V,V)$ に等しい。$\blacksquare$