単体複体

要点：重心 $b$ から出る半直線は、$\sigma$ の境界とちょうど 1 点で交わる。この交点に単位ベクトルを対応させる「重心からの放射状の射影」が $\partial\sigma\cong S^{n-1}$ を与え、半径方向に伸縮すれば $\sigma\cong D^n$ が得られる。

存在：$x$ はある $\tau\in K$ に属する。$x$ の $\tau$ での重心座標が正である頂点の全体が張る面を $\sigma$ とすると、$\sigma\in K$（(i)）で $x\in\operatorname{int}\sigma$ である。一意性：$x\in\operatorname{int}\sigma_1\cap\operatorname{int}\sigma_2$ とする。(ii) により $\rho:=\sigma_1\cap\sigma_2$ は $\sigma_1$ と $\sigma_2$ の共通の面で、$x$ を含む。$\sigma_1$ の真の面は $\operatorname{int}\sigma_1$ と交わらないので $\rho=\sigma_1$ であり、同様に $\rho=\sigma_2$ である。$\square$

$F\subset|L|$ が $|L|$ の弱位相で閉集合であるとし、$\sigma\in K$ をとる。(ii) により、各 $\tau\in L$ について $\sigma\cap\tau$ は空か $\sigma$ の面で、その面は $\tau$ の面なので (i) により $L$ に属する。よって $\sigma\cap|L|$ は $L$ に属する $\sigma$ の面（有限個）の和集合であり、$F\cap\sigma=\bigcup_\rho(F\cap\rho)$（$\rho$ は $L$ に属する $\sigma$ の面）は $\sigma$ の閉集合の有限和として閉集合である。したがって $F$ は $|K|$ の閉集合である。$F=|L|$ とすれば $|L|$ は閉集合であり、逆に $|K|$ の閉集合と $|L|$ の共通部分は明らかに $|L|$ の弱位相で閉集合である。$\square$

相対位相で閉集合 $F$ について、$F\cap\sigma$ は $\sigma$ の閉集合である。逆に弱位相で閉集合 $F$ について、$F=\bigcup_{\sigma\in K}(F\cap\sigma)$ で、各 $F\cap\sigma$ はコンパクト集合 $\sigma$ の閉集合なので $\mathbb{R}^N$ の閉集合であり、有限個の和も閉集合である。よって $F$ は相対位相で閉集合である。$|K|$ はコンパクト集合の有限和なのでコンパクトであり、$\mathbb{R}^N$ の距離で距離空間である。$\square$

$t\in|\sigma|$ なら $\Phi(t)=\sum_{v\in\sigma}t_vv$ は $\sigma$ の頂点が張る単体 $[\sigma]\in K$ の点であり、その重心座標は $(t_v)_{v\in\sigma}$ である。よって $\Phi$ は $|\sigma|$ を $[\sigma]$ の上へアフィンな全単射で写し、これは連続な全単射なので（コンパクトから Hausdorff へ）同相写像である。とくに $\Phi$ は全射である。
単射性：$\Phi(t)=\Phi(t')=x$ とする。$\tau:=\{v\mid t_v>0\}$ とすると $x$ は $[\tau]$ の開単体に属し、$\tau':=\{v\mid t'_v>0\}$ についても同様である。lem-sc-carrier により台は一意なので $\tau=\tau'$ であり、$[\tau]$ の中の重心座標の一意性から $t=t'$ である。
同相であること：$\Phi$ は全単射で、各 $\sigma\in S$ について $\Phi^{-1}([\sigma])=|\sigma|$ である（$[\sigma]$ の点の重心座標は $\sigma$ の外で $0$）。したがって $F\subset|(V,S)|$ について $\Phi(F)\cap[\sigma]=\Phi(F\cap|\sigma|)$ であり、$\Phi|_{|\sigma|}$ が同相写像であることから、「$F\cap|\sigma|$ が閉集合」と「$\Phi(F)\cap[\sigma]$ が閉集合」は同値である。両辺の弱位相の定義により、$F$ が閉集合であることと $\Phi(F)$ が閉集合であることは同値である。$\square$

$\sigma\in K$ の頂点の像が張る $L$ の単体を $\tau$ とすると、$|\varphi|$ の $\sigma$ への制限は、$\sigma$ から $\tau$ へのアフィン写像（重心座標の 1 次式）なので連続であり、包含 $\tau\hookrightarrow|L|$ も連続である。よって $C\subset|L|$ が閉集合なら $|\varphi|^{-1}(C)\cap\sigma=(|\varphi||_\sigma)^{-1}(C)$ は $\sigma$ の閉集合であり、弱位相の定義により $|\varphi|^{-1}(C)$ は閉集合である。等式は頂点での値を比べればよい（どちらも各単体の上でアフィンで、頂点で一致する）。同型 $\varphi$ の逆写像も単体写像なので、$|\varphi|$ は逆写像 $|\varphi^{-1}|$ をもつ連続写像、すなわち同相写像である。$\square$

lem-sc-subcomplex により $X^n$ は $|K|$ の閉集合で、その位相は $K^{(n)}$ の弱位相である。以下、CW複体 の定義「CW 複体」の 3 条件を確かめる。
(i)：$X^0$ は頂点の集合で、その任意の部分集合 $F$ は各単体と有限集合で交わるので閉集合である。よって $X^0$ は離散空間である。
(ii)：$n\ge1$ とし、$n$ 単体 $\sigma$ ごとに同相写像 $\Phi_\sigma\colon D^n\to\sigma$（$\partial D^n$ を $\partial\sigma$ へ写すもの）をとる。写像 $q\colon X^{n-1}\sqcup\bigsqcup_\sigma D^n_\sigma\to X^n$ を、$X^{n-1}$ の上では包含、$D^n_\sigma$ の上では $\Phi_\sigma$ で定めると、$q$ は連続な全射である。$q$ で同じ点に写る 2 点は、lem-sc-carrier（開単体は互いに交わらない）により、境界の点 $s\in\partial D^n_\sigma$ と $X^{n-1}$ の点 $\Phi_\sigma(s)$ の組（と、同じ点に写る境界の点どうし）に限る。これは接着写像 $\Phi_\sigma|_{\partial D^n}$ による貼り付けの同一視である。位相を比べる：$F\subset X^n$ について、$F$ が $X^n$ で閉集合であることは、次元 $n$ 以下の各単体 $\tau$ で $F\cap\tau$ が閉集合であることと同値で、これは「$F\cap X^{n-1}$ が $X^{n-1}$ の閉集合であり、各 $n$ 単体 $\sigma$ で $\Phi_\sigma^{-1}(F)$ が $D^n$ の閉集合である」ことと同値である（$\Phi_\sigma$ は同相写像）。後者は、CW複体 の補題「貼り付けの基本性質」の (iii) による、貼り付けた空間での閉集合の条件である。したがって $q$ が誘導する「貼り付けた空間 $\to X^n$」は閉集合どうしを対応させる全単射、すなわち同相写像であり、$X^n$ は $X^{n-1}$ に $n$ 胞体を貼り付けた空間である。
(iii)：$U\subset|K|$ について、「すべての $n$ で $U\cap X^n$ が $X^n$ の開集合」ならば、各単体 $\sigma$（次元 $n$）について $U\cap\sigma=(U\cap X^n)\cap\sigma$ は $\sigma$ の開集合であり、弱位相により $U$ は開集合である。逆は $X^n$ が相対位相をもつことから従う。$\square$

(i) は CW複体 の定理「CW 複体は Hausdorff」による。(ii)：同じ記事の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」により、コンパクト集合 $C$ は有限個の胞体の和で閉集合であるもの $A$ に含まれる。$A$ は閉集合なので、含む開単体 $\operatorname{int}\sigma$ の閉包 $\sigma$ を含み、したがって $\sigma$ のすべての面の開単体を含む。よって $A$ に開単体が含まれる単体の全体は面で閉じた有限個の単体の集まり、すなわち有限部分複体で、その多面体が $A$ である。$K$ が有限なら prop-sc-finite-topology によりコンパクトであり、逆に $|K|$ がコンパクトなら $C=|K|$ に当てはめて、$|K|$ は有限個の開単体の和なので $K$ は有限である。(iii) は Euler標数 の定義「胞体の個数による Euler 標数」と系「2 つの Euler 標数は一致する」を thm-sc-cw の CW 構造に当てはめたものである。$\square$