Legendre多項式

4 と 1。 二項定理で $(x^2-1)^n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nkx^{2n-2k}$ と展開する。$x^{2n-2k}$ を $n$ 回微分すると、$2n-2k\ge n$ なら $\frac{(2n-2k)!}{(n-2k)!}x^{n-2k}$、$2n-2k< n$ なら $0$ である。$\frac{(2n-2k)!}{n!\,(n-2k)!}=\binom{2n-2k}n$ なので 4 を得る。$k=0$ の項が最高次で、係数は $\frac1{2^n}\binom{2n}n=k_n\ne0$ である。
2。 4 の右辺の各項は $x^{n-2k}$ で、$n-2k$ と $n$ の偶奇は同じである。
3。 $(x^2-1)^n=(x-1)^n(x+1)^n$ に 積の微分とLeibnizの公式 の定理「Leibniz の公式」を使うと
$$ \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n=\sum_{j=0}^n\binom nj\Bigl(\frac{d^j}{dx^j}(x-1)^n\Bigr)\Bigl(\frac{d^{n-j}}{dx^{n-j}}(x+1)^n\Bigr) $$
である。$j< n$ なら $\frac{d^j}{dx^j}(x-1)^n=\frac{n!}{(n-j)!}(x-1)^{n-j}$ は $x=1$ で $0$ なので、$x=1$ では $j=n$ の項 $n!\cdot(1+1)^n=2^nn!$ だけが残る。$2^nn!$ で割って $P_n(1)=1$ を得る。$P_n(-1)=(-1)^n$ は 2 から従う。$\square$

$(x^2-1)^n=(x-1)^n(x+1)^n$ を Leibniz の公式で $j$ 回微分すると、各項は定数 $\times(x-1)^{n-i}(x+1)^{n-(j-i)}$（$0\le i\le j$）の形で、$j\le n-1$ なので $x-1$ と $x+1$ の指数はどちらも $1$ 以上である。よって各項は $x=\pm1$ で $0$ である。$\square$

$q$ との直交性。 $u:=(x^2-1)^n$ とおき、$q$ を次数 $m\le n-1$ の多項式とする（$n=0$ なら主張は空）。部分積分を 1 回行うと
$$ \int_{-1}^1q\,u^{(n)}\,dx=\Bigl[q\,u^{(n-1)}\Bigr]_{-1}^1-\int_{-1}^1q'\,u^{(n-1)}\,dx=-\int_{-1}^1q'\,u^{(n-1)}\,dx $$
である（lem-leg-vanish で $j=n-1$ として境界の項は $0$）。同じことを繰り返すと、$1\le i\le n$ について
$$ \int_{-1}^1q\,u^{(n)}\,dx=(-1)^i\int_{-1}^1q^{(i)}\,u^{(n-i)}\,dx $$
である（各段の境界の項 $\bigl[q^{(i-1)}u^{(n-i)}\bigr]_{-1}^1$ は、$n-i\le n-1$ なので lem-leg-vanish により $0$）。$i=m+1\le n$ とすると $q^{(m+1)}=0$ なので、積分は $0$ である。$P_n$ は $u^{(n)}$ の定数倍なので $\int_{-1}^1P_nq\,dx=0$ である。$m\ne n$ なら、小さいほうの次数の $P$ を $q$ にとれば $\int_{-1}^1P_mP_n\,dx=0$ を得る。
大きさ。 $P_n=k_nx^n+(\text{次数}\ n-1\ \text{以下})$ と上で示したことから $\int_{-1}^1P_n^2\,dx=k_n\int_{-1}^1x^nP_n\,dx$ である。$q=x^n$ に上の計算を $i=n$ まで行うと（境界の項は同じ理由で $0$）
$$ \int_{-1}^1x^nu^{(n)}\,dx=(-1)^nn!\int_{-1}^1(x^2-1)^n\,dx=n!\,J_n $$
である（$(-1)^n(x^2-1)^n=(1-x^2)^n$）。よって lem-leg-beta から
$$ \int_{-1}^1P_n^2\,dx=\frac{k_n}{2^nn!}\,n!\,J_n=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\cdot\frac{2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+1)!}=\frac2{2n+1} $$
である。$\square$

$xP_n$ は次数 $n+1$ の多項式なので、$P_0,\dots,P_{n+1}$（次数が $0,\dots,n+1$ なので次数 $n+1$ 以下の多項式の基底）の 1 次結合 $xP_n=\sum_{k=0}^{n+1}c_kP_k$ で書ける。両辺に $P_k$ を掛けて積分すると、thm-leg-orthogonality により
$$ c_k\cdot\frac2{2k+1}=\int_{-1}^1xP_n(x)P_k(x)\,dx=\int_{-1}^1P_n(x)\,\bigl(xP_k(x)\bigr)\,dx $$
である。

• $k\le n-2$ なら $xP_k$ の次数は $n-1$ 以下なので、thm-leg-orthogonality の後半により $c_k=0$ である。
• $k=n$ なら、prop-leg-basic の 2 により $xP_n(x)^2$ は奇関数なので積分は $0$ で、$c_n=0$ である。
  よって $xP_n=c_{n+1}P_{n+1}+c_{n-1}P_{n-1}$ である。最高次の係数を比べると $k_n=c_{n+1}k_{n+1}$ で、
  $$ \frac{k_{n+1}}{k_n}=\frac{(2n+2)!}{2^{n+1}((n+1)!)^2}\cdot\frac{2^n(n!)^2}{(2n)!}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{2(n+1)^2}=\frac{2n+1}{n+1} $$
  なので $c_{n+1}=\frac{n+1}{2n+1}$ である。次に $x=1$ を代入すると、prop-leg-basic の 3 により $1=c_{n+1}+c_{n-1}$ で、$c_{n-1}=\frac n{2n+1}$ である。$xP_n=\frac{n+1}{2n+1}P_{n+1}+\frac n{2n+1}P_{n-1}$ の両辺に $2n+1$ を掛けると主張の式になる。$\square$

$v:=(x^2-1)^n$ とおくと $v'=2nx(x^2-1)^{n-1}$ なので $(x^2-1)v'=2nxv$ である。両辺を $n+1$ 回微分する。Leibniz の公式で、$x^2-1$ と $x$ は 3 回以上・2 回以上微分すると $0$ になることに注意すると
$$ (x^2-1)v^{(n+2)}+(n+1)\cdot2x\,v^{(n+1)}+\binom{n+1}2\cdot2\,v^{(n)}=2n\bigl(x\,v^{(n+1)}+(n+1)v^{(n)}\bigr) $$
である。$u:=v^{(n)}$ とおいて整理すると
$$ (x^2-1)u''+2xu'+\bigl(n(n+1)-2n(n+1)\bigr)u=0,\qquad\text{すなわち}\qquad(1-x^2)u''-2xu'+n(n+1)u=0 $$
である。$P_n$ は $u$ の定数倍なので同じ方程式を満たす。$\square$

要点：左辺を $t$ の冪級数に展開し、その係数が thm-leg-recurrence と同じ漸化式を満たすことを、左辺が満たす微分方程式から示す。

要点：$S_Nf$ は次数 $N$ 以下の多項式の中で平均 2 乗の意味の最良近似であり、Weierstrass の近似定理で一様に近い多項式がとれる。