多元環
概要
多元環（algebra over a ring）とは、可換環 $R$ からの環準同型 $\eta\colon R\to A$ で像が $A$ の中心に入るものを備えた環 $A$ のことで、$R$ 加群の構造と、$R$ について双線形で結合的な積を同時にもつものと言い換えられる。行列環・多項式環・群環・関数の環・四元数の全体が代表例であり、可換な場合は可換環論でいう「$R$ 代数」にあたる。体上の有限次元の多元環では、各元が最小多項式をもち、零因子でない元は可逆であり、左正則表現によって行列の多元環に埋め込まれる。代数閉体上の有限次元の可除多元環は係数体に一致し、この事実が半単純環や中心単純環の構造論の基礎になる。
行列の全体 $M_n(\mathbb{R})$ では、行列どうしを足したり掛けたりできるうえに、実数を掛けることもできる。多項式の全体 $\mathbb{R}[x]$、多様体上の滑らかな関数の全体、Hamilton の四元数の全体 $\mathbb{H}$ も同じで、環であると同時に実数を係数とするベクトル空間でもあり、二つの構造は「実数はどの元とも掛け算の順序を入れ替えられる」という形で両立している。このような対象を 多元環 という。
多元環は、環論・表現論・代数幾何学に共通の言葉である。群の表現は群環という多元環の加群として扱われ（群環）、代数幾何学では体や可換環の上の可換な多元環が座標環として現れる。この記事では、係数の環 $R$ を可換環として多元環を定義し、加群の言葉による言い換えを証明したうえで、体上の有限次元の多元環について、各元が多項式の根になること、零因子でない元は可逆であること、代数閉体上の有限次元の可除多元環は係数の体そのものであることを示す。
定義
以下、環はすべて乗法の単位元 $1$ をもち、環準同型は $1$ を $1$ に写すものとする。$R$ は可換環とする。環 $A$ の 中心 とは、$A$ のすべての元と交換する元の全体
$$
Z(A):=\{z\in A\mid \text{すべての }a\in A\text{ について }za=az\}
$$
である。$Z(A)$ は $A$ の部分環であり、$A$ が可換であることは $Z(A)=A$ と同値である。
$R$ を可換環とする。環 $A$ と環準同型 $\eta\colon R\to A$ の組で、$\eta(R)\subset Z(A)$ を満たすものを $R$ 上の多元環、または $R$ 多元環（algebra over $R$）といい、$\eta$ を 構造射 という。$r\in R$ と $a\in A$ に対して $ra:=\eta(r)a$ と書く。
- $R$ 多元環 $(A,\eta_A)$ から $(B,\eta_B)$ への 準同型 とは、環準同型 $f\colon A\to B$ で $f\circ\eta_A=\eta_B$ を満たすものをいう。全単射な準同型を 同型 という。
- $A$ の部分環 $B$ が $\eta(R)$ を含むとき、$B$ を 部分多元環 という。
- $R$ が体 $k$ で、$A$ が $k$ 上のベクトル空間として有限次元のとき、その次元 $\dim_kA$ を $A$ の 次元 という。
$R$ 多元環を $R$ 代数、結合代数（associative algebra）ともいう。$A\neq0$ で $R=k$ が体のとき、$\eta$ の核は $k$ の $1$ を含まないイデアルなので $0$ であり、$\eta$ は単射である。このとき $k$ を $\eta(k)$ と同一視して $k\subset Z(A)$ と考える。
$A$ が可換環なら中心の条件は自動的に満たされ、$R$ 多元環とは環準同型 $R\to A$ を指定した可換環のことになる。可換環論や代数幾何学で「$B$ 代数」「$k$ 代数」というときは、ふつうこの可換な場合を指す（有限型射、環付き空間）。
$A$ を環、$R$ を可換環とする。次の二つの与え方は、互いに一対一に対応する。
- 環準同型 $\eta\colon R\to A$ で $\eta(R)\subset Z(A)$ を満たすもの。
- 加法群 $A$ 上の $R$ 加群の構造 $(r,a)\mapsto r\cdot a$ で、すべての $r\in R$、$a,b\in A$ について
$$ r\cdot(ab)=(r\cdot a)b=a(r\cdot b) $$
を満たすもの。
対応は、1 から 2 へは $r\cdot a:=\eta(r)a$、2 から 1 へは $\eta(r):=r\cdot1$ で与えられる。とくに、$R$ 多元環の準同型とは、$R$ 線形な環準同型のことである。
1 から 2：$r\cdot a:=\eta(r)a$ とおく。$\eta$ が環準同型なので $(r+s)\cdot a=r\cdot a+s\cdot a$、$(rs)\cdot a=r\cdot(s\cdot a)$、$1\cdot a=a$ が成り立ち、分配法則から $r\cdot(a+b)=r\cdot a+r\cdot b$ も成り立つので、これは $R$ 加群の構造である。$r\cdot(ab)=\eta(r)ab=(r\cdot a)b$ は結合法則から、$r\cdot(ab)=a\eta(r)b=a(r\cdot b)$ は $\eta(r)\in Z(A)$ から従う。
2 から 1：$\eta(r):=r\cdot1$ とおく。加群の公理から $\eta$ は加法的で $\eta(1)=1$ であり、条件を使うと
$$
\eta(r)\eta(s)=(r\cdot1)(s\cdot1)=r\cdot\bigl(1\,(s\cdot1)\bigr)=r\cdot(s\cdot1)=(rs)\cdot1=\eta(rs)
$$
なので $\eta$ は環準同型である。さらに任意の $a\in A$ について $\eta(r)a=(r\cdot1)a=r\cdot(1a)=r\cdot a$、$a\eta(r)=a(r\cdot1)=r\cdot(a1)=r\cdot a$ なので、$\eta(r)a=a\eta(r)=r\cdot a$ である。とくに $\eta(r)\in Z(A)$ である。
二つの対応が互いに逆であること：1 から作った構造では $r\cdot1=\eta(r)1=\eta(r)$ なので $\eta$ が戻る。2 から作った $\eta$ では、いま示した $\eta(r)a=r\cdot a$ により元の加群の構造が戻る。
最後の主張：環準同型 $f\colon A\to B$ について、$f\circ\eta_A=\eta_B$ なら $f(r\cdot a)=f(\eta_A(r))f(a)=\eta_B(r)f(a)=r\cdot f(a)$ なので $f$ は $R$ 線形である。逆に $f$ が $R$ 線形なら $f(\eta_A(r))=f(r\cdot1)=r\cdot f(1)=r\cdot1=\eta_B(r)$ である。
この言い換えにより、$R$ 多元環とは「$R$ 加群 $A$ に、$R$ について双線形で結合的な、単位元をもつ積を与えたもの」と言ってもよい（DF04 §10.1、p. 342。体上の場合は Voi21 §2.1、p. 21）。$A$ が $R$ 上の自由加群で基底 $e_1,\dots,e_n$ をもつときは、積は基底どうしの積 $e_ie_j=\sum_l c_{ij}^{l}e_l$ の係数 $c_{ij}^{l}\in R$（構造定数）で決まり、双線形性から、結合法則は基底の 3 つ組 $(e_ie_j)e_l=e_i(e_je_l)$ について確かめれば足りる。
直感
多元環は「スカラーを掛けることのできる環」である。中心の条件 $\eta(R)\subset Z(A)$ は、スカラーが積のどこにあっても同じ結果になること、すなわち $r(ab)=(ra)b=a(rb)$ を保証する。この条件のおかげで、多項式に元を代入する操作がうまく働く。$a\in A$ を一つ固定すると、$f(x)=\sum c_ix^i\in R[x]$ に $f(a):=\sum c_ia^i$ を対応させる写像は $R$ 多元環の準同型 $R[x]\to A$ になる。係数 $c_i$ が $a$ と交換するので、$f(a)g(a)=(fg)(a)$ が成り立つからである。
逆に、中心に入らない部分環は係数として扱えない。$\mathbb{H}$ は $\mathbb{C}=\mathbb{R}+\mathbb{R}i$ を部分環として含むが、$i$ は $j$ と交換しないので、$\mathbb{H}$ は $\mathbb{C}$ 上の多元環ではない（ex-alg-not-central）。多元環の構造は、どの環を「係数」とみなすかの選択であり、$\mathbb{H}$ の場合は係数を $\mathbb{R}$ に取る必要がある。
体 $k$ 上の多元環は、ベクトル空間と環の両方の顔をもつ。有限次元なら線形代数の議論がそのまま使え、たとえば元 $a$ のべき $1,a,a^2,\dots$ は有限個で一次従属になる。これが「有限次元の多元環の元はすべて多項式の根である」という定理（thm-alg-algebraic）の出発点であり、可除多元環の分類（thm-alg-closed-division、四元数の記事の Frobenius の定理）にもつながる。
例と反例
- 整数上の多元環：任意の環 $A$ について、環準同型 $\mathbb{Z}\to A$ は $n\mapsto n\cdot1$ のただ一つであり、その像は中心に入る。したがって、環とは $\mathbb{Z}$ 多元環のことであり、環準同型とは $\mathbb{Z}$ 多元環の準同型のことである。
- 多項式環：$R[x_1,\dots,x_n]$ は定数の埋め込み $R\to R[x_1,\dots,x_n]$ により可換な $R$ 多元環である（多項式環）。$R$ 多元環 $A$ と互いに交換する元 $a_1,\dots,a_n\in A$ があれば、$x_i\mapsto a_i$ で定まる $R$ 多元環の準同型 $R[x_1,\dots,x_n]\to A$ がただ一つある。
- 行列環と自己準同型環：$M_n(R)$ はスカラー行列の埋め込み $r\mapsto rI$ により $R$ 多元環である（行列環）。より一般に、$R$ 加群 $M$ の $R$ 線形な自己写像の全体 $\operatorname{End}_R(M)$ は、合成を積とし、$r\mapsto r\,\mathrm{id}_M$ を構造射とする $R$ 多元環である。$r\,\mathrm{id}_M$ が $R$ 線形写像と交換するのは、$R$ が可換だからである。
- 群環：群 $G$ と可換環 $R$ について、群環 $R[G]$ は $r\mapsto r\cdot1$ により $R$ 多元環である（群環）。
- 関数の多元環：位相空間 $X$ 上の連続な実数値関数の全体 $C(X)$、多様体 $M$ 上の滑らかな関数の全体 $C^\infty(M)$ は、各点ごとの和と積と、定数関数の埋め込みにより、可換な $\mathbb{R}$ 多元環である（ベクトル場）。
- 剰余と拡大：$R$ 多元環 $A$ とその両側イデアル $I$ について、剰余環 $A/I$ は $R$ 多元環である。体の拡大 $L/K$ について、$L$ は $K$ 多元環であり、その次元が拡大次数 $[L:K]$ である。
- 四元数：Hamilton の四元数の全体 $\mathbb{H}$ は、実数をスカラーとして $\mathbb{R}$ 上 4 次元の多元環である（四元数）。実数は $\mathbb{H}$ の中心に入る。
- テンソル積：$R$ 多元環 $B,C$ について、$B\otimes_RC$ は $(b\otimes c)(b'\otimes c')=bb'\otimes cc'$ により $R$ 多元環になる。たとえば $R[x]\otimes_RR[y]\cong R[x,y]$ である（テンソル積）。
$\mathbb{C}=\mathbb{R}+\mathbb{R}i$ は $\mathbb{H}$ の部分環であり、包含写像 $\iota\colon\mathbb{C}\to\mathbb{H}$ は環準同型である。しかし $ij=k$、$ji=-k$ なので $\iota(i)=i$ は $j$ と交換せず、$\iota(\mathbb{C})\not\subset Z(\mathbb{H})$ である。したがって $(\mathbb{H},\iota)$ は $\mathbb{C}$ 多元環ではない。実際、$c\cdot q:=cq$ と定めると $\mathbb{H}$ は左 $\mathbb{C}$ 加群になるが、$r=i$、$a=j$、$b=1$ とすると $r\cdot(ab)=ij=k$、$a(r\cdot b)=ji=-k$ となり、prop-alg-module の条件 $r\cdot(ab)=a(r\cdot b)$ が成り立たない。$\mathbb{H}$ を $\mathbb{C}$ 上の多元環とみなす構造射は、どれをとってもない。$\mathbb{H}$ の中心は $\mathbb{R}$ であり（四元数）、$\mathbb{R}$ には $x^2=-1$ の解がないので、環準同型 $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$ は存在しないからである。
この反例が満たさない条件は「構造射の像が中心に入る」であり、破れる性質は「スカラーを積のどこに置いても同じ結果になる」ことである。
$\mathbb{R}^3$ にベクトル積 $u\times v$ を積として入れると、積は双線形だが結合的でない。標準基底 $e_1,e_2,e_3$ について
$$
(e_1\times e_1)\times e_2=0,\qquad e_1\times(e_1\times e_2)=e_1\times e_3=-e_2
$$
となるからである。また単位元もない。$(\mathbb{R}^3,\times)$ は Lie環 の例であり、「代数」と呼ばれるが、この記事の意味の多元環ではない。破れるのは結合法則そのもので、上の式のとおり $(e_1\times e_1)\times e_2\neq e_1\times(e_1\times e_2)$ である。とくに左正則表現 $\lambda$ は積を保たない（$\lambda_{e_1\times e_1}=0$ だが $\lambda_{e_1}\circ\lambda_{e_1}(e_2)=-e_2\neq0$）。なお $a\times a=0$ なので、一つの元のべきは括弧の付け方によらずすべて $0$ になり、こちらは破れていない。
係数の環 $R$ の可換性を外し、$R=\mathbb{H}$ として環準同型 $\eta\colon\mathbb{H}\to A$ で像が $Z(A)$ に入るものを考える。$\eta(i)$ と $\eta(j)$ は中心の元なので交換し、$\eta(k)=\eta(i)\eta(j)=\eta(j)\eta(i)=\eta(ji)=-\eta(k)$、すなわち $2\eta(k)=0$ である。$\eta(k)$ は可逆（逆元は $\eta(-k)$）なので $2=0$ となり、$\eta(2)=0$ である。$2$ は $\mathbb{H}$ で可逆なので $1=\eta(2)\eta(2^{-1})=0$ となり、$A$ は零環である。このように、非可換な可除環を係数にすると、この定義は零環しか与えない。多元環の定義で係数の環を可換に取るのはこのためである。
性質
正則表現：多元環は行列の多元環に入る
$A$ を $R$ 多元環とする。$a\in A$ に左からの掛け算 $\lambda_a\colon A\to A$、$x\mapsto ax$ を対応させる写像
$$
\lambda\colon A\to\operatorname{End}_R(A),\qquad a\mapsto\lambda_a
$$
は、単射な $R$ 多元環の準同型である。とくに $R=k$ が体で $\dim_kA=n$ なら、$A$ は行列の多元環 $M_n(k)$ の部分多元環と同型である。
$\lambda_a$ は加法的で、prop-alg-module により $\lambda_a(r\cdot x)=a(r\cdot x)=r\cdot(ax)=r\cdot\lambda_a(x)$ なので $R$ 線形である。結合法則から $\lambda_{ab}(x)=(ab)x=a(bx)=(\lambda_a\circ\lambda_b)(x)$、分配法則から $\lambda_{a+b}=\lambda_a+\lambda_b$、また $\lambda_1=\mathrm{id}_A$ なので、$\lambda$ は環準同型である。$\lambda_{\eta(r)}(x)=\eta(r)x=r\cdot x$ なので $\lambda\circ\eta$ は $\operatorname{End}_R(A)$ の構造射 $r\mapsto r\,\mathrm{id}_A$ に一致し、$\lambda$ は $R$ 多元環の準同型である。$\lambda_a=0$ なら $a=\lambda_a(1)=0$ なので、$\lambda$ は単射である。
$R=k$ が体で $\dim_kA=n$ のときは、$A$ の基底を一つとって線形写像をその行列で表すと、$\operatorname{End}_k(A)\cong M_n(k)$ は $k$ 多元環の同型であり、$A$ はその像 $\lambda(A)$ と同型である。
たとえば $\mathbb{C}$ を $\mathbb{R}$ 上の基底 $1,i$ で表すと、$a+bi$ を掛ける写像の行列は $\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ であり、$\mathbb{C}$ は $M_2(\mathbb{R})$ のこの形の行列のなす部分多元環と同型になる。同じ方法で $\mathbb{H}$ は $M_4(\mathbb{R})$ に入る。
有限次元の多元環の元は代数的である
以下、$k$ を体とする。$a\in A$ について、多項式への代入 $k[x]\to A$、$f\mapsto f(a)$ は $k$ 多元環の準同型であり（ex-alg-examples の 2）、その像を $k[a]$ と書く。$k[a]$ は $a$ を含む最小の部分多元環で、可換である。
$A$ を体 $k$ 上の有限次元の多元環とし、$n=\dim_kA$ とする。各 $a\in A$ について、$\mu_a(a)=0$ を満たす $0$ でないモニック多項式 $\mu_a\in k[x]$ で、$a$ を代入して $0$ になる多項式がちょうど $\mu_a$ の倍数であるものがただ一つ存在し、$\deg\mu_a\le n$ である。さらに $k[a]\cong k[x]/(\mu_a)$ である。$\mu_a$ を $a$ の 最小多項式 という。
$n+1$ 個の元 $1,a,a^2,\dots,a^n$ は $n$ 次元の空間の中にあるので一次従属であり、すべてが $0$ ではない $c_0,\dots,c_n\in k$ で $\sum_{i=0}^nc_ia^i=0$ となるものがある。したがって代入の準同型 $\mathrm{ev}_a\colon k[x]\to A$ の核 $I$ は、次数 $n$ 以下の $0$ でない多項式を含む。$k[x]$ は単項イデアル整域なので（多項式環）、$I=(\mu)$ となる $\mu$ があり、$I\ne0$ より $\mu\ne0$ で、最高次の係数で割ってモニックにできる。モニックな生成元はただ一つであり、これを $\mu_a$ とする。$\mu_a$ は $I$ の $0$ でない元のうち次数が最小のものなので、$\deg\mu_a\le n$ である。準同型定理により $k[a]=\mathrm{ev}_a(k[x])\cong k[x]/I=k[x]/(\mu_a)$ である。
6 ⇒ 1：$c:=\mu_a(0)\neq0$ とし、$\mu_a(x)=xg(x)+c$ と書く。$\mu_a(a)=0$ より $ag(a)=g(a)a=-c$ なので、$b:=-c^{-1}g(a)\in k[a]$ は $ab=ba=1$ を満たす。
1 ⇒ 2、1 ⇒ 3 は明らかである。2 ⇒ 4：$ba=1$ かつ $ac=0$ なら $c=(ba)c=b(ac)=0$ である。3 ⇒ 5 も同様に $c=c(ab)=(ca)b=0$ である。
4 ⇒ 6 と 5 ⇒ 6：対偶を示す。$\mu_a(0)=0$ なら $\mu_a(x)=xg(x)$ と書け、$\deg g< \deg\mu_a$ かつ $g\neq0$ なので、最小性から $g(a)\neq0$ である。一方 $ag(a)=g(a)a=\mu_a(a)=0$ なので、$c:=g(a)$ は 4 と 5 の両方の結論を破る。
以上で 6 つの条件は同値である。最後の主張は、$A$ が零因子をもたなければ $0$ でないすべての元が 4 を満たすことから従う。
代数閉体上の有限次元の可除多元環
$k$ を代数閉体とし、$D$ を $k$ 上の有限次元の多元環で、$D\neq0$ かつ $0$ でない元がすべて可逆であるもの（$k$ 上の 可除多元環）とする。このとき構造射 $k\to D$ は同型であり、$D=k$ である。
$a\in D$ をとる。$\mu_a$ は次数が $1$ 以上のモニック多項式なので、$k$ が代数閉体であることから根 $c\in k$ をもち、$\mu_a(x)=(x-c)g(x)$ と書ける。$\deg g< \deg\mu_a$ なので $g(a)\neq0$ であり、$(a-c)g(a)=\mu_a(a)=0$ である。$D$ では $0$ でない元 $g(a)$ が可逆なので、右から $g(a)^{-1}$ を掛けて $a=c\in k$ を得る。よって $D=k$ である。
この定理は、群環の記事で $\mathbb{C}[G]$ の Wedderburn 分解の各成分が $\mathbb{C}$ 上の行列環になる理由であり、中心単純環の記事の定理「次元は平方数」の証明にも使われる。代数閉でない体の上では成り立たず、$\mathbb{R}$ 上の有限次元の可除多元環は $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ の三つである（四元数の記事の Frobenius の定理）。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $A$ が有限次元 | $k[x]$ の元 $x$ | $x$ を根にもつ $0$ でない多項式がない（thm-alg-algebraic） |
| $A$ が有限次元 | $k[x]$ の元 $x$ | $xc=0\Rightarrow c=0$ だが $x$ は可逆でない（cor-alg-units） |
| $D$ が有限次元 | $\mathbb{C}$ 上の有理関数体 $\mathbb{C}(x)$ | 可除多元環だが $\mathbb{C}$ に一致しない（thm-alg-closed-division） |
| $k$ が代数閉体 | $\mathbb{R}$ 上の $\mathbb{H}$ | 可除多元環だが $\mathbb{R}$ に一致しない |
| $D$ の $0$ でない元が可逆 | $\mathbb{C}$ 上の $M_2(\mathbb{C})$ | 有限次元だが $\mathbb{C}$ に一致しない |
補足
prop-alg-module により、$R$ 多元環は $R$ 加群 $A$ と、$R$ 双線形な積と単位元の組である。$R$ 双線形写像 $A\times A\to A$ は $R$ 線形写像 $\mu\colon A\otimes_RA\to A$ と同じものなので（テンソル積）、$R$ 多元環とは、$R$ 線形写像 $\mu\colon A\otimes_RA\to A$ と $\eta\colon R\to A$ の組で、次の二つの図式が可換になるものと言い換えられる。左は結合法則、右は単位元の公理であり、右の図式の斜めの矢印は $r\otimes a\mapsto ra$、$a\otimes r\mapsto ra$ で与えられる標準的な同型である。
$$
\xymatrix{
A\otimes_RA\otimes_RA \ar[r]^{\mu\otimes\mathrm{id}} \ar[d]_{\mathrm{id}\otimes\mu} & A\otimes_RA \ar[d]^{\mu} \\
A\otimes_RA \ar[r]_{\mu} & A
}
\qquad
\xymatrix{
R\otimes_RA \ar[r]^{\eta\otimes\mathrm{id}} \ar[dr]_{\cong} & A\otimes_RA \ar[d]^{\mu} & A\otimes_RR \ar[l]_{\mathrm{id}\otimes\eta} \ar[dl]^{\cong} \\
& A &
}
$$
右の図式から $\eta(r)a=ra=a\eta(r)$ が出るので、中心の条件はこの形の定義に含まれている。これは $R$ 加群のなすモノイダル圏 $(\mathrm{Mod}_R,\otimes_R,R)$ におけるモノイド対象の定義そのものである。矢印の向きをすべて逆にすると余代数の定義になり、両方の構造を両立させたものがHopf代数である。
多元環の定義と加群としての構造は DF04 §10.1（p. 342）、体上の多元環と中心の定義は Voi21 §2.1（p. 21）にある。有限次元の多元環の元が最小多項式をもつこと、代数閉体上の有限次元の可除多元環が係数体に一致することは Voi21 第 2 章の演習 9（p. 32）にあり、左正則表現は同書 2.3.8 と Remark 3.3.8（pp. 25、39）で使われている。cor-alg-units の証明は、最小多項式の定数項で場合を分けて組み立てたものである。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
